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高中数学


主讲:刘群

复习思考:
1.函数的零点
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f ( x ) ? 0有实数根 ? 函数y ? f ( x )的图象与x轴有交点 ? 函数y ? f ( x )有零点

2.零点存在的判定
如果函数y=f ( x)在区间[a, b]上的图象是 连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0, 那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 即存在c ?(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.

思考1:
请同学们观察下面的两个方程,说一说你 会用什么方法来求解方程.

(1) x 2 ? 2 x ? 6 ? 0

(2)ln x ? 2 x ? 6 ? 0
对于方程(1),可以利用一元二次方程的求 根公式求解, 但对于(2)的方程,我们却没有公式 可用来求解.

如何求出方程(2) 的根呢?

? 我们先看生活中的一个实际例 子,看同学们能不能受到一定 的启发呢!

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16枚金币中有一 枚略轻,是假币,请 你用最快的方法 找出这块假币?

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第1步

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第2步

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第3步

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第4步

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第4步

哦,找到 了啊!

通过这个小实验,你能想到什 取中点 么样的方法缩小零点所在的范 围呢?

思考2:怎样计算函数 f ( x ) ? lnx ? 2x ? 6在区 间(2,3)内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b) (2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) 中点值m 2.5 2.75 2.625

f(m)的 精确度|a-b| 近似值
-0.084 0.512 0.215 1 0.5 0.25

(2.5,2.625)
(2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875) (2.531 25,2.539 062 5)

2.562 5
2.531 25 2.546 875 2.539 062 5 2.535 156 25

0.066
-0.009 0.029 0.01 0.001

0.125
0.0625 0.03125 0.015625 0.007813

? 例1:求方程lnx+2x-6=0的近似解(精确度为0.0 1)。
? 解:分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象,这两个图象交点的横坐 标就是方程lnx=-2x+6 的解,由图象可以发现,方程有惟一解, 记为x1,并且这个解在区间(2,3)内。

设函数f(x)=lnx+2x-6,用计算器计算得: f(2)<0, f(3)>0 ?x1∈(2,3) f(2.5)<0, f(3)>0 ? ∈(2.5,3) x1 f(2.5)<0, f(2.75)>0? ∈(2.5,2.75) x1
2 3

f(2.5)<0, f(2.625)>0 ? 1∈(2.5,2.625) x f(2.5)<0, f(2.5625)>0 ?x1∈(2.5,2.5625)

f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 ?x1∈(2.53125,2.5625)

f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 ? x1∈(2.53125,2.546875) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 ? x1∈(2.53125,2.5390625)

? 2.5390625 ? 2.53125 ? 0.078125 ? 0.01
所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似 值,也即方程lnx=-2x+6的近似解x1≈2.53。

y

二分法概念
0

a b
x

对于在区间? a , b ? 上连续不断且 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 的函
数y ?

f ? x ?,通过不断地把函数 f ? x ?的零点所在的区

间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法(bisection).

给定精确度,用二分法求函数零点x0的步骤:
? 1:确定初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0

? 2:求区间[a,b]的中点x1= a ? b

2

? 3:计算:f(x1)判断: ? (1)如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止; ? (2)如果f(a)f(x1)<0,则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)中)

? (3)如果f(a)f(x1)>0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)中)
? 4:判断是否达到精确度ε:若达到,则得到零点近似值 是(a,b)区间内的一点;否则重复2~4步骤。

口 诀

定区间,找中点,
同号去,异号算,

中值计算两边看.
零点落在异号间.

周而复始怎么办?
.

精确度上来判断

练习:

小结
方程
用二分法求 方程的近似解
数学 源于生活

函数

1.寻找解所在的区间 2.不断二分解所在的区间 3.根据精确度得出近似解 算法思想 二分法 数形结合

数学 用于生活

逼近思想

转化思想

生活中也常常会用到二分法思想:
在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防 洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条 10km长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多。 每查一个点要爬一次电线杆子,10km长,大约 有200多根电线杆子呢。 想一想,维修线路的工人师傅至少经过几次 查找使故障范围缩小到50~100m左右?



案:


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