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2011年全国高中数学联赛模拟试题


2011 年全国高中数学联赛模拟试题
第一试

一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)
1 设 集 合 M ? { x | 0 ? x ? 11 , x ? Z }, 集合 F ? {( a , b , c , d ) | a , b , c , d ? M }, 映 射 f : F → Z. 使 得
f f f

( a , b , c , d ) ? ab ? cd .已知 ( u , v , x , y ) ? 39 , ( u , y , x , v ) ? 66 , x , y , u , v

的值为

.,

【思路分析】应从 ( a , b , c , d ) ? ab ? cd 入手,列方程组来解之. 【略解】由 f 的定义和已知数据,得
? uv ? xy ? 39 , ? ? uy ? xv ? 66 ( u , v , x , y ? M ).

f

将两式相加,相减并分别分解因式,得
( y ? v )( u ? x ) ? 105 , ( y ? v )( u ? x ) ? 27 .
? u ? v ? 11 ,

显然, u ? x ? 0 , y ? v ? 0 , 在 x , y , u , v ? { x | 0 ? x ? 11 , x ? Z } 的条件下, 0
[ 105 11

] ? 1 ? y ? v ? 22 , 即10 ? y ? v ? 22 , 但 ( y ? v ) | 105 , 可见 ( y ? v ) 1 ? 15 , ( y ? v ) 2 ? 21 ,
x ) 1 ? 7 , (u ? x ) 2 ? 5 .

对应可知 ( u ?

同理,由 0 ? y ? v ? 11 , [ 对应地, ( y ? v ) 1
?y ? (Ⅰ) ? u ? ?u ?y ? ? x ? 7, ? x ? 9, ? v ? 3;

27 11

] ? 1 ? u ? x ? 22 知 , 3 ? u ? x ? 22 又有 ( u ? x ) 1 ? 3 , ( u ? x ) 2 ? 9 .

? 9 , ( y ? v ) 2 ? 3 . 于是有以下两种可能:
?y ? (Ⅱ) ? u ? ?u ?y ? ? v ? 21 , ? x ? 5, ? x ? 9, ? v ? 3.

? x ? 15 ,

由(Ⅰ)解出 x=1,y=9,u=8,v=6;由(Ⅱ)解出 y=12,它已超出集合 M 中元素的范围.因此, (Ⅱ)无解. 【评述】在解此类问题时,估计 y ? v , u ? x , y ? v , u ? x 的可能值是关键,其中,对它们的取值范围 的讨论十分重要. 2:设 X={1,2,…,100},对 X 的任一非空子集 M,M 中的最大数与最小数的和称为 M 的特征, 记为 m ( M ). X 的所有非空子集的特征的平均数为 【略解】设 A ? X , 令 f : A ? A ?, A ? ? {101 ? a | a ? A} ? X .
? ?

.,

于是 f : A ? A ? 是 X 的非空子集的全体(子集组成的集) 到 X 自身的满射,记 X 的非空子集为 ,Y A1,A2,…,An(其中 n=2100-1) ,则特征的平均数为

1

1

? m(A n
i ?1

n

i

) ?

? (m ( A 2n
i ?1

1

n

i

) ? m ( A i? )) .

由于 A 中的最大数与 A′中的最小数的和为 101,A 中最小数与 A′中的最大数的和也为 101, 故 m ( A i ) m ( A i? ) ? 202 , 从而特征平均数为
1 2n ? 202 ? n ? 101 .

如果 A,B 都是有限集合,它们的元素个数分别记为 card ( A ), card ( B ). 对于映射 f : A ? B 来说,如果 f 是单射,则有 card ( A ) ? card ( B ) ;如果 f 是满射,则有 card ( A ) ? card ( B ) ;如果 f 是双射,则有
card ( A ) ? card ( B ) .这在计算集合 A 的元素的个数时,有着重要的应用.即当 card ( A ) 比较难求时,

我们就找另一个集合 B,建立一一对应 们解某些题时常用的方法.

f :A? B

,把 B 的个数数清,就有 card ( A ) ? card ( B ) .这是我

3 不等式 | x ? log 2 x |? | x | ? | log 2 x | 的解集是



思路分析:此题属于含有绝对值号的不等式,可以借助于区间讨论的方法求解。若抓住题目的特 点,运用绝对值不等式中取到不等式的条件,则可大大简化求解过程。 解:当 x 与 log 引 申 :
2

x 异号时,有 | x ? log

2

x |? | x | ? | log

2

x | ,则必有 x ? 0 ,从而 log

2

x ? 0 ,解出

0 ? x ? 1 . 所以不等式的解集为 { x | 0 ? x ? 1, x ? R }.







| a ? b |? | a | ? | b |? ab ? 0



| a ? b |? | a | ? | b |? ab ? 0



| a ? b |? || a | ? | b || ? ab ? 0 ; | a ? b |? || a | ? | b || ? ab ? 0 .

4:一条直线型生产线上从左往右依次有 4 个间隔距离均为 2 的机器人 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ,现 在要从该生产线上选择一个位置放置工具箱,则最佳工具箱位置和机器人 ? 1 的距离 d 需且只需满足 。 思路分析:最佳工具箱位置是指到各个机器人的距离之和最小的位置,引进自变量,建立函数解 析式,探求最值。 解:将机器人 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 置于数轴,并设其所对应的数分别为 ? 3 , ? 1,1,3 ,工具箱所对应的数 为 x ,则根据绝对值的几何意义可知,当 ? 1 ? x ? 1 时,工具箱位置到各个机器人的距离之和
y ? | x ? 3 | ? | x ? 1 | ? | x ? 1 | ? | x ? 3 | 取到最小值,此时最佳工具箱位置和机器人 ? 1 的距离 d 应满足
2 ? d ? 4.

二解答题(第 1 小题 16 分,第 2、3 小题各 20 分,共 56 分) 9 已知抛物线 C: y ?
1 2 x
2

与直线 y ? kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点,

过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; (2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明: 证明 (1)设 A ( x1, y 1 ) ,则 y1 ?
1 2
2

PM PN

?

QM QN



x1

,由 y ?

1 2

x

2

得 y / ? x ,所以, y / | x ? x ? x1 。于是抛
1

物线 C 在 A 点处的切线方程为 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? x1 x ? y1 。

2

设 P ( x 0 , kx ? 1) ,则有 kx 0 ? 1 ? x 0 x1 ? y1 。 设 B (x 2 ,y 2 ) ,同理有 kx 0 ? 1 ? x 0 x 2 ? y 2 。 所以 AB 的方程为 kx 0 ? 1 ? x 0 x ? y ,即 x 0 ( x ? k ) ? ( y ? 1) ? 0 ,所以直线 AB 恒过定点 Q ( k ,1) 。 (注:AB 的方程也可直接由定理 1 求得) (2) PQ 的方程为 y ?
2 kx 0 ? 4 x0 ? k
2

kx 0 ? 2 x0 ? k

( x ? k ) ? 1 ,与抛物线方程 y ?

1 2

x

2

联立,消去 y,得

x ?
2

?

( 2 k ? 2 ) x0 ? 2 k ( x0 ? k )

?0


2 kx 0 ? 4 x0 ? k
?

设 M (x 3 ,y 3 ),N (x 4 ,y 4 ) ,则 x 3 + x 4 ?
PM PN QM QN

, x 3x 4 ?

(2 k ? 2) x0 ? 2 k
2

x0 ? k

(1)

要证

?

,只需证明

x3 ? x0 x4 ? x0

k ? x3 x4 ? k

,即

2x 3 x 4 ? ( k ? x 0 )( x 3 + x 4 ) ? 2 kx 0 ? 0(2)

由①知, ②式左边=
2 ( 2 k ? 2 ) x0 ? 4 k
2

x0 ? k

? ( k ? x0 )

2 kx 0 ? 4 x0 ? k

? 2 kx 0 ?

? 2 ( 2 k 2 ? 2 ) x 0 ? 4 k ? ( k ? x 0 )( 2 kx 0 ? 4 ) ? 2 kx 0 ( x 0 ? k ) ? / ( x 0 ? k ) ? 0 ? ?

故②式成立,从而结论成立. 10 已知实数 a i , i ? 1, 2, 3, ? ? ?, n ,满足 | a i |? 1 ,且 ? a i ? 0 ,求证:对于满足 | x |? 1 任
i ?1 n

意实数 x 均有 ? | x ? a i |? n .
i ?1

n

解:不失一般性,设 - 1 # a1
n

a 2 W 鬃# a n

1.

1.当 - 1 # x

a1 时, ? | x ? a i | ?
i ?1

? (a
i ?1 n

n

i

? x) ? ? nx ? n



2.当 a n # x 3.当 - 1 # a1

1 时, ? | x ? a i |?
i ?1

n

? (x ? a
i ?1

i

) ? nx ? n


*

a 2 W 鬃# a k

x # ak+ 1

鬃 a n N1( k 祝

N ,k

n)

时,
3

?|x?a
i ?1

n

i

|?

? (x ? a
i ?1

k

i

)?

i ? k ?1

?

n

(ai ? x ) ? (2 k ? n ) x ?

?a
i ?1

k

i

?

i ? k ?1

?

n

ai



n

n

⑴ 当 2k - n

0 时,①等价于

?
i= 1

| x - a i |= ( 2 k - n ) x + 2

?
i= k + 1

ai



n

因为 | x |? 1 , | a i |? 1 ,所以 ( 2 k - n ) x + 2 ?
i= k + 1
n

ai ? (2 k

n) + 2(n - k ) = n ;

k

(2)当 2 k - n < 0 时,①等价于

?
i= 1

| x - a i |= ( 2 k - n ) x - 2 ?
i= 1

ai



k

因为 | x |? 1 , | a i |? 1 ,所以 ( 2 k - n ) x - 2 ? bi ? ( n
i= 1

2k ) + 2k = n



综上所述, ? | x ? a i |? n .
i ?1

n

注:解答本题的主要思想是排序与分类讨论.

11 函数 f ( x , y ) ? x 2 ? 3 x ? 3 ? y 2 ? 3 y ? 3 ? x 2? 3 xy ? y 解 : 易 知 , x ? 0, y ? 0 , 如 图 , 设
? A P A1 ? 9 0
?

2

的最小值
P



,射线 P B , P C 三等分 ? A P A1 ,
3



PA ?

3 , P A1 ?

, PB ? x , PC ? y .
A
x ? 3x ? 3
2

C

则 由 余 弦 定 理 知 , AB ?
AC ? y ? 3y ? 3
2


B
2

A1

B ,C ?

x ?
2

3 xy ? y



显然 f ( x , y ) ? A A1 ? 6 .

第二试

4

1:求适合以下条件的所有函数 (1) (2)
f ( x ) ? 2 ( x ? 1) ;

f : [1, ?? ) ? (1, ?? ) :

f ( x ? 1) ?

[ f 2 ( x ? 1)] x

.

解:易见,函数 f ( x ) ? x ? 1 满足条件。下面证明这是唯一符合要求的函数。 令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? 1) ,由(2)有
| g ( x ? 1) | ? | f ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) | ? | f 2 ( x ) ? ( x ? 1) 2 | x ?| g ( x ) | ? f (x) ? x ? 1 x .

因为

f ( x ) ? 1 ,故
x f (x) ? x ? 1 ? x x?2 | g (x) ? 1 | .

| g ( x ) | ? | g ( x ? 1) | ?

① ②

又由 1 ?

f ( x ) ? 2 ( x ? 1)

得?

x ? g ( x) ? x ? 1 ,

代入①得 | g ( x ) |? 假设 | g ( x ) |?

x x?2

? ( x ? 2) ?

x ( x ? 1) x ?1

.

x ( x ? 1) x?k


. x ( x ? 1) x?n .

代入①得 | g ( x ) |?

x ( x ? 1) x ? k ?1

因此对任何自然数 n ,都有 | g ( x ) |?

令 n ? ? 得 g ( x) ? 0. 从而 f ( x ) ? x ? 1 是满足本题条件的唯一函数。 2 圆内接四边形 A B C D 对角线交于 E , ? E A B , ? E C D 的垂心分别为 H 1 , H 2 ,求证:
H 1H 2 , AD , BC

三线共点或平行。
A

证明:如图,作 A A1 ? B D , B B1 ? A C
C C1 ? B D

, D D1 ? A C ,垂足分别是 的外接圆为 ? ,易知
H1 O B1 D C1 H2 E D1

A1 , B1 , C 1 , D 1 。记 ABCD

A , A1 , D , D 1 四点共圆,记该圆 ? 1

同样 B , B1 , C , C 1 四点共圆,记该圆 ? 2 ,由于 直线 A D 是圆 ? 1 和 ? 的根轴,直线 B C 是圆
B

A1

C

? 2 和 ? 的根轴,而三个圆两两根轴或平行 ? 2 和 ? 或共点, 故只需证明 H 1 , H 2 两点都在
5

圆 ? 1 , ? 2 的根轴上即可。 为此,注意到 H 1 对于圆 ? 1 的幂为 A H 1 ? H 1 A1 ,而 H 1 对于圆 ? 2 的幂等于 B H 1 ? H 1 B1 , 即 H 1 对 ? 1 ,? 2 的幂相等,故它一定落在两圆的根轴上。同理,H 2 对 ? 1 ,? 2 的幂也相等, 故也落在根轴上。 3 设 k 是正整数,定义数列 { a n } 如下: a 0 ? k , a n ? d ( a n ?1 ) , n ? 1, 2, ? ,其中 d ( a ) 表示 a 的正约数的个数。求所有正整数 k ,使得数列 { a n } 中无完全平方数。
? 注:若 a 的标准分解式为 a ? p1? p 2 ? p s? ,则 d ( a ) ? (1 ? ? 1 )(1 ? ? 2 ) ? (1 ? ? s )
1 2 s

解:经验算 k ? 2, 3, 5, 7 等,猜测 k 为素数,下证之。 若 k 为素数 p ,则 a 0 ? p , a n ? 2 , n ? 1, 2, ? 这些项中都没有完全平方数。现设 k 为
? ) (1 ) 合数,但不是完全平方数,其标准分解为 k ? p1? p 2 ? p s? ,则 a1 ? (1 ? ?1)(1 ? ? 2 ? ? ?
1 2 s

s

若 s ? 1 ,则 a 1 为合数;若 s ? 1 ,则 k ? p ? , ? ? 2 ,由 k 不是完全平方数知 ? 为奇数,
a1 ? 1 ? ?

为偶数,且 a 1 是不小于 4 的合数,以上方法适用于对 a n ? 1 的讨论,即若 a n ? 1 是合

数,则 a n 也是合数,注意到 a n ? 1 ? a n ,于是,由无穷递降法知必有某 a i 是完全平方数。 综上所述,当且仅当 k 为素数时,数列 { a n } 中无完全平方数。 4 设圆周上有 n 个点 ( n ? 6 ) ,其中每两点间连一条弦,且任何三条弦在圆内部没有 公共点,问这些弦彼此相交共能构成多少个不同的三解形? 解:我们把圆周上的点为外点,任意两条对角线在圆内的交点为内点,则所确定的 三角形按其顶点可分为四类:第一类三角形的三个顶点均为外点,设其个数为 I1;第二 类三角形的三个顶点中有 2 个外点 1 个内点,设其个数为 I2;第三类三角形的三个顶点 中有 1 个外点 2 个内点,设其个数为 I3;第四类三角形的三个顶点均为内点,设其个数 为 I4。显然第一类三角形与圆周上 3 点组集合成一一对应,所以 I1= C n3 。 其次,如图(1)圆周上任取 4 点 A1 , A 2 , A 3 , A 4 两两相连的线段,确定了 4 个第二类 三角形: ? A1 OA 2 , ? A 2 OA 3 , ? A 3 OA 4 , ? A 4 OA 1 反之每 4 个这样有公共内顶点的第二类三角形 对应了圆周上的一个 4 点组,于是 I 2 ? 4 C n4 。 类似地,如图(2) ,圆周上任取 5 点 A1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 ,两两连一线段,确定了 5 个第 三类三角形: ? A1 B 1 B 2 , ? A 2 B 2 B 3 , ? A 3 B 3 B 4 , ? A 4 B 4 B 5 , ? A 5 B 5 B 1 ,于是可得 I 3 ? 5 C n5 。
6

最后,如图(3) ,圆周上任取 6 点 A1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 对应于 1 个第四类三角形,所 以 I 4 ? C n6 。 综上所述,得所确定的三角形共有 C n3 ? 4 C n4 ? 5 C n5 ? C n6 个。

7


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