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高一数学必修2人教A导学案3.1.1倾斜角与斜率.doc

3. 1.1 直线的倾斜角与斜率

【学习目标 】

1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率; 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式; 3.能用公式和概念解决问题.

【教学重难点】

重点:倾斜角与斜率的概念 难点:直线的斜率与倾斜角的关系

【教学过程】

一、课前准备

(预习教材 P82 ~ P86 ,找出疑惑之处)
复习 1:在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不 能确定一条直线呢?

复习 2:在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡 与水平面之间的一个什么关系呢?

二、新课导学

探究点一:①倾斜角的概念

当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l

叫做直 线 l 的倾斜角(angle of

inclination).

发现:①直线向上方向;②x 轴的正方向;③小于平角的正角.

向上方向之间所成的角 ?

注意:当直线与轴 x 平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为 0 度..
思考:在日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” 怎样的?
②斜率与倾斜角的关系

,则坡度的公式是

一条直线的倾斜角 ? (

) 的 正 切 值 叫 做 这 条 直 线 的 斜 率 (slope). 记 为

k= tan

.

试试:已知各直线倾斜角,则其斜率的值为
(1)? =0°时,则 k (2)0°<? < 90°,则 k (3)? = 90°,,则 k (4)90 °<? < 180°,则 k

③ 已知直线上两点 p1 ( x1, y1 ) , p2 (x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式:

探究任务二:

k ? y2 ? y1 . x2 ? x1

1.已知直线上两点 A(a1, b1 ), B(a2 , b2 ) 运用上述公式计算直线的斜率时,与 A B
的顺序有关吗?

2. 当直线平行于 y 轴时,或与轴 y 重合时,上述公式还需要适 用吗?为什么?

三、典型例题分析

例 1 已知直线的倾斜角,求直线的斜率:

⑴ a ? 30。 ; ⑵ a ? 135。; ⑶ a ? 60。 ⑷ a ? 90。
解(略)

两点坐标

1

变式:已知直线的斜率,求其倾斜角.

(1) k =0; (2) k = 1 ;(3) k = ? 3 ; (4) k 不存在.
解(略) 例 2 求经过两点 (2,3), (4,7) A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角 是锐角还是钝角. 解(略) 变式. 1 求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1) A(2,3),B ( 1,4) ; (2) A (5,0), B(4, 2) .

解(略) 2.画出斜率为 0,1, -1 且经过点(1,0)的直线. 3.判断 A( -2,12),B (1,3), C(4, -6) 三点的位置关系,并说明理由. 解略
四、总结提升
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角,直线斜角 的范围是[0,180°). 2.直线斜率的求法:⑴利用倾斜角的正切来求;

⑵ 利用直线上两点 p1 ( x1, y1 ) , p2 (x2 , y2 ) 的坐标来求;
(3)当直线的倾斜角 ? = 90°时,直线的斜率是不存在的.

3.直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系:

直线的倾斜角?

直线的斜率 k

直线的斜率公式

定义 取值范围 [0,180°)

k =tan a (??,??)

k ? y2 ? y1 . x2 ? x1
( x1 ? x2 )

五、当堂检测

1. 下列叙述中不正确的是( ).

A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应

B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角

C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0 °或 90°
D.若直线的倾斜角为? ,则直线的斜率为 tana

2. 经过 A ( 2,0), B( 5,3) 两点的直线的倾斜角 ( ).

A.45° B.135° C.90 °D.60 °

3. 过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为(

A.1

B.4

C.1 或 3

或4
4.直线经过二、三、四象限, l 的倾斜角为 ? ,斜率为 k ,则 ? 为



.

). D.1
角; k 的取值范

5、已知直线 l1
________.
【板书设计】

的倾斜角为 a1

,则 l1

关于 x 轴对称 的直线 l2 的倾斜角 a2 为

一、直线的倾斜角

二、直线的斜率

三、直线的倾斜角与斜率的关系

四、求直线的斜率

【作业布置】

课后巩固练习与提高

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

课前预习学案

2

一、预习目标

(1)知道确定直线的要素

(2)知道直线倾斜角的定义

(3)知道直线的倾斜角与斜率的关系

二、预习内容

1、 在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?要想确定一条直线,的给

出什么条件呢?

2、 通过咱们的预习,什么是直线的倾斜角?倾斜角的范围是什么?

3、 什么是直线的斜率?它与直线的倾斜角的关系是什么?

4、 如果知道了直线上的两个点,直线已经确定了,那么如何求直线的斜率?

5、练习:

①倾斜角为 30? ,求斜 率

②倾斜角为150? ,求斜率

③直线过点(18, 8)(4, -4)求斜率④直线过点(0, 0)(-1, 课内探究学案
一.学习目标
1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率; 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式; 3.能用公式和概念解决问题. 学习重点:倾斜角与斜率 的概念 学习难点:直线的斜率与倾斜角的关系
二、学习过程
1、探究一:直线的倾斜角的定义及范围 (1)倾斜角的定义: (2)倾斜角的范围: (3)倾斜角与斜率的关系
例 1 已知直线的倾斜角,求直线的斜率:
(1) a ? 30。 ;(2) a ? 135。;(3) a ? 60。; (4) a ? 90。
变式:已知直线的斜率,求其倾斜角.

3 )求斜率

(1) k =0; (2) k = 1 ; (3) k = ? 3 ; ⑷ k 不存在.

2、探究二:由直线上的两点求直线的斜率(阅读课本 P83 ? P84 的推导过程)

思考:(1)已知直线上两点 A(a1, b1 ), B(a2 , b2 ) 运用上述公式计算直线的斜率时,与 A B 两
点坐标的顺序有关吗?

(2)当直线平行于 y 轴时,或与轴 y 重合时,上述公式还需要适用吗?为什么?

例 2:求经过两点 (2,3), (4,7) A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角

是锐角还是钝角.

变式:

1、求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角.

(1) A(2,3),B ( 1,4) ; (2) A (5,0), B(4, 2) .

2.画出斜率为 0,1, -1 且经过点(1,0)的直线.

3.判断 A( -2,12),B (1,3), C(4, -6) 三点的位置关 系,并说明理由.

3、当堂检测

(1) 下列叙述中不正确的是( ).

A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应

B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角

C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0 °或 90°
D.若直线的倾斜角为? ,则直线的斜率为 tana

(2) 经过 A ( 2,0), B( 5,3) 两点的直线的倾斜角 ( ).

A.45° B.135° C.90 °D.60 °

(3) 过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为(

).

3

A.1

B.4

C.1 或 3

D.1

或4

(4) 直线经过二、三、四象限,l

的倾斜角为 ? ,斜 率为 k ,则? 为

角;

k 的取值范围

.

(5) 已知直线 l1 的倾斜角为 a1 ,则 l1
为________.

关于 x 轴对称 的直线 l2

的倾斜角 a2

课后巩固提升学案

1.在平面直角坐标系中,正三角形 ABC 的边 BC 所在直线斜率是 0,则 AC、AB 所在的直线斜率之

和为( )

A. ?2 3

B.0

C. 3

D. 2 3

2.过点(0,

7 3

)与点(7,0)的直线

l1

,过点(2,1)与点(3,

k

?1 )的直线

l2

,与两坐标

轴围成四边形内接于一个圆,则实数 k 为( )

A. ?3

B.3

C. ?6

D.6

3.经过两 点 A(2,1),B(1, m2 )的直线 l 的倾斜角为锐角,则 m 的取值范围是( )

A. m ? 1

B. m ? ?1

C. ?1? m ?1

D. m ? 1或 m ? ?1

4.若三点 A(2 , 2),B( a , 0 ),C(0, b )( ab ? 0 )共线,则 1 ? 1 的值等于________。 ab

5.已知直线 l 的斜角 a ?[0 , 45 ] (135 ,180 ) ,则直线 l 的斜率的取值范围是_________。

6.
直线 l
7.

已知点 A (2,3),B ( 3, 2) ,若直线 l 过点 p (1,1) 且与线段 AB 相交,求

的斜率 k 的取值范围.

已知直线 l 过 A(?2, (t ? 1)2 ), B(2, (t ? 1)2 ) 两点,求此直线的斜率和倾斜角.

t

t

4


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