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2012年北京市春季普通高中会考


2012 年北京市春季普通高中会考

数学试卷
第一部分 选择题 (每小题 3 分,共 60 分)
) (D) ?0,1, 2, 3? ) (D) 16 ) (D) (5, ? 4)

在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? ?0,1, 2? , N ? ?2, 3? ,那么集合 M I N 等于( (A) ?1? (B) ?2? (C) ?1, 2?

2.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,那么 a5 等于( (A) 6 (B) 8 (C) 10

3.已知向量 a ? (3, 1) , b ? (?2, 5) ,那么 2a ? b 等于( (A) (?1,11) (B) (4, 7) ) (C) (1, ? ?) (C) (1, 6)

4.函数 y ? log2 ( x ? 1) 的定义域是( (A) (0, ? ?) (B) (?1, ? ?)

(D) [?1, ? ?) ) (D) 3

5.如果直线 3x ? y ? 0 与直线 mx ? y ? 1 ? 0 平行,那么 m 的值为( (A) ?3 (B) ?

1 3

(C)

1 3

6.函数 y ? sin ? x 的图象可以看做是把函数 y ? sin x 的图象上所有点的纵坐标保持不变, 横坐标缩短到原来的 (A) 4
3

1 倍而得到的,那么 ? 的值为( 2 1 (C) (B) 2 2
x

) (D) ) (D) y ?

1 4

7.在函数 y ? x , y ? 2 , y ? log 2 x , y ? (A) y ? x 8. sin
3

x 中,奇函数是(

(B) y ? 2 ) (B) ?

x

(C) y ? log 2 x

x

11? 的值为( 6 2 (A) ? 2
2

1 2


(C)

1 2

(D)

2 2

9.不等式 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集为( (A) x x ? 2

?

?

(B) x x ? 1

?

?

(C) x 1 ? x ? 2

?

?

(D) x x ? 1或x ? 2

?

?

10.实数 lg 4 ? 2lg5 的值为( (A) 2 (B) 5

) (C) 10 (D) 20

11.某城市有大型、中型与小型超市共 1 500 个,它们的个数之比为 1: 5 : 9 .为调查超市每 日的零售额情况,需要通过分层抽样抽取 30 个超市进行调查,那么抽取的小型超市个 数为( (A) 5 ) (B) 9 (C) 18 (D) 20 )

12.已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,那么直线 m 与平面 ? 的关系是( (A)直线 m 在平面 ? 内 (C)直线 m 与平面 ? 垂直 (B)直线 m 与平面 ? 相交但不垂直 (D)直线 m 与平面 ? 平行 ) (D)

13.在 ?ABC 中,如果 a ? 3 , b ? 2 , c ? 1 ,那么 A 的值是( (A)

? 2

(B)

? 3

(C)

? 4

? 6

14.一个几何体的三视图如图所示, 该几何体的表面积是( (A) 3? (B) 8? (C) 12? (D) 14?
2 主(正)视图 2 左(侧)视图


3

15.当 x ? 0 时, 2 x ? (A) 1

1 的最小值是( 2x
(B) 2

俯视图

) (C) 2 2 (D) 4

16.从数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中随机抽取两个数字(不允许重复) ,那么这两个数字的和 是奇数的概率为( (A) ) (B)

4 5

3 5

(C)

2 5

(D)

1 5


?x ?1, ? 17.当 x , y 满足条件 ? x ? y ? , 时,目标函数 z ? x ? y 的最小值是( ?x ? 2y ? 6 ? 0 ?
(A) 2 (B) 2. 5 (C) 3. 5 (D) 4

18.已知函数 f ( x) ? ? (A) 4

?2 x , x ? 0 , ? ? x, x ? 0 .
(B) 0

如果 f ( x0 ) ? 2 ,那么实数 x0 的值为( (C) 1 或 4



(D) 1 或 ?2

19.为改善环境,某城市对污水处理系统进行改造.三年后,城市污水排放量由原来每年 125 万吨降到 27 万吨,那么污水排放量平均每年降低的百分率是( (A) 50% (B) 40% (C) 30% )

(D) 20% )

20.在 ?ABC 中, ( BC ? BA) ? AC ? AC ,那么 ?ABC 的形状一定是( (A)等边三角形 (C)直角三角形 (B)等腰三角形 (D)等腰直角三角形

uuu r uu r uuu r

uuu r2

第二部分 非选择题 (共 40 分)
一、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分)
21.已知向量 a ? (2, 3) , b ? (1, m) ,且 a ? b ,那么实数 m 的值为 22.右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得 分情况的茎叶图.那么甲、乙两人得分的 标准差 s甲 . s乙 (填 ?, ? , ? ) .

甲 2 1 0 0 1 2 8 9 3

乙 1 2 3 4 0


23.某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 a 的最大值为
开始 n=1

a=15n 输出a n=n+1 否 n>3 是 结束

24.数学选修课中,同学们进行节能住房设计,在分析气候和民俗后,设计出房屋的剖面图 (如下图所示) .屋顶所在直线的方程分别是 y ?

1 1 x ? 3 和 y ? ? x ? 5 ,为保证采光, 2 6


竖直窗户的高度设计为 1 m ,那么点 A 的横坐标是
屋顶 y(m)

竖直窗户

O

A

x(m)

二、解答题(共 4 个小题,共 28 分)
25. (本小题满分 7 分) 在三棱锥 P ? ABC 中,侧棱 PA ? 底面 ABC , AB ? BC , E 、 F 分别是棱 BC 、

PC 的中点.
(Ⅰ)证明: EF ∥平面 PAB ; (Ⅱ)证明: EF ? BC .
F P

A E B

C

26. (本小题满分 7 分) 已知向量 a ? (2sin x, 2sin x) , b ? (cos x, ? sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1. (Ⅰ)如果 f ( x) ? (Ⅱ)如果 x ? (0,

?

1 ,求 sin 4 x 的值; 2 ) ,求 f ( x) 的取值范围.

2

27. (本小题满分 7 分) 已知图 1 是一个边长为 1 的正三角形,三边中点的连线将它分成四个小三角形,去 掉中间的一个小三角形,得到图 2 .再对图 2 中剩下的三个小三角形重复前述操作, 得到图 3 .重复这种操作可以得到一系列图形.记第 n 个图形中所有剩下的 小三角形 ..... 的面积之和为 an ,所有 去掉 的 三角形的周长之和为 bn . .. .. . (Ⅰ)试求 a4 , b4 ; (Ⅱ)试求 an , bn

图1

图2

图3

图4

28. (本小题满分 7 分) 已知圆 C 的方程是 x ? y ? 2 y ? m ? 0 .
2 2

(Ⅰ)如果圆 C 与直线 y ? 0 没有公共点,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)如果圆 C 过坐标原点,直线 l 过点 P(0, a) (0 ? a ? 2) ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,对于每一个确定的 a ,当 ?ABC 的面积最大时,记直线 l 的斜率的平方 为 u ,试用含 a 的代数式表示 u ,并求 u 的最大值.


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