当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学函数知识点总结(经典收藏)

高中数学函数知识点总结(经典收藏)

高中数学函数知识点总结

1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、 无序性”。
如:集合A ? ?x | y ? lg x?,B ? ?y | y ? lg x?,C ? ?(x, y) | y ? lg x?,A、B、C
中元素各表示什么? A 表示函数 y=lgx 的定义域,B 表示的是值域,而 C 表示的却是函
数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
? ? 如:集合A ? x|x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,B ? ?x|ax ? 1?
若B ? A,则实数a的值构成的集合为

(答:???1, ?

0,

31???)

显然,这里很容易解出 A={-1,3}.而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是-1 或者 3。根据条件,可以得到 a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万小心,还有 一个 B 为空集的情况,也就是 a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质:
? ? (1)集合 a1,a2,……,an 的所有子集的个数是2n ;
要知道它的来历:若 B 为 A 的子集,则对于元素 a1 来说,有 2 种选择(在 或者不在)。同样,对于元素 a2, a3,……an,都有 2 种选择,所以,总共有 2n 种选择, 即集合 A 有 2n 个子集。 当然,我们也要注意到,这 2n 种情况之中,包含了这 n 个元素全部在何全 部不在的情况,故真子集个数为 2n ?1,非空真子集个数为 2n ? 2
(2)若A ? B ? A ? B ? A,A ? B ? B;
(3)德摩根定律:
CU?A? B? ? ?CUA???CUB?,CU?A? B? ? ?CUA???CUB?
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
1

4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式

ax x2

? ?

5 a

?

0的解集为M,若3

?M且5

?M,求实数a

的取值范围。

(∵ 3

? M,∴

a·3 ? 5 32 ? a

?

0

∵5

? M,∴

a·5 ? 5 52 ? a

?

0

? a ? ???1, 53??? ??9,25? )

注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过; 如告

诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在 (??,1)上单调递减,在 (1, ??)上单调递增,

就应该马上知道函数对称轴是 x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想

到 m,n 实际上就是方程 的 2 个根

5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(?),“且”(?)和“非”(?).

若p ? q为真,当且仅当p、q均为真

若p ? q为真,当且仅当p、q至少有一个为真

若?p为真,当且仅当p为假
命题的四种形式及其相互关系是什么?

(互为逆否关系的命题是等价命题。)

原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)

A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q},



;则 p 是 q 的充分非必要条件 ? A _____ B ;



;则 p 是 q 的必要非充分条件 ? A _____ B ;



;则 p 是 q 的充要条件 ? A _____ B ;



;则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ? ___________ ;

7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和

B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?

(一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。)

注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,

则从 A 到 B 的映射个数有 nm 个。

如:若 A ? {1,2,3,4}, B ? {a,b, c};问: A 到 B 的映射有

个,B 到 A
2

的映射有

个;A 到 B 的函数有

个,若 A ? {1,2,3},则 A 到 B 的一一

映射有 个。

函数 y ? ?(x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为

个。

8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?

(定义域、对应法则、值域)

相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时

具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数

y

?

x?4 ? x? lg?x ? 3?2

的定义域是

(答:?0,2? ??2,3? ??3,4?)

函数定义域求法:

?

分式中的分母不为零;

?

偶次方根下的数(或式)大于或等于零;

?

指数式的底数大于零且不等于一;

?

对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。

?

正切函数 y ? tan x ?? x ? R,且x ? k? ? ? , k ? ? ??

?

余切函数 y ? cot x

??x

?

R,

且x

?

k?

,

k

2 ?

?

?

?

?

反三角函数的定义域

函数 y=arcsinx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是

,函数 y=

arccosx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数 y=arctgx 的定

义域是 R ,值域是

.,函数 y=arcctgx 的定义域是 R ,值域是 (0,

π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条

件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。

10. 如何求复合函数的定义域?

? ? 如:函数f (x)的定义域是 a,b ,b ? ?a ? 0,则函数F(x) ? f (x) ? f (?x)的定 义域是_____________。 (答:?a, ? a?)
复合函数定义域的求法:已知 y ? f (x) 的定义域为 ?m, n?,求 y ? f ?g(x)?的定
义域,可由 m ? g(x) ? n 解出 x 的范围,即为 y ? f ?g(x)?的定义域。

3

例 为

若函数

y?

f (x)

的定义域为

? ??

1 2

,2???

,则

f ( l o 2gx)

的定义域



分析:由函数

y

?

f

(x)

的定义域为

? ??

1 2

,2???

可知:1
2

?

x

?

2 ;所以

y

?

f

(log 2

x)

中有

1 2

?

log 2

x

?

2



解:依题意知:

1 2 ? log 2 x ? 2

解之,得

2?x?4

? ? ∴ f (log 2 x) 的定义域为 x | 2 ? x ? 4

11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例 求函数 y= 1 的值域
x
2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数 y= x 2 -2x+5,x?[-1,2]的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这 类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面 下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂

4

a.

y

?

b k+x2

型:直接用不等式性质

b.

y

?

x2

bx

型,先化简,再用均值不等式

? mx ? n

例:y

?

x 1+x2

1 ?
x+ 1

?1 2

x

c..

y

?

x2 ? m?x ? n? 型 x2 ? mx ? n

通常用判别式

d.

y

?

x2

? mx ? n 型 x?n

法一:用判别式

法二:用换元法,把分母替换掉

例:y

?

x2 ? x ? 1 x ?1

?(x+1)2 x?(?x1+1)+1

?(x+1)?

1 x ?1

?1

?

2

?1

?

1

4、反函数法

直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的

值域。 例 求函数 y= 3x ? 4 值域。
5x ? 6

5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的 值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。



求函数

y=

ex ex

?1 ?1



y

?

2sin? ?1 ,
1 ? sin?

y

?

2sin? ?1 的值域。
1 ? cos?

y ? ex ?1 ? ex ? 1? y ? 0

ex ?1

1? y

y ? 2 sin ? ? 1 ?| sin ? |?| 1 ? y |? 1,

1 ? sin ?

2? y

y ? 2 sin ? ? 1 ? 2 sin ? ? 1 ? y(1 ? cos? ) 1 ? cos?
2 sin ? ? y cos? ? 1 ? y

4 ? y 2 sin(? ? x) ? 1 ? y,即sin(? ? x) ?

1? y 4 ? y2

又由 sin(? ? x) ? 1知 1 ? y ? 1
4 ? y2 解不等式,求出y,就是要求的答案

6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容

例求函数

y=

2x?5

?

log 3

x ?1 (2≤x≤10)的值域

5

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有
根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值
域中同样发 挥作用。
例 求函数 y=x+ x ?1 的值域。
8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜 率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例(:1)x已?y知2的点取P值(范x围.y)在圆 x2+y2=1 上,
(2)y-2x的取值范围 解:(1)令 y ? k,则y ? k(x ? 2),是一条过(-2,0)的直线. x?2
例求函数 y= (x?2)2 + (x?8)2 的值域。
解:原函数d ?可R(化d为简圆得心:到y直=∣线的x-距2∣离,+R∣为x半+8径∣)
(2)令y-2x ? b,即y ? 2x ? b ? 0,也是直线d d ? R

上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2),B(-8)间的距离之和。

由上图可知:当点 P 在线段 AB 上时,

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时,

y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10

故所求函数的值域为:[10,+∞)

例求函数 y= x2 ? 6x ?13 + x2 ? 4x ? 5 的值域
解:原函数可变形为:

y=

(x?3)2 ? (0?2)2

+

(x?2)2 ? (0?1)2

上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到两定点
6

A(3,2),B(-2,-1)的距离之和, 由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 , y = ∣ AB ∣
m in
= (3?2)2 ? (2?1)2 = 43 ,
故所求函数的值域为[ 43 ,+∞)。 注:求两距离之和时,要将函数 9 、不等式法
利用基本不等式 a+b≥2 ab ,a+b+c≥3 3 abc (a,b,c∈ R? ),求
函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要

求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例 :

x2(3-2x)(0<x<1.5) =x ? x ?(3-2x)? ( x ? x+3-2x )3 ? 1
3 (应用公式abc ? ( a ? b ? c )3时,应注意使3者之和变成常数)
3

x2 ? 2 ( x ? 0) x

=x2 ? 1 ? 1 ? 3 3 x2 ? 1 ? 1 ? 3

xx

xx

(应用公式a+b+c ? 3 3 abc时,注意使3者的乘积变成常数)

倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况

例 求函数 y= x ? 2 的值域
x?3

y ? x?2 x?3
x ? 2 ? 0时,

1 ? x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?

y

x?2

x ? 2 ? 0时,y=0

?0 ? y ? 1 2

多种方法综合运用

1 ?2?0? y? 1

x?2

2

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特 征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本

7

不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了

吗?

切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单

位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交



? ? 如:f x ? 1 ? ex ? x,求f (x).

令t ? x ? 1,则t ? 0

∴x ? t 2 ? 1

∴f (t) ? et2 ?1 ? t 2 ? 1

∴f (x) ? ex2?1 ? x2 ? 1?x ? 0?

13. 反函数存在的条件是什么?

(一一对应函数)

求反函数的步骤掌握了吗?

(①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)
在(答 更:多如f:时?1(求候x)函?,数?????反?x f?函(?1xx)数??x的??????1?x??求x?12?x0法? ) ??只xx ??是00??在的选反择函数题中出现,这就为我们这些喜欢偷

懒的人提供了大方便。请看这个例题:

(2004.全国理)函数 y ? x ?1 ? 1(x ? 1) 的反函数是( B )

A.y=x2-2x+2(x<1)

B.y=x2-2x+2(x≥1)

C.y=x2-2x (x<1)

D.y=x2-2x (x≥1)

当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想, 一番心血之后,如

果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的。可惜,这个不合我胃口,

因为我一向懒散惯了,不习惯计算。下面请看一下我的思路:

原函数定义域为 x〉=1,那反函数值域也为 y>=1. 排除选项 C,D.现在看

值域。原函数至于为 y>=1,则反函数定义域为 x>=1, 答案为 B.

我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明

白呢?

14. 反函数的性质有哪些?

8

反函数性质:

1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的 x 对应原

函数中的 y)

2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的 y 对应原函

数中的 x)

3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称(难怪点(x,y)和点(y, x)关于直线 y=x 对称

①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称;

②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y ? f(x)的定义域为A,值域为C,a ?A,b ?C,则f(a) = b ? f ?1(b) ? a

? ? ?f ??1 f (a)? ? f ?1(b) ? a,f f ?1(b) ? f (a) ? b

由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如

( 04.

上海春季高考)已知函数

f

(

x)

?

log

3

(

4 x

?2) ,则方程

f

?1 (x) ? 4

的解

x ? __________.

15 . 如何用定义证明函数的单调性?

(取值、作差、判正负)

判断函数单调性的方法有三种:

(1)定义法:

根据定义,设任意得 x1,x2,找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系

可以变形为求 f (x1) ? f (x2 ) 的正负号或者 f (x1) 与 1 的关系

x1 ? x2

f (x2 )

(2)参照图象:

①若函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数 f(x)在关于点(a,0)的对

称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数)

②若函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称,则函数 f(x)在关于点(a,0)的

对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数)

(3)利用单调函数的性质:

①函数 f(x)与 f(x)+c(c 是常数)是同向变化的

②函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数),当 c>0 时,它们是同向变化的;当 c<

0 时,它们是反向变化的。

③如果函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)+f2(x)和它们同向变

化;(函数相加)

9

④如果正值函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们同向 变化;如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们 反向变化;(函数相乘) ⑤函数 f(x)与 1 在 f(x)的同号区间里反向变化。
f (x)
⑥若函数 u=φ(x),x[α,β]与函数 y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或 u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数 y=F[φ(x)]是 递增的;若函数 u=φ(x),x[α,β]与函数 y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)] 或 u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数 y=F[φ(x)] 是递减的。(同增异减) ⑦若函数 y=f(x)是严格单调的,则其反函数 x=f-1(y)也是严格单调的, 而且,它们的增减性相同。

f(g

g(x

f[g

f(x)

f(x)*g(x) 都

)

)

(x)

+g(x

是正数

]

)

















/

/







/

/











? ? 如:求y ? log1 ?x2 ? 2x 的单调区间
2
(设u ? ?x2 ? 2x,由u ? 0则0 ? x ? 2
且 log 1 u ? ,u ? ??x ? 1?2 ? 1,如图:
2
u

O

1

2

x

当x ?(0,1]时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2
当x ?[1,2)时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

10

∴……)

16. 如何利用导数判断函数的单调性?
在区间?a,b?内,若总有f'(x) ? 0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '(x) ? 0呢?
? 如:已知a ? 0,函数f(x) ? x3 ? ax在 1, ? ??上是单调增函数,则a的最大

值是__________。

(令f '(x)

?

3x 2

?

a

?

? 3? x

?

a

?? ??

x

?

a

? ?

?

0

? 3?? 3?

则x ? ? a 或x ? a

3

3

由已知f (x)在[1, ? ?)上为增函数,则 a ? 1,即a ? 3 3
∴a 的最大值为 3)
17. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)
若f (?x) ? ?f (x)总成立 ? f (x)为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f (?x) ? f (x)总成立 ? f (x)为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的

乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。

如:若f (x)

?

a·2 x 2x

?a ?1

?

2

为奇函数,则实数a

?

(∵f (x)为奇函数,x ?R,又0 ?R,∴f (0) ? 0

11



a· 2 0 20

?a ?1

?

2

?

0,∴a

?

1)

又如:f (x)为定义在(?1,1)上的奇函数,当x

?(0,1)时,f (x)

?

2x , 4x ?1

求f (x)在??1,1?上的解析式。

(令x

???1,0?,则

?

x

??0,1?,f (?x)

?

2?x 4?x ?

1

又f

(x)为奇函数,∴f

(x)

?

?

2?x 4?x ?

1

?

?

1

2x ? 4x

? 2x

又f (0)

?

0,∴f (x)

?

??? ?

4x

?1

? 2x

?? 4 x ? 1

判断函数奇偶性的方法

x ? (?1,0)

x?0



x ??0,1?

一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶) 函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函 数.

二、 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算 f (?x) ,然后根据函数

的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形

f(x)+f(-x) =0 奇函数

f(x)-f(-x)=0 偶函数

f(x) f(-x)

?

1

f(x) f(-x)

?

?1

偶函数 奇函数

三、 复合函数奇偶性

f(g

g(x

f[g

f(x)

f(x)

)

)

(x)

+g(x

*g(x

]

)

)











12







非奇非偶 奇







非奇非偶 奇











18. 你熟悉周期函数的定义吗?
(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f?x ? T? ? f (x),则f (x)为周期
函数,T 是一个周期。)
如:若f?x ? a? ? ?f(x),则
(答:f (x)是周期函数,T ? 2a为f (x)的一个周期)
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们

要 马 上 反 应 过 来 , 这 时 说 这 个 函 数 周 期 2t. 推 导 :

f ( x?)

f (? x ?) t ? 0

f ( ?x ) t?

(f

?

x

2??

? ?)

?f t

(

x) 0

? f ( x,? 2 t)

同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实

这都是说同样一个意思:函数 f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内

的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如,f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)

就都表示函数关于直线 x=a 对称。

又如:若f ( x)图象有两条对称轴x ? a,x ? b 即f (a ? x) ? f (a ? x),f (b ? x) ? f (b ? x)

??

? ? ?

f f

( x) ( x)

? ?

f f

(2a (2b

? ?

x)?

x)

? ?

??

f (2a ? x) ?

f (2b ? x)

令t ? 2a ? x, 则2b ? x ? t ? 2b ? 2a, f (t) ? f (t ? 2b ? 2a)

即f ( x) ? f ( x ? 2b ? 2a)

所以,函数f ( x)以2 | b ? a | 为周期(因不知道a, b的大小关系,

为保守起见,我加了一个绝对值

13

19. 你掌握常用的图象变换了吗? f(x)与f(?x)的图象关于 y轴 对称 联想点(x,y),(-x,y) f(x)与 ? f(x)的图象关于 x轴 对称 联想点(x,y),(x,-y) f(x)与 ? f(?x)的图象关于 原点 对称 联想点(x,y),(-x,-y) f(x)与f ?1(x)的图象关于 直线y ? x 对称 联想点(x,y),(y,x) f(x)与f(2a ? x)的图象关于 直线x ? a 对称 联想点(x,y),(2a-x,y) f(x)与 ? f(2a ? x)的图象关于 点(a,0) 对称 联想点(x,y),(2a-x,0)
将y ? f (x)图象 ?左?移?a?(a??0)?个?单?位?? y ? f (x ? a) 右移a(a?0)个单位 y ? f (x ? a)
?上?移?b?(b??0?)个?单?位?? y ? f (x ? a) ? b 下移b(b?0)个单位 y ? f (x ? a) ? b
(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写 出来吧。对于这种题目,其实根本不用这么麻烦。你要判断函数 y-b=f(x+a) 怎么由 y=f(x)得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原 点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)
注意如下“翻折”变换:
f (x) ?? ? | f (x) | 把x轴下方的图像翻到上面 f (x) ?? ? f (| x |)把y轴右方的图像翻到上面
如:f (x) ? log2 ?x ? 1?
作出y ? log2 ?x ?1? 及y ? log2 x ?1的图象

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性

y
质了吗?
y=log2x

O

1

x

14

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0? (k 为斜率,b 为直线与 y 轴的交点)

(k<0) y

(2)反比例函数:y ? k ?k ? 0?推广为y ? b ? k ?k ? 0?是中心O'(a,b)

x

x?a

y=b

的双曲线。

O

(k>0)
O’(a,b) x

x=a

(3)二次函数y

?

ax2

?

bx

?

c

?a

?

0?

?

a??? x

?

b ?2 2a ??

?

4ac ? 4a

b2

图象为抛物线

顶点坐标为?? ?

b



4ac

?

b2

? ?

,对称轴x

?

?

b

? 2a

4a ?

2a

开口方向:a

? 0,向上,函数y min

?

4ac ? b 2 4a

a

?

0,向下,y max

?

4ac ? 4a

b2

根的关系:x ? ?b ? 2a

x1

?

x2

?

?

b a

, x1 ?

x2

?

c a

,|

x1

?

x2

|?

|

a

|

二次函数的几种表达形式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(一般式) f ( x) ? a(x ? m)2 ? n(顶点式,(m,n)为顶点 f ( x) ? a( x ? x1)( x ? x2 )( x1, x2是方程的2个根) f ( x) ? a( x ? x1)( x ? x2 ) ? h(函数经过点(x1, h)( x2 , h)
应用: ①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——
二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x2 为二次函数y ? ax2 ? bx ? c的图象与x轴

的两个交点,也是二次不等式ax2 ? bx ? c ? 0 (? 0)解集的端点值。

15

②求闭区间[m,n]上的最值。

区间在对称轴左边(n ? ? b ) f max ? f (m), f min ? f (n) 2a
区间在对称轴右边(m ? ? b ) f max ? f (n), f min ? f (m) 2a
区间在对称轴2边 (n ? ? b ? m) 2a
f min ? 4ac ? b2 , f max ? max( f (m), f (n)) 4a
也可以比较m, n和对称轴的关系,距离越远,值越大 (只讨论a ? 0的情况)
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

一根大于k,一根小于k ? f (k) ? 0

?? ? 0

在区间(m,n)内有2根

?

? ??m ?

?

?

b 2a

?

n

? f (m) ? 0 ? ?? f (n) ? 0

在区间(m,n)内有1根 ? f (m) f (n) ? 0

?? ? 0

如:二次方程ax 2

?

bx

?

c

?

0的两根都大于k

?

???? ?

b 2a

?

k

??f (k) ? 0

y

O

k x1

(a>0)

x2

x

16

(4)指数函数:y ? ax ?a ? 0,a ? 1?

(5)对数函数y ? loga x?a ? 0,a ? 1?

由图象记性质!

(注意底数的限定!)

(6)“对勾函数” y ? x ? k ?k ? 0?
x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
y
(均值不等式一定要注意等号成立的条件)

20. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a 0

? 1 (a ? 0),a ?p

?

1 ap

(a

? 0)

?k

Ok

x

对数运算:loga (M ? N) ? loga M ? loga N ?M ? 0,N ? 0?

y
(0<a<1) 1

y=ax(a>1) y=logax(a>1)

O1

x

(0<a<1)

loga

M N

?

loga

M

? loga

N, loga

n

M

?

1 n

loga

M

对数恒等式:a loga x ? x

m
an

?n

am

(a

?

0),a

?m n

?

1

(a ? 0)

n am

17

对数换底公式:loga

b

?

logc logc

b a

?

logam

bn

?

n m

loga

b

loga

x

?

1 log x

a

21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)
如:(1)x ?R,f (x)满足f (x ? y) ? f (x) ? f (y),证明f (x)为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ?x,……) (2)x ?R,f (x)满足f (xy) ? f (x) ? f (y),证明f (x)是偶函数。
(先令x ? y ? ?t ? f?(?t)(?t)? ? f (t·t)
∴f (?t) ? f (?t) ? f (t) ? f (t) ∴f (?t) ? f (t)……)
? ? (3)证明单调性:f(x2 ) ? f ?x2 ? x1? ? x2 ? ……
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了 1、 代 y=x, 2、 令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1) 3、 求奇偶性,令 y=—x;求单调性:令 x+y=x1

几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数

f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y)

2. 幂函数型的抽象函数

f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y);f( x )= f (x)

y

f (y)

3. 指数函数型的抽象函数 f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y);f(x

-y)= f (x)
f (y)

4. 对数函数型的抽象函数

18

f(x)=logax(a>0 且 a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y);f( x )
y
= f(x)-f(y) 5. 三角函数型的抽象函数
f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)= f (x) ? f ( y)
1? f (x) f (y)
f(x)=cotx------------------------ f(x+y)= f (x) f ( y) ?1
f (x) ? f (y)

例 1 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)=f(x)+f(y),
且当 x>0 时,f(x)>0,f(-1)= -2 求 f(x)在区间[-2,1]上的值域. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(注意到 f(x2)=f[(x2
-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1));再根据区间求其值域.

例 2 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)+2=f(x)+ f(y),且当 x>0 时,f(x)>2,f(3)= 5,求不等式 f(a2-2a-2)<3 的 解. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(仿例 1);再求出 f(1)=3; 最后脱去函数符号.

例 3 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)f(y),

且 f(-1)=1,f(27)=9,当 0≤x<1 时,f(x)∈[0,1].

(1) 判断 f(x)的奇偶性;

(2) 判断 f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;

(3) 若 a≥0 且 f(a+1)≤ 3 9 ,求 a 的取值范围.

分析:(1)令 y=-1;

(2)利用 f(x1)=f( x1 ·x2)=f( x1 )f(x2);

(3)0≤a≤2.

x2

x2

例 4 设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在 x1
19

≠x2,使得 f(x1)≠f(x2);对任何 x 和 y,f(x+y)=f(x)f(y)成 立.求: (1) f(0); (2) 对任意值 x,判断 f(x)值的符号.
分析:(1)令 x= y=0;(2)令 y=x≠0.

例 5 是否存在函数 f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f (a+b)= f(a)f(b),a、b∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在, 求出 f(x)的解析式,若不存在,说明理由.
分析:先猜出 f(x)=2x;再用数学归纳法证明.

例 6 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(x·y) =f(x)+f(y),f(3)=1,求: (1) f(1); (2) 若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围. 分析:(1)利用 3=1×3;
(2)利用函数的单调性和已知关系式.

例 7 设函数 y= f(x)的反函数是 y=g(x).如果 f(ab)=f(a) +f(b),那么 g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由. 分析:设 f(a)=m,f(b)=n,则 g(m)=a,g(n)=b, 进而 m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]….

f (x) f (y)
例 8 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:



x1、x2 是定义域中的数时,有 f(x1-x2)= f (x1) f (x2 ) ?1 ;

f (x2 ) ? f (x1)



f(a)= -1(a>0,a 是定义域中的一个数);



当 0<x<2a 时,f(x)<0.

试问:

(1)

f(x)的奇偶性如何?说明理由;

(2)

在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由.

20

分析:(1)利用 f [-(x1-x2)]= -f [(x1-x2)],判定 f(x)

是奇函数;

(3)

先证明 f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,

4a)上也是增函数.

对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊

模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本

初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从

而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f(x)(x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y),

(1) 求证:f(1)=f(-1)=0;

(2) 求证:f(x)为偶函数;

(3) 若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f(x)+f(x
- 1 )≤0.
2
分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0) (1) 先令 x=y=1,再令 x=y= -1; (2) 令 y= -1; (3) 由 f(x)为偶函数,则 f(x)=f(|x|).

例 10 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足 f(0)≠0,f(x+y) =f(x)·f(y),且当 x<0 时,f(x)>1,求证: (1) 当 x>0 时,0<f(x)<1; (2) f(x)在 x∈R 上是减函数. 分析:(1)先令 x=y=0 得 f(0)=1,再令 y=-x;
(2)受指数函数单调性的启发:由 f(x+y)=f(x)f(y)可得 f(x-y)=

进而由 x1<x2,有 f (x1) =f(x1-x2)>1.
f (x2 )

练习题:

1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数 x、y 都成立,则(

(A)f(0)=0

(B)f(0)=1

(C)f(0)=0 或 1

(D)以上都不对


21

2. 若对任意实数 x、y 总有 f(xy)=f(x)+f(y),则下列各式中错误

的是( )

(A)f(1)=0

(B)f( 1 )= f(x)

(C)f( x )= f(x)-f(y)

(D)f(xxn)=nf(x)(n∈N)

y
3.已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)

f(y),且当 x<0 时,f(x)>1,则当 x>0 时,f(x)的取值范围是( )

(A)(1,+∞)

(B)(-∞,1)

(C)(0,1)

(D)(-1,+∞)

4.函数 f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的 x1、x2 都有

f(x1-x2)= f (x1) ? f (x2 ) ,则 f(x)为( )
1? f (x1) f (x2 )

(A)奇函数非偶函数

(B)偶函数非奇函数

(C)既是奇函数又是偶函数

(D)非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数 f(x)对任意实数 x、y 满足 f(x+y)+f(x-y)

=2[f(x)+f(y)],则函数 f(x)是( )

(A)奇函数非偶函数

(B)偶函数非奇函数

(C)既是奇函数又是偶函数

(D)非奇非偶函数

参考答案:

1.A

2.B

3 .C

4.A

5.B

2
2? 2
2

23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为 R 的弧长公式和扇

形面积公式吗?

(l

?

? ·R,S扇

?

1 l·R 2

?

1 2

? ·R2 )

(和三角形的面积公式很相似,

可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)

R 1 弧度

O

R

22


更多相关文档:

【精品】高中数学函数知识点总结(经典收藏).doc

【精品】高中数学函数知识点总结(经典收藏) - 高中数学函数知识点总结 1. 对

高中数学函数知识点总结(经典收藏)..doc

高中数学函数知识点总结(经典收藏)._数学_高中教育_教育专区。高中数学函数知识点总结(经典收藏).,高中所有数学公式整理,高中数学知识点归纳,高中数学重点知识归纳,...

高中数学函数知识点总结(经典收藏).doc

高中数学函数知识点总结(经典收藏) - 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,

高中数学函数知识点总结材料(经典收藏).doc

高中数学函数知识点总结材料(经典收藏) - 实用标准 高中数学函数知识点总结 1

高中数学函数知识点总结(经典收藏)-高中课件精选.doc

高中数学函数知识点总结(经典收藏)-高中课件精选 - 教案,习题,学习资料,课外

023316_高中数学函数知识点总结(经典收藏).doc

023316_高中数学函数知识点总结(经典收藏) - 高中数学函数知识点总结 1

高中数学函数知识点完整总结(总结收藏版).doc

高中数学函数知识点完整总结(总结收藏版) - 高中数学函数知识点总结 1. 对于

高中数学经典函数知识点总结.doc

高中数学经典函数知识点总结 - 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓

高中数学函数知识点经典总结.doc

高中数学函数知识点经典总结 - 学习必备 欢迎下载 高中数学函数知识点总结 1.

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版).doc

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版) - 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角

高中数学经典函数知识点总结(重要).doc

高中数学经典函数知识点总结(重要) - 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,

高中数学经典函数知识点总结(重要)综述.doc

高中数学经典函数知识点总结(重要)综述 - 高中数学函数知识点总结 1. 对于集

高中数学函数知识点总结.txt

高中数学函数知识点总结 - 百度首页我爱晴朗天空6? 加入文库VIP消息更多 网

高中数学函数知识点总结(经典收藏).doc

高中数学函数知识点总结(经典收藏) - 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,

...高中(必修一)数学函数知识点与典型例题总结(经典)pp....ppt

人教版高中(必修一)数学函数知识点与典型例题总结(经典)ppt课件 - 第一章

高中数学函数知识点总结,经典习题及参考答案_图文.doc

高中数学函数知识点总结,经典习题及参考答案 - 高中数学函数知识点总结,经典习题

高中数学函数知识点总结材料(全).doc

高中数学函数知识点总结材料(全) - 实用文档 高中数学函数知识点总结 1. 对

高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高....ppt

高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高一或高三复习) - 第一章

高中数学函数部分知识点总结(修正版)_图文.pdf

高中| 数学函数| 修正版|高中数学函数部分知识点总结(修正版)_高三数学_数学

高中数学函数知识点经典总结.doc

高中数学函数知识点经典总结 - 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com