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2012年高考专题复习第9单元-直线、平面、简单几何体(上)-数学文科-大纲版


第九单元

圆锥曲线

第九单元 │ 知识框架

知识框架

第九单元 │ 考纲要求 考纲要求
【考试内容】 9(A) 平面及其基本性质.平面图形直观图的画法. 平行直线.对应边分别平行的角.异面直线所成的角.异面直 线的公垂线.异面直线的距离. 直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性 质. 点到平面的距离. 斜线在平面上的射影. 直线和平面所成的角. 三 垂线定理及其逆定理. 平行平面的判定与性质.平行平面间的距离.二面角及其平面 角.两个平面垂直的判定与性质. 多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.

第九单元 │ 考纲要求
9(B) 平面及其基本性质.平面图形直观图的画法. 平行直线. 直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定.三垂线 定理及其逆定理. 两个平面的位置关系. 空间向量及其加法、减法与数乘.空间向量的坐标表示.空间向 量的数量积. 直线的方向向量.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面 直线的距离. 直线和平面垂直的性质.平面的法向量.点到平面的距离.直线 和平面所成的角.向量在平面内的射影. 平行平面的判定和性质.平行平面间的距离.二面角及其平面 角.两个平面垂直的判定和性质. 多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.

第九单元 │ 考纲要求
【考试要求】 9(A) (1)理解平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面 图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关 系的图形.能够根据图形想象它们的位置关系. (2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条 直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算 已给出公垂线时的距离. (3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平 面垂直的判定定理和性质定理.掌握斜线在平面上的射影、直线和 平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握三垂线定理及其逆 定理.

第九单元 │ 考纲要求

(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理.掌握二面角、二 面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直 的判定定理和性质定理. (5)会用反证法证明简单的问题. (6)了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的概念. (7)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图. (8)了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图. (9)了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积公式、体积 公式.

第九单元 │ 考纲要求
9(B) (1)理解平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面 图形的直观图, 能够画出空间两条直线、 直线和平面的各种位置关系 的图形,能够根据图形想象它们的位置关系. (2)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平 面垂直的判定定理.掌握三垂线定理及其逆定理. (3)理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘. (4)了解空间向量的基本定理.理解空间向量坐标的概念,掌握 空间向量的坐标运算. (5)掌握空间向量的数量积的定义及其性质.掌握用直角坐标计 算空间向量数量积的公式,掌握空间两点间的距离公式. (6)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影 等概念.

第九单元 │ 考纲要求

(7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离 的概念. 对于异面直线的距离, 只要求会计算已给出公垂线或坐标表 示下的距离,掌握直线和平面垂直的性质定理.掌握两个平面平行、 垂直的判定定理和性质定理. (8)了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的概念. (9)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图. (10)了解棱锥的概念, 掌握正棱锥的性质, 会画正棱锥的直观图. (11)了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积公式、体积 公式.

第九单元 │ 复习策略 复习策略
立体几何以点、线、面、体为研究对象,主要研究它们的位置 关系.立体几何主要培养空间想象能力和逻辑推理能力,同时也培 养类比思想、辩证思想与转化和化归思想.可以说中学阶段没有任 何一门学科能够代替空间图形在培养空间想象能力、发展空间观念 所起的作用.复习时,应注意以下几点: 1.立足课本,狠抓基础,突出重点,在复习中弄清概念的内涵 与外延,明确定理的内容、作用等,把知识网络化、系统化.对于 重点内容,如线线、线面、面面的位置关系.各种空间角及距离的 计算应多学多练,弄清弄透,真正掌握.

第九单元 │ 复习策略
2.善于总结规律,重视规范训练.在立体几何解答中,常有明 显的规律性,如两异面直线所成的角转化为两相交直线的夹角;面 面平行(垂直)转化为线面平行(垂直),再转化为线线平行(垂直);面 面距离转化为线面距离再转化为点面距离等,又如用几何法求角, 距离,一般要分“作,证,求”三步;证明线面平行,要指明线在 面内,面外等.用向量法也应明确有关的步骤. 3.加强数学思想方法的训练.转化、化归思想贯穿立体几何始 终,是处理立体几何问题的基本数学思想,复习中,应注意培养常 见的化归转化意识,如等积转化、立体几何问题向平面问题的转化、 数学符号语言、文字语言、图形语言的相互转化等.还要注意提高 识图、理解图、应用图的能力,做题时应多画、多看、多想,训练 中,还应变换图形的位置角度,克服“标准图”带来的思维定式, 真正树立空间观念.

第九单元 │ 复习策略
高考中,立体几何主要考查空间想象能力,在推理中兼顾考查 逻辑思维能力,解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面 问题.近几年高考,立体几何命题形式比较稳定,试题以基础题和 中档题为主,主要有证明空间线线、线面、面面平行、垂直关系; 求空间的角和距离;利用空间向量,将空间中的性质及位置关系的 判定与向量运算相结合, 使几何问题代数化等等; 其中“线面关系” 是转换枢纽,“垂直”是构建相应结构的关键部件与核心技术.其 中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言 的相互转化,考查学生对图形的识别、理解和加工能力;解答题则 一般将线面集中于一个几何体中,即以一个多面体为依托,设置几 个小问,设问形式以证明或计算为主. 近两年的考题控制了难度,对基础的考查有所加强,向量方法在计 算与证明中的作用较为突出,预测 2012 年会延续这两年考情,考题 难度不会加强,对平行、垂直关系及角的计算还会重点考查.

第九单元 │ 使用建议 使用建议
1.编写意图 近几年中高考对立体几何的考查基本稳定,大致保持在2 至 3 道小题、一道大题,以中档题为主,有时解答题中会出现较难题. 在编写中注意到如下的几个问题: (1)考虑到该部分在高考试题 中的考查特点和难度,加强了对知识网络的构建和练习题的力度, 控制了选题的难度; (2)突出了化归、转化思想、数形结合思想、函 数与方程思想、分类讨论思想、几何法、向量法、等体积法、割补 与还原、折叠与展开等数学思想方法讪练; (3)立体几何是高考的试 验田之一,因此关注一些新题型的选择.

第九单元 │ 使用建议
2.教学指导 该部分在高考中的考查特点是考查内容、 题型、 题量、 难度相对稳定, 重视基础知识和基本方法,教师在引导学生复习该部分时,要注意如 下几个问题:(1)复习中从点、线、面之间的位置关系出发,引导学生 构建平行、垂直的知识网络,加强对基本定理及应用的讪练;(2)在复 习中,通过让学生多观察、多识图、多画图,对学生的空间想象能力 进行培养;(3)在复习中要特别注重对常见几何模型的研究,要善于从 常见的模型中割补出一般模型,有意识地从不同侧面、不同角度审视 同一问题,使学生熟练掌握常见的几何模型,做到心中有模型;

第九单元 │ 使用建议
(4)高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂 直的性质和判定、空间角与距离的计算作为考查的重点,尤其是以多 面体为载体的线面关系的论证,空间角和距离的计算,更是每年高考 的重头戏, 因此要加强讪练; (5)要用“运劢”的观点灵活处理点、 线、 面在空间的位置, 在解题中要时刻注意哪些点、 线、 面是“运劢”的, 哪些是固定的,固定时必备的条件是什么,在一般问题中,点、线、 面是固定的,只有在开放性试题中,点、线、面才是“运劢”的. 3.课时安排 本单元共 12 讲,两个 45 分钟滚劢基础讪练卷,一个 45 分钟单 元能力讪练卷,建讫 14 课时完成复习任务.

第52讲 │ 平面的基本性质

第52讲 平面的基本性质

第52讲 │ 编读互动 编读互动
平面的基本性质是研究立体几何的最基本的公理体系,是立 体几何的基石.平面的基本性质一般不会单独考查,仅作为工具 在高考中应用.通过本讲复习,使学生掌握平面的基本性质,能 进行简单的文字、符号、图形三者之间的转化,会用平面的基本 性质证明共点、共线、共面问题,用斜二测画法画水平放置的平 面图形的直观图.

第52讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.平面的概念 平面是没有厚薄的,可以无限延伸. 2.平面的画法及其表示方法 (1)常用平行四边形表示平面.通常把平行四边形的锐角画成 45° ,横边画成邻边的两倍. (2)一般用一个希腊字母 α、β、γ 等来表示,还可用平行四边形 的相对顶点的字母来表示,如平面 AC 等.

第52讲 │ 知识梳理
3.点、线、面的基本位置关系 图形语言 数学语言 A∈a 或 A?a a∩α=? a?α 文字语言 点 A 在或不在直线 a 上 直线 a 与平面 α 无公 共点 直线 a 在平面 α 内

第52讲 │ 知识梳理
4.平面的基本性质 名称 图示 公理 1 公理 2 公理 3 推论 1 推论 2 推论 3 文字表示 两点 如果一条直线上的______在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 如果两个平面有一个公共点,那么它们还 有其他公共点,这些公共点的集合是 ________________________ 一条过这个公共点的直线 经过不在______________上的三点,有且 同一条直线 只有一个平面 有且只有 经过一条直线和直线外一点,________一 个平面 经过两条______直线,有且只有一个平面 相交 经过两条______直线,有且只有一个平面 平行

第52讲 │ 知识梳理
5.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用________画法来画.其规则是:(1)在已 斜二测 知图形中取水平平面, 作互相垂直的轴 Ox, Oy, 再取 Oz 轴, 使∠xOz 90° =______,且∠yOz=______. 90° (2)画直观图时, 把它们画成对应的轴 O′x′、 O′y′、 O′z′, 使 ∠x′O′y′ = ______( 或 ______) , ∠x′O′z′ = 135° 45° 90° ______.x′O′y′所确定的平面表示水平平面. (3)已知图形中,平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图中分 x′轴,y′轴或 z′轴 别画成平行于____________________的线段. (4) 已 知 图 形 中 平 行 于 x 轴 和 z 轴 的 线 段 , 在 直 观 图 中 长度为原来长度的一半 保持长度不变 ________________,平行于 y 轴的线段,________________________. (5)画图完成后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的 直观图.

第52讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点 1 三线(或多线)共点问题
例 1 空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC, CD,DA 上的点,若 EH 与 FG 交于 P.求证:P 在直线 BD 上.

[证明] 如图所示,∵EH∩FG=P, ∴P∈EH,P∈FG.∵E,H 分别在直线 AB,AD 上, ∴EH?平面 ABD,∴P∈平面 ABD.同理,P∈平面 CBD.又∵ 平面 ABD∩平面 CBD=BD,所以 P 在直线 BD 上.

第52讲 │ 要点探究
[点评] (1)本题实际上是证明三线共点的问题, 即把直线看做 两平面的交线,点看做是两平面的公共点,由公理 2 得证.(2) 证三线共点的方法:①证明两线交于一点,②再证明第三条直线 经过该点.

第52讲 │ 要点探究
变式题 三个平面两两相交,有三条交线,若其中两条相交于一 点,证明第三条交线也过这一点.

[解答] 已知:如图,α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,b∩c= P. 求证:P∈a.

证明:∵b∩c=P,∴P∈b.∵β∩γ=b,∴b?β,∴P∈β. 同理,P∈α.又∵α∩β=a,∴P∈a.

第52讲 │ 要点探究
? 探究点2 三点(或多点)共线问题

例 2 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BB1 上的点,F 为 AA1 上的点. AF=2BE.求证: 且 直线 D1F、 FE、 1E 与平面 ABCD D 的交点共线.

[证明] 设直线 D1F、 FE、 1E 与平面 ABCD 的交点分别为 D P、Q、R. ∵ P、Q、R 三点都在平面 EFD1 内, P、Q、R 三点也在平面 ABCD 内, 由公理 2 可知,P、Q、R 三点共线.

第52讲 │ 要点探究
? 探究点3 三点(或三线)共面问题

例 3 如图 52-1,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

图 52-1

第52讲 │ 要点探究
[证明] (1)如图,分别连结 EF、A1B、D1C. 1 ∵E、F 分别是 AB 和 A1A 的中点,∴EF 綊 A1B. 2 又∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC,

∴四边形 A1D1CB 是平行四边形, ∴A1B 綊 CD1, 从而 EF∥CD1. 故 E、C、D1、F 四点共面.

第52讲 │ 要点探究
1 (2)∵EF 綊 A1B, 2 A1B 綊 CD1, 1 ∴EF 綊 CD1, 2 ∴直线 D1F 和 CE 必相交,设 D1F∩CE=P. ∵D1F?平面 A1ADD1,P∈D1F, ∴P∈平面 A1ADD1. 同理,P∈平面 ABCD, 又平面 A1ADD1∩平面 ABCD=DA, ∴P∈DA, 故 CE、D1F、DA 三线共点.

第52讲 │ 要点探究

[点评] 要证 E、C、D1、F 四点共面,可由这四点连成两条 直线,证明它们平行或相交即可;对于(2)中证三线共点,可证两 条直线的交点在第三条直线上. 三个公理与三个推论是立体几何 的基石,是把几何图形从空间过渡到平面的阶梯.以上问题重点 让学生理解运用三个公理和三个推论论证共点、共面、共线问题 的基本方法和基本思路.

第52讲 │ 规律总结 规律总结
1.“有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在, 但不唯一;“只有一个”说明图形如果有最多只有一个,但不保证符合 条件的图形存在;“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了 图形的唯一性.在数学语言的叙述中, “确定一个”,“可以作且只能 作一个”与“有且只有一个”是同义词.因此,在证明有关这类语句的 命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证. 2.证明点共线与线共点的方法 (1)证明若干点共线,通常证明这些点都是某两个平面的公共点,根 据公理 2,这些点都在交线上;或选择其两点确定一条直线,然后证明 其他点都在这条直线上. (2)证明若干条直线共点与证明若干点共线的方法类似, 都可以转化 成证明“点在直线上”的问题(证明两条直线的交点在第三条直线上)

第52讲 │ 规律总结

3.证明共面问题的主要方法 (1)先由公理 3 或其推论证明某些元素确定一个平面,再证其余 元素都在此平面内. (2)指出给定的元素中的某些元素在平面 α 内,某些元素(与前述 元素有公共元素,但两部分必须包括所有元素)在平面 β 内,再通过 公共元素来证明 α 与 β 重合.

第53讲 │异面直线

第53讲 异面直线

第53讲 │ 编读互动 编读互动
空间两条直线的位置关系有三种 :相交、平行和异面.空间 两条异面直线的概念、所成的角及距离的求法是高考中常考知识 点,要重点把握.对于异面直线间的距离,只要求会计算已给出 公垂线或在坐标表示下的距离 ,复习时,一定要控制好难度.通 过本讲复习,使学生掌握两条直线的位置关系 ,掌握两条直线所 成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给 出公垂线时的距离.本讲知识点高考中大多会以选择题 、填空题 形式考查.

第53讲 │ 知识梳理 知识梳理
相交直线 平行直线 异面直线 1.空间两条直线的位置关系:________、________、________.
2.异面直线的概念:不同在 任何 ______一个平面内的两条直线叫做异 面直线.

内 3. 异面直线判定定理: 经过平面外 ____一点和平面____一点的直线,

内 与平面____不过该点的直线是异面直线.
4.异面直线所成的角:过空间的任一点与这两条异面直线分别

平行 ____的两直线所成____________ 锐角(或直角) 叫做这两条异面直线所成的角.若两

直角 条异面直线所成角是______,则称两异面直线垂直.空间两直线垂直 相交 异面 包括______垂直与______垂直两种情况.两条异面直线所成角的范围 ? π? ?0, ? θ∈________. 2? ?

第53讲 │ 知识梳理
5.异面直线的公垂线及距离:和两条异面直线都________的直线 垂直相交 叫异面直线的公垂线(公垂线存在且唯一). 公垂线____________之间的 夹在异面直线

公垂线段 部分叫做公垂线段,________的长叫做异面直线间的距离.

第53讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 异面直线的概念及证明
例 1 如图 53-1 所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1,B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由.

图 53-1

第53讲 │ 要点探究
[解答] (1)不是异面直线.理由如下:连结 A1C1,AC,∵M、 N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,∴MN∥A1C1.又∵A1A∥D1D,而 D1D∥C1C , ∴A1A∥C1C , ∴ 四 边 形 A1ACC1 为 平 行 四 边 形.∴A1C1∥AC,得到 MN∥AC,∴A、M、N、C 在同一个平 面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线,证明如下:假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 D1CC1 内,则 B∈平面 CC1D1,C∈平面 CC1D1, ∴BC?平面 CC1D1, 这与正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 BC⊥ 面 CC1D1 相矛盾.∴假设不成立,故 D1B 与 CC1 是异面直线.

第53讲 │ 要点探究
? 探究点2 异面直线所成的角

图 53-2 例 2 [2010· 唐山二模] 如图 53-2, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是上底面 A1B1C1D1 的中心,则异面直线 OC 与 BC1 所成的角 的余弦值为________.

第53讲 │ 要点探究

3 6 [解析] 如图,设正方体棱长为 1,取 AB 的中点 F,取面 A1B 的中点 G,取 A1B1 的中点 E,连结 OE、EG、GF、OG、CG、 FC, 易知 OG∥BC1, 得∠COG 为异面直线 OC 与 BC1 所成的角. 在 2 6 △OEG 中得 OG= ,在△CGF 中,得 CG= .又 2 2 6 3 CO= , 因此, 在△CGO 中, 由余弦定理得 cos∠COG= . 2 6 3 因此,异面直线 OC 与 BC1 所成的余弦值为 . 6 例2

第53讲 │ 要点探究

[点评] 求异面直线所成的角,方法一是将异面直线平移相交 直线,有时为了找到两异面直线所成的角,需在原长方体外再拼接 一个完全相同的长方体,这是立体几何中常用的方法之一.同时, ? π? 应当注意两异面直线所成角的范围为?0,2 ?.方法二是利用向量法, ? ? 这在以后会有所涉及.

第53讲 │ 要点探究
变式题 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 DD1 中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2

变式题 D [解析] 取 P 点的特殊点 A1, OA1, 连 在底面上过 O 作 OE⊥AD 于 E,连结 A1E.∵OE⊥平面 ADD1A1,AM⊥A1E,根据三垂线 定理得:AM⊥OA1,∴选 D.

第53讲 │ 要点探究
? 探究点3 异面直线间的距离

例 3 如图 53-3,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB=a, BC=b, 1=c, a>b, 下列异面直线之间的距离: 与 CC1; AA 且 求: AB AB 与 A1C1;AB 与 B1C.

图 53-3

第53讲 │ 要点探究
[解答] BC 为异面直线 AB 与 CC1 的公垂线段,故 AB 与 CC1 的距离为 b. AA1 为异面直线 AB 与 A1C1 的公垂线段,故 AB 与 A1C1 的距 离为 c. 过 B 作 BE⊥B1C,垂足为 E,则 BE 为异面直线 AB 与 B1C BB1· BC bc 的公垂线,BE= = 2 2, B1C b +c bc 即 AB 与 B1C 的距离为 2 2. b +c

第53讲 │ 要点探究
变式题 如图 53-4,在空间四边形 ABCD 中,AD=AC=BD =BC=a,AB=CD=b,E、F 分别是 AB、CD 中点. (1)求证:EF 是 AB 和 CD 的公垂线; (2)求 AB 与 CD 间的距离.

图 53-4

第53讲 │ 要点探究
[ 解 答 ] (1) 证明 :连 结 AF ,BF.∵AD= AC= BD= BC, ∴△ACD≌△BCD,∴AF=BF.又 E 为 AB 中点,∴EF⊥AB.同 理, 可证 EF⊥DC.又因为 EF 与 CD、 分别交于 F、 点, AB E ∴EF 是 AB 和 CD 的公垂线. 1 2 2 2 2 2 (2)在 Rt△AFD 中, =AD -DF =a - b .在 Rt△AFE 中, AF 4 1 2 b2 1 EF= AF2-AE2= a2- b - = a2- b2, 4 4 2 1 2 2 ∴AB 与 CD 间的距离为 a - b . 2

第53讲 │ 规律总结 规律总结
1.求异面直线所成的角,常用平移转化法,即平移一条(或两 条)作出夹角,再解三角形. (1)当用平移转化法繁琐或无法平移时,可考虑两条异面直线是 否垂直;(2)两条异面直线所成的角不超过 90° . 2.求异面直线间的距离,通常是先找公垂线段,再计算. 3. 证明两直线是异面直线的常用方法是“判定定理”和“反证 法”,其中“反证法”最常用.

第54讲 │ 空间中的平行关系

第54讲 空间中的平行关系

第54讲 │ 编读互动 编读互动
空间平行关系是线线、线面、面面的一种重要位置关系,其 中线线平行关系是基础,线面平行是高考考查的重点,难度以中 等偏难为主. 本讲的复习目标是:掌握直线与直线、直线与平面、平面与 平面平行的定义,判定定理和性质定理,并会进行有关论证.本 讲内容的重点是线线、线面、面面平行关系的判定与性质.复习 中,要引导学生分清各判定定理和性质定理的内涵和外延,重视 线线平行与面面平行的相互转化,突破作 (找)辅助线(面)的难 关.难点是直线与平面平行的判定方法.

第54讲 │ 编读互动

即要判定已知直线与平面平行, 只需在平面内找到一条直线 与已知直线平行;若已知直线与平面平行,要判定已知直线与平 面内的直线平行,只需满足已知直线与平面内的直线共面.

第54讲 │ 知识梳理 知识梳理

1.平行公理 同一条 公理 4:平行于________直线的两条直线互相平行. 2.等角定理及其推论 方向 如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行 ______并且______相 相等 同,那么这两个角______. 推论:如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行 ______,那 相等 么这两组直线所成的锐角(或直角)______.

第54讲 │ 知识梳理
3.空间直线与平面的位置关系 位置关系 直线 l 在 平面 α 内 直线 l 与 平面 α 相交 直线 l 与 平面 α 平行 图示 符号表示 公共点个数 无数个 一个 0个

? l____α

∩ l____α=A

∥ l____α

第54讲 │ 知识梳理
4.空间平面与平面的位置关系 位置关系 两平面 平行 两平面 相交 图示 符号表示 α____β ∥ α____β=l ∩ 公共点个数 0个 无数个(这些公 共点均在交线 l 上)

第54讲 │ 知识梳理

5.空间直线与平面平行的判定与性质 平面外 判定定理:如果________一条直线和这个________的一条直线 平面内 ______, 即 a?α, b?α?a∥α. 平行 那么这条直线和这个平面平行. a∥b, 性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.即若 a?α,a∥β, α∩β=b,则 a∥b.

第54讲 │ 知识梳理

6.空间平面与平面平行的判定 相交 (1)如果一个平面内有两条______直线都平行于另一个平面,那 么这两个平面平行. 相交 (2)如果一个平面内有两条______直线分别平行于另一个平面内 的两条直线,则这两个平面互相平行. 直线 (3)垂直于同一条______的两个平面平行. 平面 (4)平行于同一个______的两个平面平行.

第54讲 │ 知识梳理
7.空间平面与平面平行的性质 任意一条直线 (1)两个平面平行,其中一个平面内的____________必平行于另 一个平面. (2) 如 果 两 个 平 行 平 面 同 时 和 第 三 个 平 面 相 交 , 那 么 它 们 的 交线 ______平行. 垂直 垂直 (3)一条直线______于两个平行平面中的一个平面,它也______ 于另一个平面. 平行线段 (4)夹在两个平行平面间的________相等. 有且只有一个 (5)经过平面外一点____________平面和已知平面平行.

第54讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 线线平行的判定与性质

例 1 (1)[2010· 崇文一模] 已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的为( ) A.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β B.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C.若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m∥α,m∥β,则 α∥β

第54讲 │ 要点探究
(2)[2010· 湖北卷] 用 a,b,c 表示三条不同的直线,y 表示平面, 给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥y,b∥y,则 a∥b;④若 a⊥y,b⊥y,则 a∥b. 其中真命题的序号是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④

第54讲 │ 要点探究
例 1 (1)B (2)C [解析] (1)A 中 α,β 可以是相交、平行;B 正确;C 中 m,n 平行于同一平面,其位置关系可以为相交、平行或异面;D 中平 行于同一直线的平面可以相交或者平行. (2)根据平行线的传递性可知①正确;在长方体模型中容易观察出 ②中 a,c 还可以平行或异面;③中 a,b 还可以相交;④是真命 题,故本题选 C.

第54讲 │ 要点探究
[点评] 线线平行的证明有以下方法: (1)初中到高中常用的:中点、中位线、平行四边形; (2)平行公理:a∥b,a∥c?b∥c; (3)线面平行的性质:线面平行,得线和过已知直线的平面与 已知平面的交线平行. 符号:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b; (4)线面垂直的性质:垂直于同一个平面的两直线平行. 符号:a⊥α,b⊥α?a∥b; (5)面面平行的性质:两平面平行,第三个平面与两平面相交, 则交线平行. 符号:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b.

第54讲 │ 要点探究
变式题 如图 54-1,在正三棱锥 A-BCD 中,∠BAC=30° , AB=a,平行于 AD、BC 的截面 EFGH 分别交 AB、BD、DC、CA 于点 E、F、G、H.试判定四边形 EFGH 的形状,并说明理由.

图 54-1

第54讲 │ 要点探究

[解答] 四边形 EFGH 为平行四边形.理由如下: ∵AD∥面 EFGH, ACD∩面 EFGH=HG, 面 AD?面 ACD, ∴AD∥HG. 同理 EF∥AD,EH∥BC,FG∥BC, ∴EF∥HG,EH∥FG, ∴四边形 EFGH 是平行四边形.

第54讲 │ 要点探究
? 探究点2 线面平行的判定与性质

例 2 如图 54-2,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F、H 分别是棱 BB1、CC1、DD1 的中点. (1)求证:BH∥平面 A1EFD1; (2)求直线 AF 与平面 A1EFD1 所成的角的正弦值.

图 54-2

第54讲 │ 要点探究
1 1 [解答] (1)证明:连结 D1E,∵BE= BB1,D1H= DD1,BB1 2 2 綊 DD1,∴BE 綊 D1H, 则四边形 BED1H 为平行四边形, ∴BH∥ED1, ∵BH?平面 A1EFD1,D1E?平面 A1EFD1, ∴BH∥平面 A1EFD1. (2)过 A 作 AG⊥A1E,垂足为 G. ∵A1D1⊥平面 A1ABB1,AG?A1ABB1,∴A1D1⊥AG. 又∵A1E∩A1D1=A1,∴AG⊥平面 A1EFD1. 连结 FG,则∠AFG 为所求的角. 在△AA1E 中,AG· 1E=A1A· A AB, 5 2 2 5 ∴AG· a=a· a,∴AG= a= a, 2 5 5

第54讲 │ 要点探究
AG 4 5 ∴sin∠AFG= = . AF 15 4 5 即直线 AF 与平面 A1EFD1 所成的角的正弦值为 . 15

[点评] 判定直线与平面平行,主要有三种方法:(1)利用定义 (常用反证法);(2)利用判定定理:关键是找平面内与已知直线平 行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该 直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线 作一平面找其交线;(3)利用面面平行的性质定理:当两平面平行 时,其中一个平面内的任一直线平行于另一平面.需要注意的是 线面平行关系没有传递性,即平行线中的一条平行于一平面,另 一条不一定平行于该平面.

第54讲 │ 要点探究
变式题 如图 54-3,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在 的平面交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN. 求证:MN∥平面 BCE.

图 54-3

第54讲 │ 要点探究

[证明] (法一)过 M 作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足, MP CM 如图, 连结 PQ.∵MP∥AB, NQ∥AB, ∴MP∥NQ.又∵ = , AB CA NQ BN = .AB= EF BF EF,CA=BF,CM=BN,∴MP=NQ,∴四边形 MPQN 是 平行四边形,∴MN∥PQ. 又 PQ?平面 BCE,而 MN?平面 BCE, ∴MN∥平面 BCE.

第54讲 │ 要点探究

(法二)过 M 作 MG∥BC, AB 于 G, 交 连结 NG.∵MG∥BC, BG CM BN BC?平面 BCE,又 = = ,∴GN∥AF∥BE, GA MA NF ∴GN∥平面 BCE.又∵GM∥面 BCE,MG∩NG=G, ∴平面 MNG∥平面 BCE. 又∵MN?平面 MNG,∴MN∥平面 BCE.

第54讲 │ 要点探究
? 探究点3 面面平行的判定与性质

例 3 如图 54-4,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平 面 FBD.

图 54-4

第54讲 │ 要点探究
[证明] (1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形, ∴B1D1∥BD.又 BD?平面 B1D1C,B1D1?平面 B1D1C,∴BD∥ 平面 B1D1C.同理 A1D∥平面 B1D1C.而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1D1C. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,连 AG, ∴AE 綊 B1G, 从而得 B1E∥AG.同理 GF∥AD.∴AG∥DF, ∴B1E∥DF,∴DF∥平面 EB1D1. ∴平面 EB1D1∥平面 FBD.

[点评] 证明面面平行的方法:常常转化为证线线平行,再 根据判定定理:“若两条相交直线分别与已知平面平行,则这两 条相交直线确定的平面平行于已知平面”,证出面面平行.

第54讲 │ 要点探究
变式题 如图 54-5,在四棱锥 P-ABCD 中,M,N 分别是侧 棱 PA 和底面 BC 边的中点,O 是底面平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点.求证:过 O、M、N 三点的平面与侧面 PCD 平行.

图 54-5

第54讲 │ 要点探究
[证明] ∵O、M 分别是 AC、PA 的中点,连结 OM,则 OM ∥PC.∵OM?平面 PCD,PC?平面 PCD,∴OM∥平面 PCD.连 结 ON, ON∥AB, AB∥CD, ON∥CD.∵ON?平面 PCD, 则 由 知 CD?平面 PCD,∴ON∥平面 PCD.又∵OM∩ON=O,∴OM、 ON 确定一个平面 OMN. 由两个平面平行的判定定理,知平面 OMN∥平面 PCD. 即过 O、M、N 三点的平面与侧面 PCD 平行.

第54讲 │ 规律总结 规律总结
1.应用线面平行的定理时,一定要注意三个条件: a?α,b?α, a∥b,应特别注意强调条件 a?α. 2.应用线面平行性质定理时,一是注意条件,以免得出 “直线 和平面平行,则直线和平面内所有直线平行 ”错误的结论;二是应 强调直线与平面平行的性质定理是过平面内一点做与平面外一条直 线平行的直线的依据. 3. 面面平行常转化为线面平行, 而线面平行又可转化为线线平 行.两平面平行的性质是证明空间两条直线平行的重要依据.

第54讲 │ 规律总结
4.平行转化要理清 线线平行?线面平行?面面平行 从上易知三者之间可以进行任意转化,因此要判定某一平行的过程 就是从一平行出发不断转化的过程.在解题时要把握这一点,灵活 确定转化思路和方向.

第55讲 │ 空间中的垂直关系

第55讲 空间中的垂直关系

第55讲 │ 编读互动 编读互动
本讲重点是垂直关系的证明与判定,难点是直线与直线垂直、 直线与平面垂直的判定和性质定理的应用.线面垂直的定义不好 用,而它的逆命题则应用广泛,我们把它称之为线面垂直的性质, 主要用来证明线线垂直.证明线面垂直一般用判定定理,而线面垂 直的性质定理是用来证明线线平行的. 三垂线定理重点是证明两条 异面直线垂直的.还应注意,射影定理中条件 “从平面外一点”与 三垂线定理及其逆定理中条件 “平面内”不能省,否则不一定成 立. 而三垂线定理及其逆定理的教学关键是要突破从各种图形中找 到(或作出)“平面的垂线”,找到了“平面的垂线”,

第55讲 │ 编读互动

“平面的斜线”、“斜线在平面内的射影”就出来了.教学 中应注意引导和强调;平面和平面垂直一直是高考命题的热点问 题,教学中首先要落实的是平面与平面垂直的判定与性质,其次要 注意各种垂直关系的相互转化, 再次要注意平面和平面垂直与空间 角、空间距离的计算之间的相互联系.

第55讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.直线与平面垂直的定义 任意一条直线 都垂直,就 如果一条直线 l 和一个平面 α 内的______________ 说直线 l 和平面 α 互相垂直,记作:l⊥α.其中直线 l 叫平面 α 的垂 线,平面 α 叫做直线 l 的______,交点叫做______.根据定义,过 垂面 垂足 有且只有 有且只有 一点__________一条直线与已知平面垂直;过一点__________一个 平面与已知直线垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理 相交 (1)如果一条直线和一个平面内的两条______直线都垂直, 则这 条直线垂直于这个平面.即如果 a⊥b,a⊥c,b?α,c?α,b∩c =P,那么 a⊥α. 垂直于 (2)如果两条平行线中的一条________一个平面, 那么另一条也 垂直这个平面.即如果 a∥b,a⊥α,那么 b⊥α.

第55讲 │ 知识梳理

3.直线与平面垂直的性质 垂直于 如果两条直线同________一个平面,那么这两条直线平行.即 如果 a⊥α,b⊥α,那么 a∥b. 4.斜线在平面内的射影 垂足 (1)过一点向平面引垂线,______叫做这点在这个平面内的射 斜足 影.从斜线上______以外的一点向平面引垂线,过______和______ 斜足 垂足 的直线叫做斜线在这个平面内的射影.

第55讲 │ 知识梳理
平面外一点 (2)射影长定理:从____________向这个平面所引的垂线段和斜 线段中: 较长 相等 ①射影相等的两条斜线段______,射影较长的斜线段也______; 相等 ②相等的斜线段的射影______,较长的斜线段的射影也______; 较长 ③垂线段比任何一条斜线段都____. 短

图 55-1

第55讲 │ 知识梳理
5.三垂线定理 射影 在______的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的______垂 平面内 这条斜线 直,那么它也和__________垂直. (记忆口诀:一面、四线、三垂直) 一面即:平面 α;四线即:PA、PO、AO、a. 三垂直即:PO⊥α;PA⊥a;AO⊥a(如图 55-1).

第55讲 │ 知识梳理
6.三垂线定理的逆定理 在 ________ 的 一 条 直 线 , 如 果 和 这 个 平 面 的 一 条 平面内 斜线 ________________________________________________________ 射影 垂直,那么它也和这条斜线的______垂直. 推理模式: PO⊥α ? ? PA∩α=A ??a⊥AO(如图 55-1). a?α,a⊥PA? ?

[注意] (1)三垂线指 PA,PO,AO 都垂直 α 内的直线 a.其实质是:斜 线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理.(2)要注意 a 的位置, 并注意两定理交替使用.

第55讲 │ 知识梳理
7.两平面垂直的定义 直二面角 那么就说这两个平面互 如果两个平面所成的二面角是________, 相垂直. 8.两个平面垂直的判定定理 一条垂线 那么这两个平面互相垂 如果一个平面过另一个平面的________, 直.(记忆口诀:线面垂直,面面垂直.) 9.两个平面垂直的性质定理 交线 如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于它们________的直 线垂直于另一个平面. 推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三 平面.

第55讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 线线垂直的判定与性质
例 1 [2010· 宣武一模] 如图 55-2, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD, 底面 ABCD 为直角梯形, ∠ABC=∠BAD=90° AD>BC, , E,F 分别为棱 AB,PC 的中点. (1)求证:PE⊥BC; (2)求证:EF∥平面 PAD.

图 55-2

第55讲 │ 要点探究

[证明] (1)(法一)∵PA⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD,∴ PA⊥BC. ∵∠ABC=90° ,∴BC⊥AB,∴BC⊥平面 PAB. 又 PE?平面 PAB,∴BC⊥PE. (法二)∵PA⊥平面 ABCD, ∴AB 为 PE 在平面 ABCD 内的射影. ∵∠ABC=90° ,∴BC⊥AB. 根据三垂线定理,BC⊥PE.

第55讲 │ 要点探究
(2)取 CD 中点 G,连结 FG,EG. ∵F 为 PC 中点,∴FG∥PD. ∵FG?平面 PAD,PD?平面 PAD, ∴FG∥平面 PAD.

同理,EG∥平面 PAD. ∵FG∩EC=G,∴平面 EFG∥平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

第55讲 │ 要点探究
[点评] 两直线垂直的证明有如下方法: (1)等腰三角形三线合一,勾股定理; (2)向量法:a· b=0; (3)两平行一垂直:a∥b,a⊥c?b⊥c; (4)利用线面垂直:线垂直于面,线就垂直于面内任意一条直 线; (5)利用三垂线定理及逆定理.

第55讲 │ 要点探究
变式题 如图 55-3 所示,在棱长为 2 的正方体中,E、F 分别 为 D1D,DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥 B1-EFC 的体积.

图 55-3

第55讲 │ 要点探究
[解答] (1)证明:连结 BD1,如图,在△DD1B 中,E、F 分别为 D1D,DB 的中点,

则EF∥D1B, ? ? D1B?平面ABC1D1,??EF∥平面 ABC1D1. ? EF?平面ABC1D1 ?

第55讲 │ 要点探究
(2)证明:B1C⊥AB B1C⊥BC1 ? ? ?B1C⊥平面ABC1D1 ? ? ? AB,BC1?平面ABC1D1? ? BD1?平面ABC1D1? ? AB∩BC1=B ? ?B1C⊥BD1? ? ??EF⊥B1C. ? EF∥BD1 ?

第55讲 │ 要点探究
(3)∵CF⊥平面 BDD1B1, ∴CF⊥平面 EFB1 且 CF=BF= 2. 1 ∵EF= BD1 = 3,B1F= BF2+BB2 = ? 2?2+22 = 6,B1E= 1 2 B1D2+D1E2= 12+?2 2?2=3,∴EF2+B1F2=B1E2,即∠EFB1 1 = 90°, ∴ VB1 - EFC = VC - B1EF = 1 1 1 × · B1F· EF· CF= × × 3× 6× 2=1. 2 3 2 1 1 · △ B1EF· = S CF 3 3

第55讲 │ 要点探究
? 探究点2 线面垂直的判定与性质

例 2 如图 55-4,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC, AB⊥BC,DE 垂直平分 PC,且分别交 AC、PC 于 D、E 两点, 又 PB=BC,PA=AB. (1)求证:PC⊥平面 BDE; (2)若点 Q 是线段 PA 上任一点,求证:BD⊥DQ; (3)求线段 PA 上点 Q 的位置,使得 PC∥平面 BDQ.

图 55-4

第55讲 │ 要点探究
[解答] (1)证明:由等腰三角形 PBC,得 BE⊥PC.又 DE 垂直平 分 PC,所以 DE⊥PC 又 DE∩BE=E,所以 PC⊥平面 BDE;

(2)证明:由(1),得 PC⊥BD. 因为 PA⊥底面 ABC, 所以 PA⊥BD,又 PA∩PC=P,所以 BD⊥平面 PAC, 又 DQC=平面 PAC,所以 BD⊥DQ; (3)不妨令 PA=AB=1,有 PB=BC= 2,计算得 AC= 3, 6 3 1 BD= ,AD= = AC,所以点 Q 在线段 PA 的三等分点处, 3 3 3 1 即 AQ= AP 时,PC∥QD,从而 PC∥平面 BDQ. 3

第55讲 │ 要点探究
[点评] 证明线面垂直的方法:(1)利用线面垂直定义:证一条 直线垂直于平面内任意一条直线,这时直线垂直于该平面;(2)利 用线面垂直判定定理:证一直线与平面内两相交直线都垂直,这 条直线与平面垂直;(3)利用线面垂直性质:两平行线之一垂直平 面,则另一条也必垂直于这个平面;(4)利用面面垂直性质定理: 两平面垂直,在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面; (5)利用面面平行性质:一直线垂直于两平行平面之一,则必垂直 于另一平面;(6)利用面面垂直性质:两相交平面同时垂直于第三 个平面,那么两平面交线垂直于第三个平面.

第55讲 │ 要点探究
变式题 1 如图 55-5,Rt△ABC 所在平面外一点 S,且 SA= SB=SC,斜边 AC 的中点为 D. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若直角边 BA=BC,求证:BD⊥平面 SAC.

图 55-5

第55讲 │ 要点探究

[证明] (1)证明:由 D 为 AC 的中点且 SA=SC,∴SD⊥AC. 如图所示,取 AB 中点 E,连结 DE、SE,∵ED∥BC,BC⊥AB, ∴DE⊥AB.又 SE⊥AB, ∴AB⊥平面 SED.∴AB⊥SD, AB∩AC 又 =A,∴SD⊥平面 ABC(AB、AC 是平面 ABC 内两相交直线). (2)∵BA=BC,∴BD⊥AC. 又∵SD⊥平面 ABC,∴SD⊥BD. ∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面 SAC.

第55讲 │ 要点探究
变式题 2 如图 55-6, 已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯 形,∠ABC=∠BCD=90° ,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC ⊥平面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 N 为 PB 的中点,求证:CN⊥面 PAB.

图 55-6

第55讲 │ 要点探究
[解答] 证明:(1)取 BC 中点 O,连结 AO 交 BD 于点 E,连结 PO. 因为 PB=PC, 所以 PO⊥BC. 又因为平面 PBC⊥平面 ABCD, 平面 PBC∩平面 ABCD=BC,所以 PO⊥平面 ABCD. 在直角梯形 ABCD 中,因为 AB=BC=2CD, 易知 Rt△ABO≌Rt△BCD. 所以∠BEO=∠OAB+∠DBA =∠DBC+∠DBA=90° , 即 AO⊥BD,由三垂线定理知 PA⊥BD.

第55讲 │ 要点探究

(2)∵PB=PC=BC,N 为 PB 的中点, ∴CN⊥PB. ∵面 PBC⊥面 ABCD. 面 PBC∩面 ABCD=BC,AB⊥BC, ∴AB⊥面 PBC. ∵CN?面 PBC,∴AB⊥CN,又 PB∩AB=B, ∴CN⊥面 PAB.

第55讲 │ 要点探究
? 探究点3 面面垂直的判定与性质

例 3 [2011· 北京日坛中学摸底] 如图 55-7,三棱柱中 ABC- A1B1C1,CC1⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 为 边 AB 中点,且 CC1=2AB. (1)求证:平面 C1CD⊥平面 ABC; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求三棱锥 D-CBB1 的体积.

图 55-7

第55讲 │ 要点探究
[解答] (1)证明:因为 CC1⊥平面 ABC, 又 CC1?平面 C1CD, 所以平面 C1CD⊥平面 ABC. (2)证明:连结 BC1 交 B1C 于点 O,连结 DO.则 O 是 BC1 的中 点,DO 是△BAC1 的中位线,所以 DO∥AC1. 因为 DO?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, 所以 AC1∥平面 CDB1. (3)因为 CC1⊥平面 ABC,BB1∥CC1,所以 BB1⊥平面 ABC, 所以 BB1 为三棱锥 D-CBB1 的高. 1 1 1 3 VD-CBB1 =VB1 -CBD= S △ BCD· 1 = × × ×22×4= BB 3 3 2 4 2 3 , 3 2 3 所以三棱锥 D-CBB1 的体积为 . 3

第55讲 │ 要点探究

[点评] 判定平面与平面垂直的方法有:(1)由定义: 相交成直 二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.(2)面面垂直的判定定 理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互 相垂直.(3)向量方法.

第55讲 │ 要点探究
变式题 如图 55-8, 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1, 若过面对角 线 AB1 与另一面对角线 BC1 平行的平面交上底面 A1B1C1 的一边 A1C1 于点 D. (1)确定 D 的位置,并证明你的结论; (2)证明:平面 AB1D⊥平面 AA1D.

图 55-8

第55讲 │ 要点探究
[思路] 本题的结论是“开放性”的,点 D 位置的确定如果仅 凭已知条件推理难以得出. 由于 AB1 与 BC1 这两条面对角线是相邻 二侧面上的异面直线,于是可考虑将 BC1 沿 BA 平行移动到 AE1 位置,则平面 AB1E1 一定平行 BC1,问题可以解决.

[解答] (1)如图,将正三棱柱 ABC-A1B1C1 补成一直平行六面 体 ABCE-A1B1C1E1,由 AE1∥BC1,AE1?平面 AB1E1,知 BC1 ∥平面 AB1E1,故平面 AB1E1 应为所求平面,此时平面 AB1E1 交 A1C1 于点 D,由平行四边形对角线的性 质知,D 为 A1C1 的中点.

第55讲 │ 要点探究
(2)证明:连结 AD,从直平行六面体定义知 AA1 ⊥底面 A1B1C1E1,且从 A1B1C1E1 是菱形知,B1E1⊥A1C1,据三垂线定理 知,B1E1⊥AD. 又 AD∩A1C1=D,所以 B1E1⊥平面 AA1D, 又 B1E1?平面 AB1D,所以平面 AB1D⊥平面 AA1D.

第55讲 │ 要点探究
? 探究点4 平行与垂直的综合问题
例 4 在三棱锥 P-ABC 中,△PAC 和△PBC 是边长为 2的等 边三角形,AB=2,O 是 AB 中点. (1)在棱 PA 上求一点 M,使得 OM∥平面 PBC; (2)求证:平面 PAB⊥平面 ABC.

[解答] (1)当 M 为棱 PA 中点时,OM∥平面 PBC.证明如下: ∵M,O 分别为 PA,AB 中点,∴OM∥PB.又 PB?平面 PBC, OM?平面 PBC,∴OM∥平面 PBC. (2)证明:连结 OC,OP,∵AC=CB= 2,O 为 AB 中点,AB =2,∴OC⊥AB,OC=1.同理,PO⊥AB,PO=1.又 PC= 2, ∴PC2=OC2+PO2=2, ∴∠POC=90° ∴PO⊥OC.∵PO⊥OC, , PO⊥AB,AB∩OC=O,∴PO⊥平面 ABC.∵PO?平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 ABC;

第55讲 │ 要点探究
变式题 [2011· 福州八中质检] 如图 55-9,在四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M、 N 分别为 BC、PA 的中点,且 PA=AD=2,AB=1,AC= 3. (1)证明:CD⊥平面 PAC; (2)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE; 若存在,求出 PE 的长;若不存在,说明理由.

图 55-9

第55讲 │ 要点探究
[解答] (1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD, CD?平面 ABCD, 所以 PA⊥CD. 在△ACD 中,AD=2,CD=1,AC= 3, 所以 AC2+CD2=AD2,故 AC⊥CD. 又 PA∩AC=A,所以 CD⊥平面 PAC. (2)在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE. 证明:取 PD 中点 E,连结 NE,EC,AE, 1 因为 N,E 分别为 PA,PD 中点,所以 NE 綊 AD. 2 1 又在平行四边形 ABCD 中,CM 綊 AD, 2

第55讲 │ 要点探究

所以 NE 綊 MC, 即 MCEN 是平行四边形,所以 NM∥EC. 又 EC?平面 ACE,NM?平面 ACE, 所以 MN∥平面 ACE, 1 即在 PD 上存在一点 E, 使得 NM∥平面 ACE, 此时 PE= PD= 2. 2

第55讲 │ 规律总结 规律总结
1.三垂线定理及逆定理、两条直线所成的角等是证明两条直线 垂直的常用的方法. (1)三垂线定理实质上是空间两直线垂直的判定定理, 这两条直线 可以是相交直线,也可以是异面直线.应用这个定理的难点主要是对 非水平放置的图形的辨认.在运用时可按照“一定平面,二定斜线, 三找垂线, 射影可见, 直线随便 ”的原则去认定图形. 其关键是转化, 即把已知的线线垂直转化为所需的线线垂直. (2)利用三垂线定理还可解决到直线的距离、 二面角的平面角等问 题. 2.证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线 垂直,要善于挖掘题中出现的线线垂直关系,例如等腰三角形底边上 的中线垂直于底边;菱形的对角线互相垂直等等,另外利用三角形全 等、相似以及由勾股逆定理进行计算也可证明线线垂直.

第55讲 │ 规律总结

3.证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的 垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂 直的关系.即线线垂直→线面垂直→面面垂直. 4.注意垂直转化:线线垂直?线面垂直?面面垂直.每一垂直 的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直最终达到目的. 5.证明空间线面垂直还需注意以下几点: (1)由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找 证题思路. (2)立体几何论证题的解答中, 利用题设条件的性质适当添加辅助 线(或面)是解题的常用方法之一.

第55讲 │ 规律总结
(3)明确何时应用判定定理,何时应用性质定理,用定理时要先审 明条件再由定理得出相应结论. (4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高, 在证明线 线垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线, 从而明确斜线、射影、面内直线的位置,再根据定理,由已知的两直 线垂直得出新的两直线垂直. 另外通过计算证明线线垂直也是常用的 方法之一.

第56讲 │ 空间向量及其运算

第56讲 空间向量及其运算

第56讲 │ 编读互动 编读互动
空间向量的概念与基本运算是平面向量相关知识的推广 ,在 高考要求并不高,复习时要狠抓基础,理解概念要到位,进行运 算要准确.空间向量与平面向量一样 ,也具有几何与代数形式的 双重性,是众多知识网络的重要交汇点 ,解决问题时多从几何意 义入手,促进属于性的相互转化,运用好数形结合的思想方法

第56讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.空间向量

表 示 法

大小和方向 的量叫做向量. 定义 在空间,把具有____________ 大小 长度 模 向量的______叫做向量的长度或____. 几何表 有向线段 空间向量用__________表示. 示法 用一个字母表示,如图 56-1,此向量的起点是 A, → 字母表 终点是 B,可记作 a,也可记作AB,其模记为|a|或
示法 → |AB|.

第56讲 │ 知识梳理

模为 0 几类特殊 ①零向量:规定________的向量叫做零向量,记为 0. 模为 1 向量 ②单位向量:________的向量称为单位向量. 相反 相等 ③相反向量:与向量 a 长度______而方向______的向 量称为 a 的相反向量,记作-a. 相同 相等 ④相等向量:方向______且模______的向量称为相等 向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量 或相等向量.

第56讲 │ 知识梳理
2.空间向量的加、减法 类似于平面向量,定义空间向量的加减法 运算 空间向量的 加减法

图 56-2 → → → OB=OA+AB=________________, a+b → → → a-b CA=OA-OC=________________.

空间向量的 加法运算律

b+a a+b=______________, (a+b)+c=____________________. a+(b+c)

第56讲 │ 知识梳理
3.空间向量的数乘运算 实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个 向量 ______,称为向量的数乘运算.它满足以下两 个条件: |λ| ①λa 的模是 a 的模的____倍; 相同 当 ②当 λ>0 时, 向量 a 与 λa 的方向______; λ<0 相反 时,向量 a 与 λa 的方向______;当 λ=0 时, λa=0,其方向是任意的.

空间向量的 数乘运算

空间向量的 数乘运算律

λa+λb ①分配律:λ(a+b)=________; λ(μa)=(λμ)a ②结合律:________.

第56讲 │ 知识梳理
4.共线向量与共面向量 共线(平行)向量 共面向量 表示空间向量的有向线段所 同一平面 互相平行或重合 在的直线______________,则 平行于____________的向量 定义 共线向量 这些向量叫做__________或平 叫做共面向量 行向量 若两个向量 a, 不共线, b 则 对于空间任意两个向量 a, 向量 p 与 a, 共面的充要条 b 充要 b(b≠0), a∥b 的充要条件是存 件是存在唯一的有序实数对 条件 a=λb 在实数 λ,使________. p=xa+yb (x,y),使________.

第56讲 │ 知识梳理
共线(平行)向量 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直 线,那么对于任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存 → → 在实数 t, 满足等式OP=OA+ 共面向量 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是 存在有序实数对 x, 使MP y, →

→ → =xMA+yMB① ta.其中向量 a 叫做直线 l 的方 或对空间任一点 O,有 推论 向向量. → → → → OP=OM+xMA+yMB② 空间直线的向量参数表示式: → → → → 或OP=xOA+yOB+zOM, → → → → OP=OA+ta 或OP=OA+ (x+y+z=1)③ → → → → t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB, 上面②式叫做平面 MAB 的 向量表示式. → 1 → → 中点公式:OP= (OA+OB) 2

第56讲 │ 知识梳理
5.空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一 xa+yb+zc 个唯一的有序实数组 x,y,z,使 p=___________________________. 推论:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都 → → → → 存在唯一的三个有序实数 x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC. 6.空间向量的数量积 → (1)空间向量的夹角: 对于非零向量 a, 在空间任取一点 O 作OA b, → =a,OB=b,则∠AOB 叫做 a 与 b 的夹角,记作〈a,b〉 .规定 0≤ 〈a,b〉≤π. (2)空间向量数量积的定义:已知空间两个向量 a,b,则|a||b|cos 〈a,b〉叫做向量 a、b 的数量积,记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 , 0 向量与任何向量的数量积为 0.

第56讲 │ 知识梳理
7.空间向量数量积的性质 (1)a· e=|a|cos〈a,e〉(e 为单位向量). a· b (2)a⊥b?________=0. a· b (3)|a|2=________. a· a |a|· |b| (4)cos〈a,b〉=________. 8.空间向量数量积的运算律 ①__________; a· b=b· a ②________________________; (λa)· b=λ(a· b)=a· (λb) ③______________________. (a+b)· c=a· c+b· c

第56讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 空间向量的线性运算

例 1 (1)下列说法中正确的是( ) A.若|a|=|b|,则 a、b 的长度相同,方向相同或相反 B.若向量 a 是向量 b 的相反向量,则|a|=|b| C.空间向量的减法满足结合律 → → → D.在四边形 ABCD 中,一定有AB+AD=AC

第56讲 │ 要点探究

图 56-3 (2)如图 56-3,已知长方体 ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量 → → 表达式,并在图中标出化简结果的向量.①AA′-CB=________; → → → ②AA′+AB+B′C′=________.

第56讲 │ 要点探究
→ → 例 1 (1)B (2)①AD′ ②AC′ [解析] (1)|a|=|b|,说明 a 与 b 的模相等,但方向不确定,对 于 a 的相反向量 b=-a,故|a|=|b|,从而 B 正确.只定义加法具 → → 有结合律,减法不具有结合律,一般的四边形不具有AB+AD= → AC,只有平行四边形才能成立.故 A、C、D 均不正确. → → → → → → → → → (2)①AA′-CB=AA′-DA=AA′+AD=AA′+A′D′=AD′,

→ → → → → → → → → ②AA′+AB+B′C′=(AA′+AB)+B′C′=AB′+B′C′=AC′. → → 向量AD′、AC′如图所示.

第56讲 │ 要点探究
[点评] (1)两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不 确定, 即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充 分条件. (2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运算 法则及运算律是解决好这类问题的关键. (3)化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法 则,在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法, 也可按减法法则进行运算.加减法之间可相互转化,另外化简的 结果要在图中标注好.

第56讲 │ 要点探究
? 探究点2 利用空间向量证明垂直问题

例 2 如图 56-2 所示, 已知空间四边形 ABCD, AC、 连 BD, 若 AB=CD,AC=BD,E、F 分别是 AD、BC 的中点,试用向量 方法证明 EF 是 AD 与 BC 的公垂线.

图 56-2

第56讲 │ 要点探究
→ =1(AB → [解答] 证明:连结 AF,∵点 F 是 BC 的中点,∴AF 2 → ).∴EF=AF-AE=1(AB+AC)-1AD.又|AC|=|BD|=|AD → → → → → → → → → +AC 2 2 → → → → AB → → → → → -AB|,∴AC2=AD2-2AD· +AB2①,同理AB2=CD2 =AD2 → AD → → → → → AD → → -2AC· +AC2.②,由①代入②可得AB2=AD2-2AC· +AD2 → AD → → → → (AC → → (AC → -2AB· +AB2,∴2AD2-2AD· → +AB)=0,∴AD· → +AB → → 1 → → → → EF → → → -AD)=0.∴AD· (AB+AC-AD)=0.∴AD· =0,∴EF⊥AD, 2 → → 同理可得EF⊥BC, ∴EF 是 AD 与 BC 的公垂线.

第56讲 │ 要点探究
? 探究点3 利用空间向量求距离问题

例 4 已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=4, AD=3,AA′=5,∠BAD=90° ,∠BAA′=∠DAA′=60° ,求 AC′的长.

→ → → → [解答] |AC′|2=(AB+AD+AA′)2 → → → → AD → AA′ = | AB |2 + | AD |2 + | AA′ |2 + 2 AB ·→ + 2 AB · → + → AA′ 2AD· → = 42 + 32 + 52 + 2×4×3×cos90°+ 2×4×5×cos60°+ 2×3×5×cos60° =16+9+25+0+20+15=85, → 所以,|AC′|= 85.

第56讲 │ 要点探究
? 探究点4 利用空间向量证明共面问题

例 5 如图 56-6,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P、Q 分别为 A1D1、D1C1、AA1、CC1 的中点,求证:M、N、P、Q 四点 共面.

图 56-6

第56讲 │ 要点探究
→ → [证明] 令D→ 1=a,D1C1=b,D1D=c, 1A ∵M、N、P、Q 均为棱的中点, 1 1 → 1 → → → 1 ∴MN= b- a,MP=MA1+A1P= a+ c, 2 2 2 2 → =MD1+D1C1+C1Q=-1a+b+1c, → → → MQ 2 2 → → → 令MQ=λMN+μMP, 1 1 1 1 1 则- a+b+ c= (μ-λ)a+ λb+ μc, 2 2 2 2 2

?1?μ-λ?=-1, ?2 2 ?1 ∴?2λ=1, ? ?1μ=1, ?2 2

?λ=2, ? ∴? ?μ=1, ?

第56讲 │ 要点探究
→ → → ∴MQ=2MN+MP. → → → 因此向量MQ,MN,MP共面,∴四点 M、N、P、Q 共面.

第56讲 │ 名师纠错 名师纠错
如图 56-8(1),在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD =90° 将它沿对角线 AC 折起, AB 与 CD 成 60° , 使 (如图 56-8(2)), 求 B、D 间的距离.

图 56-8

第56讲 │ 名师纠错
→ → → → [错解] ∵BD=BA+AC+CD, → → → → → AC → → CD → → CD → ∴|BD|2=|BA|2+|AC|2+|CD|2+2BA· +2BA· +2AC· . → → 而〈BA,AC〉=90° 〈BA,CD〉=60° 〈AC,CD〉=90° , → → , → → , → ∴|BD|2=1+1+1+2×1×1×cos60° =4, → ∴|BD|=2.
→ → [错因] 寻求向量BA与CD夹角时,考虑不全面出错.

第56讲 │ 名师纠错
→ → [正解] 求 B、D 间的距离就是求|BD|,关键是如何表示BD, → → → → 由题可知BD=BA+AC+CD. → CD → → BA → ∵∠ACD=90° ,∴AC· =0,同理AC· =0. ∵AB 与 CD 成 60° 角, → → ∴〈BA,CD〉=60° 120° 或 . → → → → 又BD=BA+AC+CD, → |BD → → → → AC → CD ∴|BD |· → |=|BA |2 +|AC |2 +|CD |2 +2BA ·→ +2BA ·→ + → CD → 2AC· → → =3+2×1×1×cos〈BA,CD〉 → → ?4 ?〈BA,CD〉=60° ?, =? → → ?, ?2 ?〈BA,CD〉=120° → ∴|BD|=2 或 2,即 B、D 之间的距离为 2 或 2.

第56讲 │ 规律总结 规律总结
1.利用共线向量定理,可解决立体几何中三点共线和两直线平 行等问题. 2.利用共面向量定理,可解决立体几何中直线在平面内,直线 与平面平行以及四点共面等问题. 3.要重视空间向量基本定理的运用,要注意空间向量基底的选 取, 用基向量表示出已知条件和所需解决问题的所有向量, 将几何问 题转化为向量问题.

第56讲 │ 规律总结

4.利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特点.一般方法如 下: 先将原问题转化为等价的向量问题, 即将已知条件的角转化为向 量的夹角, 线段长度转化为向量的模, 并用已知向量表示出未知向量 (注意量的集中),然后利用向量运算解决该向量问题,从而使原问题 得解.


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