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高中数学函数知识点总结(经典收藏)


高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、 无序性” 。
如:集合A ? ?x | y ? lg x? ,B ? ?y | y ? lg x? ,C ? ?( x, y) | y ? lg x? ,A、B、C

中元素各表示什么? A 表示函数 y=lgx 的定义域,B 表示的是值域,而 C 表示的却是函 数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
如:集合A ? x| x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? ?x| ax ? 1?

?

?

若B ? A,则实数a的值构成的集合为
1? ? (答: ??1,0, ?) 3? ?

显然,这里很容易解出 A={-1,3}.而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是-1 或者 3。根据条件,可以得到 a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万小心,还有 一个 B 为空集的情况,也就是 a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质:
(1)集合?a 1,a 2 ,??,a n ?的所有子集的个数是 2 n ;

要知道它的来历:若 B 为 A 的子集,则对于元素 a1 来说,有 2 种选择(在 或者不在) 。同样,对于元素 a2, a3,……an,都有 2 种选择,所以,总共有
2n 种选择, 即集合 A 有 2n 个子集。

当然,我们也要注意到,这 2n 种情况之中,包含了这 n 个元素全部在何全 部不在的情况,故真子集个数为 2 n ? 1 ,非空真子集个数为 2n ? 2
(2)若A ? B ? A ? B ? A,A ? B ? B;

(3)德摩根定律:

CU ?A ? B? ? ?CU A? ??CU B?,CU ?A ? B? ? ?CU A? ??CU B?
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
1

4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
如:已知关于x的不等式 ax ? 5 ? 0的解集为M,若 3 ? M且5 ? M,求实数a x2 ? a

的取值范围。
(∵ 3 ? M,∴ a· 3 ? 5 ?0 32 ? a a·5 ? 5 ?0 52 ? a 5? ? ? a ? ?1, ? ??9, 25? ) 3? ?

∵5 ? M,∴

注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过; 如告 诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 就应该马上知道函数对称轴是 x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想 到 m,n 实际上就是方程 的 2 个根 5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(?),“且”(?) 和“非” (?).

若p ? q为真,当且仅当p、q均为真 若p ? q为真,当且仅当p、q至少有一个为真
若?p为真,当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。 ) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)
A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} ,

若 若 若 若

;则 p 是 q 的充分非必要条件 ? A _____B ; ;则 p 是 q 的必要非充分条件 ? A _____B ; ;则 p 是 q 的充要条件 ? A _____B ; ;则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ? __________ _ ;

7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。 ) 注意映射个数的求法。 如集合 A 中有 m 个元素, 集合 B 中有 n 个元素, 则从 A 到 B 的映射个数有 nm 个。 如:若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} ;问: A 到 B 的映射有 个, B 到 A
2

的映射有 映射有

个; A 到 B 的函数有 个。

个,若 A ? {1,2,3} ,则 A 到 B 的一一 个。

函数 y ? ? ( x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)

相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时 具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数 y ? x?4 ? x? lg?x ? 3?
2

的定义域是

(答:?0, 2? ??2 , 3? ??3, 4?)

函数定义域求法: ? ? ? ? ? ? ? 分式中的分母不为零; 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 正切函数 y ? tan x 余切函数 y ? cot x
? ? ? ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ? ?x ? R, 且x ? k? , k ? ? ?

反三角函数的定义域 ,值域是 ,函数 y =

函数 y= arcsinx 的定义域是 [ - 1, 1] 义域是 R , 值域是 π) .

arccosx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数 y=arctgx 的定 ., 函数 y=arcctgx 的定义域是 R , 值域是 (0,

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条 件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域?
如:函数f ( x) 的定义域是 a,b ,b ? ? a ? 0,则函数F(x) ? f ( x) ? f (? x) 的定

?

?

义域是_____________。

(答: a, ? a )

复合函数定义域的求法:已知 y ? f ( x) 的定义域为 ?m, n? ,求 y ? f ?g ( x)? 的定 义域,可由 m ? g ( x) ? n 解出 x 的范围,即为 y ? f ?g ( x)? 的定义域。
3

?

?

例 为

1 ? 若 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 ? ,2 , 则 f ( l o 2gx) 的 定 义 域 ? ?2 ? ?


? 分析: 由函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? 所以 y ? f (log2 x) ,2? 可知: ? x ? 2 ; ? 2 ?2 ? 1
1

中有 ? log 2 x ? 2 。 解:依题意知: 解之,得 ∴
1 ? log 2 x ? 2 2

1 2

2?x?4

f (log2 x) 的定义域为 x | 2 ? x ? 4

?

?

11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例 求函数 y= 的值域 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y= x 2 -2x+5,x? [-1,2]的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这 类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面 下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
1 x

4

b 型:直接用不等式性质 k+x2 bx b. y ? 2 型,先化简,再用均值不等式 x ? mx ? n x 1 1 例:y ? ? ? 1 2 1+x2 x+ x x2 ? m ?x ? n ? c.. y ? 型 通常用判别式 x2 ? mx ? n 2 x ? mx ? n d. y ? 型 x?n 法一:用判别式 a. y? 法二:用换元法,把分母替换掉 例:y ?
2 x2 ? x ? 1 (x+1) ? (x+1) +1 ? x ?1 x ?1

? (x+1) ?

1 ?1 ? 2 ?1 ? 1 x ?1

4、反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的 值域。 例 求函数 y=
3x ? 4 值域。 5x ? 6

5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的 值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。 例 求函数 y=
y ?

ex ?1 2 sin ? ? 1 2 sin ? ? 1 ,y? ,y? 的值域。 x 1 ? sin ? 1 ? cos ? e ?1

ex ? 1 1? y ? ex ? ? 0 1? y ex ? 1 2 sin ? ? 1 1? y y ? ?| sin ? |?| |? 1, 1 ? sin ? 2? y 2 sin ? ? 1 y ? ? 2 sin ? ? 1 ? y (1 ? cos ? ) 1 ? cos ? 2 sin ? ? y cos ? ? 1 ? y 4 ? y 2 sin(? ? x ) ? 1 ? y , 即 sin(? ? x ) ? 又由 sin(? ? x ) ? 1知 1? y 4 ? y2 ?1 1? y 4 ? y2

解不等式,求出y,就是要求的答案

6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y= 2x?5 ? log 3 x ? 1 (2≤x≤10)的值域
5

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有 根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值 域中同样发 挥作用。 例 求函数 y=x+ 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜 率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 y 例:已知点 P(x.y)在圆 x2+y2=1 上, x?2
(2)y-2x的取值范围 解:(1)令 y ? k , 则y ? k ( x ? 2), 是一条过(-2,0)的直线. x?2 2 2 (1) 的取值范围
x ? 1 的值域。

例求函数 y=

(x?2)

+

(x?8)

的值域。

d ? R(d 为圆心到直线的距离 为半径 ) 解:原函数可化简得: y=∣x-2∣,R +∣ x+8∣

(2)令y-2x ? b, 即y ? 2 x ? b ? 0, 也是直线d d ? R

上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) ,B(-8)间的距离之和。 由上图可知:当点 P 在线段 AB 上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10 故所求函数的值域为:[10,+∞) 例求函数 y= y=

x

2

? 6 x ? 13 +
2

x

2

? 4 x ? 5 的值域
2

解 : 原 函 数 可 变 形 为 :

(x?3) ? (0?2) (x?2) ? (0?1)
2 2

+

上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到两定点
6

A(3,2) ,B(-2,-1)的距离之和, 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时,y =
min

= ∣ AB ∣

(3?2) ? (2?1)
2

2

=

43 ,

故所求函数的值域为[ 9 、不等式法

。 43 ,+∞)

注:求两距离之和时,要将函数 利用基本不等式 a+b≥2
ab ,a+b+c≥3 3 abc (a,b,c∈

R

?

) ,求

函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要 求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 :
x2(3-2x)(0<x<1.5) x ? x+3-2x 3 =x ? x ?(3-2x) ? ( ) ?1 3 a?b?c 3 (应用公式abc ? ( ) 时,应注意使3者之和变成常数) 3
x2 ? 2 ( x ? 0) x 1 1 1 1 =x2 ? ? ? 3 3 x2 ? ? ?3 x x x x (应用公式a+b+c ? 3 3 abc时,注意使3者的乘积变成常数)

倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 例 求函数 y=
y ?

x?2 的值域 x?3

x?2 x?3 x ? 2 ? 0时, 1 x ? 2 ?1 ? ? x?2? y x?2 x ? 2 ? 0时,y =0 ?0 ? y ? 1 2

1 x?2

?2?0? y ?

1 2

多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特 征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本
7

不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了 吗? 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单 位等东西要记得协商, 不要犯我当年的错误, 与到手的满分失之交 臂
如:f

?

x ? 1 ? e x ? x,求f (x).

?

令t ? x ? 1,则t ? 0

∴x ? t 2 ? 1

∴f ( t) ? e t

2

?1
2

? t2 ?1
? x 2 ? 1 ?x ? 0?

∴f (x) ? e x

?1

13. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)
(答:f ( x) ? ? ? ?? ? x

?x ? 0? 在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷

? ?1 ? x 如:求函数 f (x) ? ? 2 ? ?? ?x 1? ? ?x ? 1 ? x ?1

?x ? 0? 的反函数 ?x ? 0?



懒的人提供了大方便。请看这个例题: (2004.全国理)函数 y ? x ? 1 ? 1( x ? 1) 的反函数是( B ) A.y=x2-2x+2(x<1) C.y=x2-2x (x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1) D.y=x2-2x (x≥1)

当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想, 一番心血之后,如 果不出现计算问题的话, 答案还是可以做出来的。 可惜, 这个不合我胃口, 因为我一向懒散惯了,不习惯计算。下面请看一下我的思路: 原函数定义域为 x〉=1,那反函数值域也为 y>=1. 排除选项 C,D.现在看 值域。原函数至于为 y>=1,则反函数定义域为 x>=1, 答案为 B. 我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书) 。思路能不能明 白呢? 14. 反函数的性质有哪些?
8

反函数性质: 1、 2、 3、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的 x 对应原 反函数的值域是原函数的定义域 (可扩展为反函数中的 y 对应原函 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称(难怪点(x,y)和点(y, ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设y ? f(x)的定义域为A,值域为C,a ?A,b ?C,则f(a) = b ? f ?1 (b) ? a
? f ?1? f (a )? ? f ?1 ( b) ? a,f f ?1 ( b) ? f (a ) ? b

函数中的 y) 数中的 x) x)关于直线 y=x 对称

?

?

由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如 ( 04. 上海春季高考)已知函数 f ( x) ? log3 ( 4 ? 2 ) ,则方程
x ? __________.

x

f ?1 ( x) ? 4

的解

15 . 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义,设任意得 x1,x2,找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求 (2)参照图象: ①若函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数 f(x)在关于点(a,0)的对 称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数) ②若函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称,则函数 f(x)在关于点(a,0)的 对称区间里具有相反的单调性。 (特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质: ①函数 f(x)与 f(x)+c(c 是常数)是同向变化的 ②函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数),当 c>0 时,它们是同向变化的;当 c< 0 时,它们是反向变化的。 ③如果函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)+f2(x)和它们同向变 化; (函数相加)
9

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f (x ) 的正负号或者 1 与 1 的关系 f ( x2 ) x1 ? x2

④如果正值函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们同向 变化;如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们 反向变化; (函数相乘) ⑤函数 f(x)与 f 1 在 f(x)的同号区间里反向变化。 ( x) ⑥若函数 u=φ(x),x[α,β]与函数 y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或 u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数 y=F[φ(x)]是 递增的; 若函数 u=φ(x),x[α, β]与函数 y=F(u), u∈[φ(α), φ(β)] 或 u∈[φ(β), φ(α)]反向变化, 则在[α, β]上复合函数 y=F[φ(x)] 是递减的。 (同增异减) ⑦若函数 y=f(x)是严格单调的,则其反函数 x=f-1(y)也是严格单调的, 而且,它们的增减性相同。 f(g ) 增 增 减 减 g(x ) 增 减 增 减 f[g (x) ] 增 减 减 增 f(x) +g(x ) 增 / / 减 增 / / 减 f(x)*g(x) 是正数 都

如:求y ? log 1 ? x 2 ? 2 x 的单调区间
2

?

?

(设u ? ?x 2 ? 2x,由u ? 0则0 ? x ? 2
且 log 1 u ? ,u ? ?? x ? 1? ? 1,如图:
2 2

u

O

1

2

x

当x ?(0,1]时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

当x ?[1,2) 时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

10

∴……)

16. 如何利用导数判断函数的单调性?
在区间?a,b?内,若总有f '(x) ? 0则f (x)为增函数。(在个别点上导数等于
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '( x) ? 0呢?

如:已知a ? 0,函数f (x) ? x3 ? ax在?1, ? ??上是单调增函数,则a的最大

值是__________。
? a ?? a? (令f ' ( x) ? 3x 2 ? a ? 3? x ? ??x ? ? ?0 3?? 3? ?

则x ? ?

a a 或x ? 3 3 a ? 1,即a ? 3 3

由已知f ( x) 在[1, ? ?) 上为增函数,则

∴a 的最大值为 3) 17. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)
若f (?x) ? ?f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称
若f (?x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称

注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的 乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
(2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。
如:若f ( x) ? a·2 x ? a ? 2 为奇函数,则实数a ? 2x ? 1

(∵f ( x) 为奇函数,x ? R,又0 ? R,∴f (0) ? 0

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a· 2 0 ? a ? 2 即 ? 0,∴a ? 1) 20 ? 1 又如:f ( x) 为定义在( ?1,1) 上的奇函数,当x ? (0,1) 时,f ( x) ? 2x , 4x ? 1

求f (x)在??1,1?上的解析式。
(令x ? ??1,0?,则 ? x ? ?0,1?,f ( ? x) ? 2?x 4?x ? 1

2?x 2x 又f ( x) 为奇函数,∴f ( x) ? ? ? x ?? 4 ?1 1 ? 4x
? 2x ?? x ? 4 ?1 又f ( 0) ? 0,∴f ( x) ? ? x ? 2 ? ?4x ? 1 x ? ( ?1, 0) x?0 x ? ?0,1?



判断函数奇偶性的方法 一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶) 函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函 数. 二、 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算 f (? x) ,然后根据函数 的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0 f(x) ?1 f(-x) f(x) ? ?1 f(-x) 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数

三、 复合函数奇偶性 f(g ) 奇 g(x ) 奇 f[g (x) ] 奇 f(x) +g(x ) 奇 f(x) *g(x ) 偶
12

奇 偶 偶

偶 奇 偶

偶 偶 偶

非奇非偶 非奇非偶 偶

奇 奇 偶

18. 你熟悉周期函数的定义吗?
(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ?x ? T? ? f ( x) ,则f ( x) 为周期

函数,T 是一个周期。 )
如:若f ?x ? a? ? ?f (x),则
(答:f ( x) 是周期函数,T ? 2a为f ( x) 的一个周期)

我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们 要 马 上 反 应 过 来 , 这 时 说 这 个 函 数 周 期 2t. 推 导 :
f( x ? ) f( ? x f (? x ? )t ? 0 f ( x) ?? ? )t ? (f ? x 2 )t 0 ? ? ? f( x, ?2 t)

同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实 这都是说同样一个意思:函数 f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内 的 2 个数字相加再除以 2 得到。 比如, f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x) 就都表示函数关于直线 x=a 对称。

又如:若f ( x )图象有两条对称轴x ? a,x ? b 即f ( a ? x ) ? f ( a ? x ),f (b ? x ) ? f (b ? x ) ? f ( x ) ? f (2a ? x ) ? ?? ? ? ?? f (2a ? x ) ? f (2b ? x ) ? f ( x ) ? f (2b ? x ) ? 令t ? 2a ? x, 则2b ? x ? t ? 2b ? 2a, f (t ) ? f (t ? 2b ? 2a ) 即f ( x ) ? f ( x ? 2b ? 2a ) 所以,函数f ( x)以2 | b ? a | 为周期(因不知道a, b的大小关系, 为保守起见,我加了一个绝对值

13

19. 你掌握常用的图象变换了吗?
f (x)与f (?x)的图象关于 y轴 对称 联想点(x,y),(-x,y)
f (x)与 ? f (x)的图象关于 x轴 对称 f (x)与 ? f (?x)的图象关于 原点 对称
f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y ? x 对称

联想点(x,y),(x,-y) 联想点(x,y),(-x,-y) 联想点(x,y),(y,x) 联想点(x,y),(2a-x,0)

f (x)与f (2a ? x)的图象关于 直线x ? a 对称 联想点(x,y),(2a-x,y)

f (x)与 ? f (2a ? x)的图象关于 点(a,0) 对称

左移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 将y ? f ( x) 图象 ???????? ?? 右移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b ???????? ?? 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b

(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写 出来吧。 对于这种题目, 其实根本不用这么麻烦。 你要判断函数 y-b=f(x+a) 怎么由 y=f(x)得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原 点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。 ) 注意如下“翻折”变换:
f ( x) ?? ? | f ( x) | 把x轴下方的图像翻到上面 f ( x) ?? ? f (| x |)把y轴右方的图像翻到上面
如:f ( x) ? log 2 ?x ? 1?

作出y ? log2 ?x ? 1? 及y ? log2 x ? 1 的图象

y

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性
O 1 x

y=log2x

质了吗?

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(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0? (k 为斜率,b 为直线与 y 轴的交点)
(k<0) y (k>0)

( 2 )反比例函数:y ?

k k ?k ? 0?推广为y ? b ? ?k ? 0?是中心O' (a,b) x x?a y=b
O’(a,b) O x=a x

的双曲线。

b? 4ac ? b 2 ? (3)二次函数y ? ax 2 ? bx ? c ?a ? 0? ? a? x ? ? ? 图象为抛物线 ? 2a ? 4a

2

? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为? ? , ? ,对称轴x ? ? 4a ? 2a ? 2a
开口方向:a ? 0,向上,函数y min 4ac ? b 2 ? 4a

a ? 0,向下,y max ?
根的关系:x ?

4ac ? b 2 4a

?b ? ? 2a b c ? x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? ,| x1 ? x2 |? a a |a|

二次函数的几种表达形式: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(一般式) f ( x) ? a ( x ? m) 2 ? n(顶点式,(m,n)为顶点 f ( x) ? a ( x ? x1 )( x ? x2 )( x1 , x2是方程的2个根) f ( x) ? a ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? h(函数经过点(x1 , h)( x2 , h)

应用: ①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系—— 二次方程
ax 2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x 2 为二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。

15

②求闭区间[m,n]上的最值。
b ) f max ? f ( m), f min ? f ( n) 2a b 区间在对称轴右边(m ? ? ) f max ? f ( n), f min ? f ( m) 2a b 区间在对称轴2边 (n ? ? ?m ) 2a 4 ac ? b 2 f min ? , f max ? max( f ( m), f ( n)) 4a 也可以比较m, n和对称轴的关系, 距离越远,值越大 区间在对称轴左边(n ? ? (只讨论a ? 0的情况)

③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
一根大于k,一根小于k ? f ( k) ? 0 ?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 在区间(m,n)内有2根 ? ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0
在区间(m,n)内有1根 ? f (m) f (n) ? 0

?? ? 0 ? ? b 如:二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0的两根都大于k ? ?? ?k ? 2a ? ?f ( k ) ? 0

y

(a>0)

O

k

x1

x2

x

16

(5)对数函数y ? loga x?a ? 0,a ? 1?

(4)指数函数:y ? a x ?a ? 0,a ? 1?

由图象记性质!

(注意底数的限定! )
k ?k ? 0? x

( 6)“对勾函数” y ? x ?

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
y

(均值不等式一定要注意等号成立的条件)
? k

20. 你在基本运算上常出现错误吗?
指数运算:a 0 ? 1 (a ? 0) ,a ? p ? 1 (a ? 0) ap

O

k

x

对数运算: loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ? M ? 0,N ? 0?
y (0<a<1) 1 O 1 x y=ax(a>1) y=log ax(a>1)

(0<a<1)

log a

M ? log a M ? log a N, log a N

n

M?

1 log a M n

对数恒等式:a loga x ? x

m

a n ? n a m (a ? 0) ,a

?

m n

?

1
n

am

(a ? 0)

17

对数换底公式: log a b ? log a x ? 1 log x a

log c b n ? log am b n ? log a b log c a m

21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)
如:(1)x ? R,f ( x) 满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ?x,??)

(2)x ? R,f ( x) 满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。
(先令x ? y ? ?t ? f ?(?t )(?t )? ? f ( t·t )

∴f (?t ) ? f (?t ) ? f ( t ) ? f ( t )

∴f (? t ) ? f ( t ) ??)

(3)证明单调性:f ( x 2 ) ? f ?x 2 ? x1 ? ? x 2 ? ??

?

?

(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了 1、 代 y=x, 2、 令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1) 3、 求奇偶性,令 y=—x;求单调性:令 x+y=x1 几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数

f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y)
2. 幂函数型的抽象函数

f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y) ; f( )=
3. 指数函数型的抽象函数

x y

f ( x) f ( y)

f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y) ;f(x
-y)= 4.
f ( x) f ( y)

对数函数型的抽象函数
18

f(x)=logax(a>0 且 a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y) ;f( )
= f(x)-f(y) 5. 三角函数型的抽象函数

x y

f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)= f (x) =cotx------------------------ f (x+y) =

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y ) f ( x) f ( y ) ? 1 f ( x) ? f ( y )

例 1 已知函数 f (x) 对任意实数 x、 y 均有 f(x+y)=f(x)+f(y) , 且当 x>0 时,f(x)>0,f(-1)= -2 求 f(x)在区间[-2,1]上的值域. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(注意到 f(x2)=f[(x2 -x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1) ) ;再根据区间求其值域. 例 2 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)+2=f(x)+

f(y) ,且当 x>0 时,f(x)>2,f(3)= 5,求不等式 f(a2-2a-2)<3 的
解. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(仿例 1) ;再求出 f(1)=3; 最后脱去函数符号. 例 3 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)f(y) , 且 f(-1)=1,f(27)=9,当 0≤x<1 时,f(x)∈[0,1]. (1) (2) (3) 判断 f(x)的奇偶性; 判断 f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明; 若 a≥0 且 f(a+1)≤ 3 9 ,求 a 的取值范围.
x1 x ·x2)=f( 1 )f(x2) ; x2 x2

分析: (1)令 y=-1; (2)利用 f(x1)=f( (3)0≤a≤2.

例 4 设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞) ,满足条件:存在 x1
19

≠x2,使得 f(x1)≠f(x2) ;对任何 x 和 y,f(x+y)=f(x)f(y)成 立.求: (1) (2)

f(0) ;
对任意值 x,判断 f(x)值的符号.

分析: (1)令 x= y=0; (2)令 y=x≠0. 例 5 是否存在函数 f(x) ,使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f (a+b)= f(a)f(b) ,a、b∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在, 求出 f(x)的解析式,若不存在,说明理由. 分析:先猜出 f(x)=2x;再用数学归纳法证明. 例 6 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(x·y) =f(x)+f(y) ,f(3)=1,求: (1) f(1) ; (2) 若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围. 分析: (1)利用 3=1×3; (2)利用函数的单调性和已知关系式. 例 7 设函数 y= f(x)的反函数是 y=g(x).如果 f(ab)=f(a) +f(b) ,那么 g(a+b)=g(a) ·g(b)是否正确,试说明理由. 分析:设 f(a)=m,f(b)=n,则 g(m)=a,g(n)=b, 进而 m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]….
f ( x) f ( y)

例 8 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件: ① ② ③ (1) (2)

x1、x2 是定义域中的数时,有 f(x1-x2)=

f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ; f ( x2 ) ? f ( x1 )

f(a)= -1(a>0,a 是定义域中的一个数) ; 当 0<x<2a 时,f(x)<0.
试问:

f(x)的奇偶性如何?说明理由; 在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由.
20

分析: (1)利用 f [-(x1-x2)]= -f [(x1-x2)],判定 f(x) 是奇函数; (3) 先证明 f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a, 4a)上也是增函数. 对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊 模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本 初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从 而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f(x) (x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y) , (1) (2) (3) - )≤0. 分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0) (1) (2) (3) 先令 x=y=1,再令 x=y= -1; 令 y= -1; 由 f(x)为偶函数,则 f(x)=f(|x|).
1 2

求证:f(1)=f(-1)=0; 求证:f(x)为偶函数; 若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f(x)+f(x

例 10 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足 f(0)≠0,f(x+y) =f(x) ·f(y) ,且当 x<0 时,f(x)>1,求证: (1) (2) 当 x>0 时,0<f(x)<1;

f(x)在 x∈R 上是减函数. 分析: (1)先令 x=y=0 得 f(0)=1,再令 y=-x; (2)受指数函数单调性的启发:由 f(x+y)=f(x)f(y)可得 f(x-y)=
进而由 x1<x2,有 练习题: 1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数 x、y 都成立,则( (A)f(0)=0 (C)f(0)=0 或 1 (B)f(0)=1 (D)以上都不对
21

f ( x1 ) =f(x1-x2)>1. f ( x2 )



2. 若对任意实数 x、y 总有 f(xy)=f(x)+f(y) ,则下列各式中错误 的是( ) (B)f( )= f(x) (D)f(xn)=nf(x) (n∈N) )
x y
1 x

(A)f(1)=0 (C)f( )= f(x)-f(y)

3.已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)

f (y) , 且当 x<0 时, f (x) >1, 则当 x>0 时, f (x) 的取值范围是 ( (A) (1,+∞) (B) (-∞,1)
(C) (0,1) (D) (-1,+∞)
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f(x)为( 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

4.函数 f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的 x1、x2 都有

f(x1-x2)=



(A)奇函数非偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数

(B)偶函数非奇函数 (D)非奇非偶函数 )

5.已知不恒为零的函数 f(x)对任意实数 x、y 满足 f(x+y)+f(x-y) =2[f(x)+f(y)],则函数 f(x)是( (A)奇函数非偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 参考答案: 1. A 2.B 3 .C 4.A 5.B (B)偶函数非奇函数 (D)非奇非偶函数

2? 2
2

2

23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为 R 的弧长公式和扇 形面积公式吗?
(l ? ? ·R,S 扇 ? 1 1 l·R ? ? ·R 2 ) 2 2

( 和三角形的面积公式很相似,

可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)
R 1 弧度 O R

22


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