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高中数学北师大版必修5同步精练:2.1.2余弦定理 含答案

基础巩固 1 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c.下列等式不成立的是( A.a2=b2+c2-2bccosA C.cosA= b2+c2-a2 2bc B.b2=c2+a2-2accosB D.cosC= a2+b2+c2 2ab ) 3 ) 2 在△ABC 中,a=4,b=4,C=30° ,则 c2 等于( A.32-16 C.16 3 B.32+16 D.48 3 在△ABC 中,a=2,b=5,c=6,则 cosB 等于( 15 A. 24 C. 57 60 B. 65 24 7 20 ) D.- π 4 在△ABC 中, B= 且 AB=1, BC=4, 则边 BC 上的中线 AD 的长为______. 3 sinB 5 在△ABC 中,A=120° ,AB=5,BC=7,则 =______. sinC 6 在△ABC 中,已知 b2sin2C+c2sin2B=2bccosB· cosC,试判断三角形的 形状. 7 设锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA. (1)求角 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求边 b. 8 小明是乐清市的一位初中生,他在家里在比例尺为 1∶4 300 000 的中国 地图上量得浙江乐清市距台湾基隆市约 7.9 cm,基隆市距钓鱼岛约 4.4 cm,还 测得乐清到基隆的直线与基隆到钓鱼岛的直线夹角为 81° .现小明想知道乐清市 到钓鱼岛的实际距离,你能帮他算一算吗? 综合过关 9 在△ABC 中,AB=3,BC= 3 A. 3 2 2 2 13,AC=4,则 AC 边上的高为( 3 2 3 3 ) B. C. D.3 10 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形形状为 ( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.由增加的长度决定 11 在△ABC 中,边 a,b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根,C=60° ,求 边 c 的长. 能力提升 12 如图,已知在四边形 ABCD 中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA =60° ,∠BCD=135° ,求 BC 的长. 参考答案 1 解析:由余弦定理的推论,得 cosC= 答案:D 2 答案:A a2+c2-b2 15 3 解析:cosB= = . 2ac 24 答案:A a2+b2-c2 ,所以 D 不成立. 2ab π 4 解析:在△ABD 中,B= ,BD=2,AB=1, 3 π 则 AD2=AB2+BD2-2AB· BDcos =3. 3 所以 AD= 答案: 3 3. 5 解析:由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,则 49=b2+25+5b,解得 b =3 或 b=-8(舍去),所以 3 5 b 3 = = . sinC c 5 sinB 答案: 6 分析:解决本题,可分别利用正弦定理或余弦定理,把问题转化成角或边 的关系求解. 解法一:由正弦定理 a sinA = c = =2R,R 为△ABC 外接圆的半径, sinB sinC b 将原式转化为 8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC. ∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B+C)=0. ∴B+C=90° ,A=90° . 故△ABC 为直角三角形. 解法二:将已知等式变为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC. 由余弦定理可得: b2+c2-b2· ( a2+b2-c2 a2+c2-b2 2 2 ) -c ( )2 2ab 2ac a2+b2-c2 a2+c2-b2 =2bc· · , 2ab 2ac 即 b2+c2= [a2+b2-c2+?a2+c2-b2?]2 , 4a2 也即 b2+c2=a2,故△ABC 为直角三角形. 7 分析:(1)利用正弦定理求角 B;(2)利用余弦定理求边 b. 解:(1)由 a=2bsinA,根据正弦定理,得 1 sinA=2sinBsinA,所以 sinB= . 2 又△ABC 为锐角三角形,则角 B 为锐角, π 所以 B= . 6 (2)根据余弦定理, 得 b2=a2+c2-2accosB=27+25-45=7, 所以 b= 8 解:如图所示. 7. 在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=CA2+CB2-2CA×CBcosC =7.92+4.42-2×7.9×4.4×cos81° ≈70.89, ∴AB=8.42(cm). ∴乐清到钓鱼岛的实际距离为 8.42×4 300 000÷ 100 000=362.76(km). 9+16-13 12 1 9 解析:由余弦定理,得 cosA= = = , 2×3×4 24 2 ∴A=60° 3 3 3 = . 2 2 ∴AC 边上的高=AB· sinA=3× 答案:B 10 解析:设三边长分别为 a,b,c,且 a2+b2=c2. 设增加的长度为 m, 则 c+m>a+m,c+m>b+m, 又(a+m)2+(b+m)2=a2+b2+2(a+b)m+2m2>c2+2cm+m2=(c+m)2, ∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形. 答案:A 11 分析:利用一元二次方程得 a+b 与 ab 的值,从而求得 a2+b2 的值,由 余弦定理求得边 c. 解:由题意得 a+b=5,ab=2, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=25-4=21. ∴c2=a2+b2-2abcosC =a2+b2-ab=21-2=19. ∴c= 19. 12 分析:本题图形是由两个三角形组成的四边形,在△ABD 中,已知两边 和一边的对角,用正弦定理可求出另一边的对角,但得不到其与△BCD 的联 系. 可再考虑用余弦定理求出 BD, 其恰是两个三角形的公共边, 这样可在△BCD 中应用正弦定

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