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数学专题2集合与简易逻辑专题练习


高考总复习
一.选择题(每题 4 分,共 32 分)

专题二

集合与简易逻辑专题练习

1.已知全集 U,M、N 是 U 的非空子集,且 A. M N B. M N C. M=

M N

N,则必有( D.M=N



2.满足{1} A.5

A B.6

{1,2,3,4,5},且 A 中所有元素之和为奇数的集合 A 的个数是( C.7 D.8



3.已知 p:A C.充要条件

B;q:A

B=B ,则 p 是 q 的( B.必要不充分条件



A.充分不必要条件

D.既不充分又不必要条件 p是 q 的( )

4.设 p:x<-1 或 x>1; q:x<-2 或 x>1,则 A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.设 , A.x+y∈Y ,则( ) B.x+y∈X





,并且



C.x+y∈M

D.x+m∈Y

6.已知集合 P 满足关系( A.M=N P ) B.M N=P C.M





,则 M,N,

N

P

D.N

P

M )

7.若命题 p 的否命题为 r,命题 r 的逆命题为 s,则 s 是 p 的逆命题 t 的( A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题

8.给出命题:p:3≥3;q:函数 “p 且 q”; “p 或 q”;“非 p”中,真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3

在 R 上是连续函数,则在下列三个复合命题: )

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 1.已知命题 或 , ,则 p 是 q 的
1

条件.

2.已知命题





,则 p 是 q 的

条件.

3.“p 或 q 为真命题”是“p 且 q 为真命题”的

条件.

4.已知真命题“

”和“

”,则“

”是“

”的

条件.

三.解答题(本大题共有 4 题,满分 48 分) 1.(本题满分 12 分) 已知非空集合 2.(本题满分 12 分) 已知集合 A∩C= 同时成立,求实数 a 和集合 A. ,且 A∩B≠ , ,求函数 的值域.

3.(本题满分 12 分) 已知集合 围. 4.(本题满分 12 分) , ,C=A∩B,当 C 中仅含两个元素时,求实数 m 的取值范

已知集合 (A∪B)∪C=R,求 a,b 的值。 答案与解析 一.选择题 1.选 A 解析: M N N M. M={2},

,且(A∪B)∩C= ,

特取符合题意的集合 M={1,3},N={2},U={1,2,3}则 由此否定 B,C,D,故应选 A. 2.选 C 解析:由{1} A 得 1∈A.故满足 的

N={1,3},

双元素集合 A 个数为

,其中 2 个满足所有元素之和为奇数;

2

三元素集合 A 个数为 四元素集合 A 个数为 五元素集合 A 个数为

,其中 2 个满足所有元素之和为奇数; ,其中 2 个满足所有元素之和为奇数; , 这 1 个满足所有元素之和为奇数.

于是可知满足所有已知条件的集合 A 的个数为 7. 3.选 A 解析:A 又A B=B B A A B=B ,即 B,即 q p ;

∴p 是 q 的充分而不必要条件. 4.选 A 解析:这里 ∴ ∴ 是 ,但 的充分而不必要条件. ,

5.选 C 解析:从认知集合切入.在这里 M 为奇数集,X 为偶数集,Y 由被 4 除余 1 的奇数构成,Y M.

∴这里 m 为奇数,x 为偶数,y 是被 4 除余 1 的奇数(一类奇数),由此否定 A.B.D,本题应选 C. 6.选 B

解析:对于集合

,m∈Z;

集合

,n∈Z;

集合



∵3(n-1)+1,3p+1 都表示被 3 除余 1 的数. ∴N=P. ① 而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数(真包含于被 3 除余 1 的数中), ∴M P ②

∴由①,②知应选 B. 7.选 C 解析:利用四种命题之间的关系
3

p 的否命题为 r,r 的逆命题为 s ∴s 是 p 的逆否命题 又 t 是 p 的逆命题,∴s 是 t 的否命题 故应选 C 8.选 B 解析:在这里,p 是真命题,q 是假命题.因此,上述三个复合命题中只有“p 或 q”为真命题,故应选 B. 二.填空题 1.答案:必要而不充分 解析:运用原命题与它的逆否命题等价进行转化. 这里 ∴ ∴ ,p p:x=3 且 y=2, , q q:x+y=5.

∴p 是 q 的必要但不充分条件. 2.答案:既不充分又不必要 解析:这里 ∴ ∴q p且p 且 q 或 y=2,

∴p 是 q 的既不充分又不必要条件. 3.答案:必要不充分. 解析: 甲:p 或 q 为真命题 包括 p 真 q 真,p 真 q 假,p 假 q 假三种情形. 乙:p 且 q 为真命题只有 p 真 q 真. ∴甲 乙,乙 甲 ∴甲是乙的必要不充分条件. 4.答案:充分非必要条件 解析:仍运用等价命题进行转换. ∵ 又 ∴由①,②得 又反之不成立,故“ ,∴ ② . ”是“ ”的充分非必要条件. ①

三.解答题 1.分析:注意到非空集合 2xm+(x-1)2=0 的解集.
4

中的代表元素为 m,故 M 是以 m 为主元的含参方程



,所以 2x≠0,即 x≠0.

于是解题便从解方程 m(2x)+(x-1)2=0(x≠0)入手深入展开.

解:

非空

方程 m(2x)+(x-1)2=0 有解

x≠0

又 m(2x)+(x-1)2=0

∴当 x>0 时,



当 x<0 时, ∴由①,②得 ∴ 因此,当 x∈M 时,有 ∴ 即 ∴所求函数的值域为(,-1] [3,+ ). 或 或 , 或



错误解法:由

非空得



.

错因分析:所得 m 的取值范围虽然“殊途同归”,但对集合 M 的理解有误.这一解法客观上是理解为集合 {x|x2+2(m-1)x+1=0}非空,而未能注意到集合 M 中的代表元素为 m. 重申:认知集合,从认识代表元素开始,不可忽视了这关键的第一步. 2.分析:解决集合的问题,一般从化简和认知集合切入,从有关元素与集合或集合与集合之间的关系突破. 在这里,首先认知:B={2,3},C={-4,2},A 是一元二次方程 x2-ax+a2-19=0 的解集.进而从 A∩B≠ ,A∩C= 入手突破.

解:由已知得 B={2,3},C={-4,2}. 注意到 a 为集合 A 中二次方程的系数,故从考察有关元素与 A 的从属关系突破: A 又 C= , A∩B≠ 9-3a+a2-19=0 a2-3a-10=0 a=-2 或 a=5

即 3 为方程 x2-ax+a2-19=0 的一个根. (1)当 a=-2 时,x -ax+a -19=0
2 2 2

x +2x-15=0

(x+5)(x-3)=0
5

x=-5 或 x=3

此时 A={-5,3}满足已知条件. (2)当 a=5 时,x2-ax+a2-19=0 此时 A={2,3}与 2 A 矛盾. x2-5x+6=0 (x-2)(x-3)=0 x=2 或 x=3

于是由(1),(2)可得 a=-2,集合 A={5,3}. 3.分析:在这里,A、B 为点集或二元方程的解集,注意到描述集合 A、B 的函数的图象为我们所熟知,故想到运用 数形结合的思想:从有关方程的实解情况切入,向相关函数的图象的交点问题转化。 解: ∵C=A∩B,且 C 中仅含两个元素

∴这里 m≠0,且所给问题

方程 m|x|=x+m 有两个实解。

有两个不同的实数解(*)

构造函数

则(*)

在同一坐标系内,函数

的图象有两个交点。

(1)当 m>0 时,有

(2)当 m<0 时,有 于是综合(1)、(2)得所求 m 的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞) 4.分析:注意到这里 A、B 为已知集合,故循着上述例题的解题思路,从化简集合 A、B 切入,进而利用所给集合间 的关系,寻求或了解集合 C 的特性.本题难点的突破,就在于对集合 C 的寻觅与了解.

解:对于 A,由



或 x=0 ∴A={0}∪[1,3].

对于 B,由

6

∴B= 于是可得 A∪B=[0,3]. 又∵(A∪B)∩C= ,(A∪B)∪C=R, ∴C=(-∞,0)∪(3,+∞) 此时,注意到 C={x|ax -x+b>0}, ∴由①、②得 ax2-x+b=ax(x-3)且 a>0
2

① ②

因此,比较等式两边的系数得

7


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