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北京市海淀区高一新生入学分班考试数学试题及答案(1)


高一新生入学分班考试

数 学试 题
总分:150 分 时量:120 分钟

第 Ⅰ卷
一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 ) 1.下列运算正确的是( ) 。 2 3 6 8 A、a ·a =a B、a ÷a4=a2

C、a3+a3=2a6

D、(a3)2=a6 ( )

2.一元二次方程 2x2-7x+k=0 的一个根是 x1=2,则另一个根和 k 的值是 A.x2=1 ,k=4 B.x2= - 1, k= -4 C .x2=

3 ,k=6 2

D.x2= ?

3 ,k=-6 2

3.如果关于 x 的一元二次方程 x 2 ? kx ? 2 ? 0 中,k 是投掷骰子所得的数字(1,2,3,4,5,6) ,则该 二次方程有两个不等实数根的概率 P= ( A. ) C.

2 3

B.

1 2

1 3
)

D.

1 6

4.二次函数 y=-x2-4x+2 的顶点坐标、对称轴分别是(
A.(-2,6),x=-2 B.(2,6),x=2 C.(2,6),x=-2

D.(-2,6),x=2

5 .已知关于 x的方程 5x ? 4 ? a ? 0无解, 4 x ? 3 ? b ? 0有两个解, 3x ? 2 ? c ? 0 只有一个解,则化简

a ? c ? c ? b ? a ? b 的结果是
A、2a B、2b



) C、2c D、0

6. 在物理实验课上,小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,直至铁块完全露出 水面一定高度,则下图能反映弹簧称的读数 y(单位 N)与铁块被提起的高度 x(单位 cm)之间的函 数关系的大致图象是 ( )
(N) (N)

(N) (cm) (cm)

(N)

A
第 6 题图

(cm)

A

B

C

D

(cm)

7. 下列图中阴影部分的面积与算式 | ?

3 1 | ?( ) 2 ? 2 ?1 的结果相同的是 4 2





y (1,1) 0 x

y y=2x 0 1 B x

y y=x2-1

y

y?

3 x

3x 0 x 0 x

A

C

D

8.已知四边形 S1 的两条对角线相等,但不垂直,顺次连结 S1 各边中点得四边形 S 2 ,顺次连结 S 2 各边中 点得四边形 S 3 ,以此类推,则 S2006 为( A.是矩形但不是菱形; C.既是菱形又是矩形; ) B. 是菱形但不是矩形; D.既非矩形又非菱形. A α

9.如图 ,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . 若 ? ? 10?, 则? 的度数是 A.40 ? C. 60 ? B.

50?

β B D C

D.不能确定

10.如图为由一些边长为 1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图,则该立方体露在外

面部分的表面积是________ cm2。

正视图 A. 11 B.15

左视图 C.18

俯视图 D.22

第Ⅱ卷(答卷)
二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11.函数 y ?

x ?1 中,自变量 x 的取值范围是 x?2



12.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, CD ? AB于D ,AC=10, CD=6,则 sinB 的值为_____。 13.如图 ,在⊙O 中,∠ACB=∠D=60°,OA=2,则 AC 的长为_________。 A
C

O .
A D B

D C

B

图4 14.同室的 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的 贺年卡, 则 4 张贺年卡不同的拿法有__________种。

1 x 3 3 1 1 ? ,f( )= 3 ? , 15. 对于正数 x,规定 f(x)= ,例如 f(3)= 1 4 1? x 1? 3 4 3 1? 3

计算 f(

1 1 1 1 1 )+ f( )+ f( )+ …f( )+ f( )+ f(1)+ f(1)+ 2006 2005 2004 3 2
.

f(2)+ f(3)+ … + f(2004)+ f(2005)+ f(2006)=

三. 解答题(共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

5? x ? 2x ? 4 ? 1? ? 16. (1)解不等式组: ? 3 2 ,并把解集在数轴上表示出来. ? 2 ? x ? 1? ? 6 ? x ?
x ? x ?1 ? 1 (2)先化简,再求值:已知 x ? 2 ? 1 ,求 ? 2 ? 2 ? ? 的值. ? x ? x x ? 2x ? 1 ? x

17. (本小题满分 10 分) 如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径作圆,交 AB 于 D,交 BC 于 E, (1) 求证:EC=ED (2) 已知:AB=5,BC=6,求 CD 长。

18. (本小题满分 12 分)已知关于x的方程 x -(2k+1)x+4(k⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根;

2

1 )=0. 2

⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、c 恰好是这个方程的两个根,求三角形 ABC 的周长.

19. (本小题满分 14 分) 在芦淞服装批发市场,某种品牌的时装当季节将来临时,价格呈上升趋势,设这种时装开始时定价为 20 元/件(第 1 周价格) ,并且每周价格上涨,如图示,从第 6 周开始到第 11 周保持 30 元/件的价格平稳销售; 从第 12 周开始,当季节即将过去时,每周下跌,直到第 16 周周末,该服装不再销售。 ⑴求 销售价格 y (元/件)与周次 x 之间的函数关系式;

⑵若这种时装每件进价 Z(元/件)与周次 x 次之间的关系为 Z= ? 0.125?x ? 8? ? 12 (1≤ x ≤16) ,
2

且 x 为整数,试问该服装第几周出售时,每件销售利润最大?最大利润为多少?
价格

30

20

0

11 1 2 4 6 8 10 12 14 16
周次

20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 y ?

1 2 与 y 轴交于 x ? 3mx ? 18m2 ? m 与 x 轴交于 A( x1 ,0), B( x2 ,0) ( x1 ? x2 ) 两点, 8

点 C(0,b) ,O 为原点. (1)求 m 的取值范围; (2)若 m ?

1 且 OA+OB=3OC,求抛物线的解析式及 A、B、C 的坐标. 18

(3)在(2)的情形下,点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发以相同的速度沿 AB、OC 向 B、C 运动,联结 PQ 与 BC 交于 M,设 AP=k,问是否存在 k,使以 P、B、M 为顶点的三角形与⊿ABC 相似.若存在,求所有的 k 值,若不存在说明理由.

21. (本小题满分 14 分)若干个 1 与 2 排成一行:1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,------ ,规则是: 第 1 个数是 1,第 2 个数是 2,第 3 个数是 1,一般地,先写一行 1,再在第 k 个 1 与第 k+1 个 1 之间插入 k 个 2(k=1,2,3,---).试问: (1)第 2006 个数是 1 还是 2? (2)前 2006 个数的和是多少?前 2006 个数的平方和是多少? (3)前 2006 个数两两乘积的和是多少?

参考答案 一. 选择题(每小题 5 分,共 50 分)
题次 答案 1 D 2 C 3 A 4 A 5 D 6 C 7 D 8 B 9 B 10 C

三. 解答题(共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

5? x ? 2x ? 4 ? 1? ? 16.解: ? 3 2 ? 2 ? x ? 1? ? 6 ? x ?
由(1)得:x>-1 由(2)得: x ? 4

(1) (2)

所以原不等式组的解集为: ?1 ? x ? 4

-5

-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

5

x

x ? x ?1 ? 1 (2)先化简,再求值:已知 x ? 2 ? 1 ,求 ? 2 ? 2 ? ? 的值. ? x ? x x ? 2x ? 1 ? x

x ? x ?1 ? 1 ? 2 ? 2 ?? ? x ? x x ? 2x ?1 ? x x ?1 x ?( ? )? x x( x ? 1) ( x ? 1) 2 x2 ?1 ? x2 解:当 x ? 2 ? 1 时, ? ?x x( x ? 1) 2 ?1 ? ( x ? 1) 2 1 ?? 2
17. 证明:
A

? AC为直径, ? AE ? BC,
O

? AB=AC, ? EC=ED

??BAE=?CAE

D B E

(2)解:由 AB=5,BC=6 得:BE=3,AE=4
C

? AC为直径, ??CDA ? ?AEB ? 90?,?B ? ?B

??BDC ? ?BEA 6 CD 即: ? 5 4
18. (本小题满分 12 分) 解: (1)

BC CD ? AB AE 24 ? CD ? 5 ?

1 ? ? (2k ? 1) 2 ? 16( k ? ) 2 2 ? 4k ? 12k ? 9 ? (2k ? 3) 2 恒大于等于0
所以:无论 k 取何值,这个方程总有实数根。-------5 分 (2)三角形 ABC 为等腰三角形,可能有两种情况: 1)b 或 c 中至少有一个等于 a= 4,即:方程 x -(2k+1)x+4(k可得 k=
2

1 )=0 有一根为 4, 2

5 2 ,方程为 x -6x+8=0.另一根为 2,此时三角形 ABC 周长为 10;------9 分 2 1 2 2)b=c 时, ? ? (2k ? 1) ? 16(k ? ) ? 0 2 3 2 得 k= ,方程为 x - 4x+4=0.得 b=c=2, 此时 ABC 不能构成三角形; 2
综上,三角形 ABC 周长为 10。 --------------------12 分 19. 解:⑴依题意,可建立的函数关系式为:

?2 x ? 18 ? y ? ?30 ?? 2 x ? 52 ?

?1 ? x ? 6? ?6 ? x ? 11? ------------------------------------6 分 ?12 ? x ? 16?

⑵设销售利润为 W,则 W=售价-进价

1 ? 2 ?20 ? 2 x ? 8 ? x ? 8? ? 14 ? 1 ? 2 故 W= ?30 ? ? x ? 8? ? 12 8 ? ?1 2 ? 8 ? x ? 8? ? 2 x ? 40 ?

?1 ? x ? 6? ?6 ? x ? 11? ?12 ? x ? 16?

?1 2 ? 8 x ? 14 ?1 ? x ? 6? ? ?1 2 化简得 W= ? x ? 2 x ? 26 ?6 ? x ? 11? ………………10 分 ?8 ?1 2 ? 8 x ? 4 x ? 48 ?12 ? x ? 16? ?
1 2 x ? 14 时,∵ x ≥0,函数 y 随着 x 增大而增大,∵1≤ x ≤6 8 ∴当 x ? 6 时,W 有最大值,最大值=18.5
①当 W=

②当 W=

1 2 1 2 x ? 2 x ? 26 时,∵W= ?x ? 8? ? 18 ,当 x ≥8 时,函数 y 随 x 8 8 1 8

增大而增大 ∴在 x ? 11时,函数有最大值为19 ③当 W=

1 2 1 2 x ? 4 x ? 48 时,∵W= ?x ? 16? ? 16 ,∵12≤ x ≤16,当 x ≤16 时,函数 y 随 x 增大 8 8

而减小, ∴在 x ? 12 时,函数有最大值为 18 综上所述,当 x ? 11时,函数有最大值为19

1 ………………14 分 8

20. 解: (1)利用判别式 ? ? 0 解得 m ? 0 (2)注意条件 m. ?

(4 分)

1 18

可得18m ? 1 ? 0 ,从而18m2 ? m ? 0 ,

18m2 ? m 所有 x1 x2 ? ? 8(18m2 ? m) ? 0 , 1 8

x1 ? x2 ? ?

3m ? ?24m ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 1 8

所以 满足条件的抛物线图象如图所示 依题意? ? ( x1 ? x2 ) ? 3b
2

24m ? 3b ,而18m2 ? m ? b ,

所以有 18m ? m ? 8m ,解得 m ? 0 (舍去) m ? 从而 y ?

1 2

1 2 3 x ? x ? 4 为所求的抛物线解析式 18 2 1 2 3 令 、B(-4,0) 、C(0,4) (8 分) x ? x ? 4 ? 0 得 A(-8,0) 18 2
(3)⊿PBM 与⊿ABC 相似有两种情况: 1) 当 PQ∥AC,AP=OQ=k,由

AO CO ? , PO QO
(10 分)



8 4 8 ? ,解得 k ? 8?k k 3

2)当 PQ 与 AC 不平行,设有∠ACB=∠MPB, 过 B 作 AC 的垂线,垂足为 D, 利用 sin A ?

4 5 BD CO ? ,求得 BD= AB AC 5

4 5 BD BC ? 由 Rt⊿CDB∽Rt⊿POQ, 则有 , 即 5 ? OQ PQ k

4 2 k ? (8 ? k )
2 2

, 化简得 k 2 ? 2k ? 8 ? 0 ,解得 k ? ?4

或 k ? 2 ,但由 CQ=4-k,知 0<k<4,所以只有 k=2 ,综上 1)2)所求的 k 值是 k ? 分 21. 解: (1) 把该列数如下分组: 1 第1组 2 1 第2组 2 2 1 第3组 2 2 2 1 第4组 2 2 2 2 1 第5组 ------2 2 2 2 2 1 第 n 组 (有 n-1 个 2) 易得,第 2006 个数为第 63 组,第 53 个数,为 2;---------4 分 (2) 前 2006 个数的和为 62+1944 ?2 =3950, 前 2006 个数的平方和是: 62 ?12 ? 1950 ? 22 ? 7862 (3)记这 2006 个数为 ------------------10 分

8 或 k=2. 3

14

a1,a2, ? , a2006 记R ? a1 ? a2 ? ? ? a2006 ? 3950
2 2 T ? a12 ? a 2 ? ? ? a 2006 ? 62 ? 12 ? 1950 ? 22 ? 7862

S ? a1a2 ? a1a3 ? ? ? a1a2006 ? a2 a3 ? a2 a4 ? ? ? a2 a2006 ? ? ? a2005 a2006
2 2 ? 2 S ? (a1 ? a2 ? ? ? a2006 ) 2 ? (a12 ? a 2 ? ? ? a 2006 )

? R2 ? T ? 39502 ? 7862 1 S ? (39502 ? 7862) ? 7797319 2
---------------------------------14 分


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