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三角函数较难题

三角函数较难题

1.已知点 ?a,b? 在圆 x2 ? y2 ? 1上,则函数 f ? x? ? a cos2 x ? b sin x cos x ? a ?1的最小正周期和最小值分别为( )
2

A. 2? , ? 3 2

B.? , ? 3 2

C.? , ? 5 2

D. 2? , ? 5 2

2.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , sinC ? sin(A ? B) ? 3sin2B .若 C ? ? ,则 a ? (



3b

A. 1

B.3

C. 1 或 3

D.3 或 1

2

2

4

3.函数 y ? sin ?x(x ? R) 的部分图象如图所示,设 O 为坐标原点,

yP

P 是图象的最高点, B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?OPB ? __________.

x

O

B

4.给出如下五个结论:

①存在?

?

(0,

? 2

)

使

sin

a

?

cosa

?

1 3

③ y ? tan x 在其定义域内为增函数
⑤ y ? sin?? 2x ? ? ? 最小正周期为π .
?6

②存在区间( a, b )使 y ? cosx 为减函数而 sin x <0



y

?

cos2x

?

sin(? 2

?

x)

既有最大、最小值,又是偶函数

其中正确结论的序号是

5.设函数 f (x) ? cos2 x ? 3 sin x cosx ? 1 (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期及值域; 2
(Ⅱ)已知 ?ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 f (B ? C ) ? 3 , a ? 3 ,b ? c ? 3 ,求 ?ABC的
2
面积.

? ? 6.已知向量 a ? 3,sin? 与b ? ?1,cos? ? 互相平行,其中? ? (0, ? ) . 2
(1)求 sin? 和 cos? 的值;(2)求 f ? x? ? sin ?2x ?? ? 的最小正周期和单调递增区间.

试卷第 1 页,总 4 页

7.A,B,C 为△ABC 的三内角,其对边分别为 a, b, c,若 cos BcosC ? sin Bsin C ? 1 .(1)求 A ;
2 (2)若 a ? 2 3 , b ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.

8.在

?ABC中,角

A、B、C

所对的边为

a、b、c ,且满足

cos

2A

?

cos

2B

?

2

cos

?? ?? 6

?

A???

cos

?? ?? 6

?

A???

(1)求角 B 的值;(2)若 b ? 3 且 b ? a ,求 a ? 1 c 的取值范围. 2

9.已知函数 f (x) ? 2 cos(2x ? 2? ) ? 3 sin 2x (1)求函数 f (x) 的最小正周期和最大值; 3
(2)设 ?ABC 的三内角分别是 A、B、C.若 f (C ) ? ? 1 ,且 AC ? 1, BC ? 3,求 sin A 的值. 22

10.已知函数 f (x) ? 2sin x cos x ? cos(2x ? ?) ? cos(2x ? ?) , x ? R .(Ⅰ)求 f ( ? ) 的值;

6

6

12

(Ⅱ)求函数 f (x) 在区间[ ? , ?] 上的最大值和最小值,及相应的 x 的值. 2

11.已知函数 f (x) ? 2 3 sin x cos x ? cos 2x, x ? R .(1)求函数 f (x) 的单调递增区间;

(2)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c ,若 f (A) ?2,C ? ?, c ?2
4

,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的值.

试卷第 2 页,总 4 页

12. A , B , C 为 ?ABC的三内角,其对边分别为 a , b , c ,若 cosB cosC ? sin B sin C ? 1 .(Ⅰ)求 A ; 2
(Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC的面积.

13.已知 f (x) ? 3 sin(? ? x)sin( 3? ? x) ?cos 2 x .(Ⅰ)求 y ? f (x) 的最小正周期和对称轴方程; 2
(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c ,若有 b sin A ? 3a cos B ,b ? 7 ,sin A ? sin C ? 13 3 , 14
求 ?ABC 的面积.

14.在?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,已知a ?c ?

6b ,sin B ? 6

6 sin C .

(Ⅰ)求 cos A 的值;(Ⅱ)求 cos(2 A ? ? ) 的值. 3

15.已知函数

f

?x?

?

?sin

x

? cos

x?2

?

2 cos2

x.(1)求

f

?? ?? 12

? ??

的值;(2)求

f

? x? 的递减区间.

? ? 16.设 ?ABC 的内角 A ,B ,C ,所对的边长分别为 a ,b ,c , m ? ?cos A,cosC?,n ? 3c ? 2b, 3a ,且 m ? n .
(1)求角 A 的大小;(2)若 a ? b ,且 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求边 a 的值.
试卷第 3 页,总 4 页

17.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时有 f (x) ? 4x .
x?4
(1)判断函数 f (x) 的单调性,并求使不等式 f (2m ?1) ? f (m2 ? 2m ? 4) ? 0成立的实数 m 的取值范围.

(2)若 a 、b 、c 分别是 ?ABC的三个内角 A 、B 、C 所对的边,?ABC面积 S?ABC ?

3 , c ? f (4), A ? 60?, 求 a 、 2

b 的值;

18.在△

ABC

中,A、B、C

为三个内角,f(B)=4cos

B·sin2

? ?

?

? 4

?

B 2

? ??



3 cos 2B-2cos B.(1)若 f(B)=2,求角 B;

(2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

19.已知函数 f (x) ? cos2 ?x ? sin2 ?x ? 2 3 cos?x sin ?x(? 0), f (x) 的图象的两条相邻对称轴间的距离等于 ? ,在 2
? ABC 中,角 A,B,C 所对的边依次为 a,b,c,若 a ? 3 , b+c=3, f ( A) ? 1,求 ? ABC 的面积.

20.在 ? ABC 中,记角 A,B,C 的对边为 a,b,c,角 A 为锐角,设向量 m ? (cos A,sin A) n(cos A,sin A) ,且 m ? n ? 1 . 2
(1)求角 A 的大小及向量 m 与 n 的夹角; (2)若 a ? 5 ,求 ? ABC 面积的最大值.

试卷第 4 页,总 4 页

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1.B 【解析】

参考答案

试题分析:因为点 (a, b) 在圆 x2 ? y2 ? 1上,所以 a2 ? b2 ? 1,

f (x) ? a cos2 x ? bsin x cos x ? a ?1 ? a ? 1? cos 2a ? sin 2x ? a ?1 ? 1 sin(2x ? ?) ?1 ,

2

2

22 2

所以最小正周期 T

??



f

( x)min

?

?

3 2

,应选

B.

考点:三角函数性质、点与圆的位置关系.

2.C.

【解析】

试题分析:由 sin C ? sin(A ? B) ? 3sin 2B ,得 sin(A ? B) ? sin(A ? B) ? 6sin B cosB ,

即 sin AcosB ? 3sin BcosB ;若 cos B ? 0 ,则 sin A ? 3sin B ,此时 a ? 3 ;若 cos B ? 0 , b

即B ? ? ,C 2

?

? ,A?? 36

,此时 a b

?

sin ? 6
sin ?

?

1 ;故选 C. 2

2

考点:解三角形.

3.8

【解析】

试 题 分 析 : y ? s i n?x (x ?R ,) 所 以 周 期 T ? 2 , 所 以 P ( 1 ,1) , B(2, 0) , 所 以 2

O P ? 1 ?1 ? 5 , P B ? 9 ?1 ? 1 3, O B ?2



4

2

4

2

cos ?OPB ?

5 ? 13 ? 4 44

?

1 2

?

1

2? 5 ? 13 65 65

22 2

sin ?OPB ? 8 ?tan ?OPB ? 8 65

考点:本题考查三角函数图像,解三角形 点评:通过三角函数的解析式找到 O,P,Q 三点坐标,求出各边长度,求出角的余弦,再求正 弦 4.④ 【解析】

试题分析:sin? ? cos? ?

2

sin(?

?

? 4

)

,因为?

?

(0,

? 2

)

,所以1

?

sin ?

?

cos?

?

2,

故不存在

答案第 1 页,总 13 页

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?

?

(0,

? 2

)

使

sin

a

?

cosa

?

1 3

,故①错误;当

x ?(2k? ,

2k?

?

?

) 时,y

?

cos x

为减函数,

而 sin x ? 0,故不存在区间( a, b )使 y ? cosx 为减函数而 sin x <0,故②错误;由于

tan ? ? tan 4? ,故③错误;

3

3

y ? cos 2x ? sin(? ? x)=2 cos2 x ? cos x ?1 ,有最大值和最小值,且是偶函数,故④正确; 2

y ? sin(2x ? ? ) 的最小正周期为 ? ,故⑤错误,故正确的命题有④.

6

2

考点:三角函数的图象与性质.

5.(Ⅰ) f (x) ? cos2 x ?

3 sin x cos x ? 1 2

=

cos

? ??

2x

?

? 3

? ??

?1



3分

所以 f (x) 的最小正周期为 T ? ? ,值域为[0,2] ;(Ⅱ) 3 . 2

【解析】

试题分析:(Ⅰ)由二倍角的正、余弦公式升角,得到

f

(x)

=

cos

? ??

2x

?

? 3

? ??

?1

;(Ⅱ)由

f (B ? C ) ? 3 ,得 2

cos(2A ? ? ) 3

?

1 2

,得

A

?

? 3

,由余弦定理得

a2

?

b2

? c2

? 2bc cos ? 3

= (b ? c)2

? 3bc

,由已知 bc

?

2



由三角形的

面积公式

S

?

1 2

bc s in

A

即可求得.

试题解析:(Ⅰ)

f (x) ? cos2 x ?

3 sin x cos x ? 1 2

=

cos

? ??

2x

?

? 3

? ??

?

1



所以 f (x) 的最小正周期为 T ? ? ,



x?R

∴ ?1 ?

cos

? ??

2x

?

? 3

? ??

? 1,故

f

(x)

的值域为[0,2] .

(Ⅱ)由

f

(B

?

C)

?

cos

???2( B

? C)

?

? 3

? ??

?1

?

3 2

,得

cos(2A

?

? 3

)

?

1 2



又 A?(0,? ) ,得 A ? ? , 3

3分 4分 6分
8分

在 ?ABC 中,由余弦定理,得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? = (b ? c)2 ? 3bc ,

9分

3

又 a ? 3 , b ? c ? 3 ,所以 3 ? 9 ?3bc ,解得 bc ? 2 ,

11 分

所以,

?ABC 的面积

S

?

1 bc sin 2

? 3

?

1 ?2? 2

3? 2

3 2

13 分

答案第 2 页,总 13 页

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考点:1、二倍角的正、余弦公式;2、余弦定理;3、三角形的面积公式.

6 .( 1 ) sin? ? 3 , cos? ? 1 ;( 2 ) T ? ? , f (x) 的 单 调 递 增 区 间 是

2

2

???k?

?

5? 12

,

k?

?

? 12

? ??

,

k

?

Z

【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 平 方 关 系 和 商 数 关 系 式 中 的 角 都 是 同 一 个 角 , 且 商 数 关 系 式 中
? ? ? ? k? , k ? Z ;(2)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根 2
据角? 的范围确定,二是利用诱导公式进行化简时,先利用公式化任意角的三角函数为锐
角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定;(3)求解较复

杂三角函数的单调区间时,首先化成 y ? Asin??x ? ? ?形式,再 y ? Asin??x ? ? ? 的单调

区间,只需把 ?x ?? 看作一个整体代入 y ? sin x 相应的单调区间,注意先把 ? 化为正数,

这是容易出错的地方.

试题解析:(1)因为 a 与 b 互相平行,则 sin? ? 3 cos? , tan? ? 3 ,

(3 分)

又?

?

? ??

0,

? 2

? ??

,所以

?

?

? 3

,所以 sin?

?

3 , cos? ? 1 .

2

2

(6 分)

(2)由

f

?x?

?

sin ?2x

??

?

?

sin

? ??

2

x

?

? 3

? ??

,得最小正周期 T

??

(8 分)

由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,得 k? ? 5? ? x ? k? ? ? , k ? Z (11 分)

2

3

2

12

12

所以

f

(x)

的单调递增区间是

???k?

?

5? 12

,

k?

?

? 12

? ??

,

k

?

Z

(12 分)

考点:1、同角三角函数的基本关系;2、三角函数的化简;3、求三角函数的周期和单调区

间.

7.(1) 2? ;(2) 3 . 3
【解析】

试题分析:(1)由两角和的余弦公式将已知中的等式转化,进而确定 cos(B ? C) ? 1 ,求 2

出 B ? C ? ? ,即 A ? 2? ;(2)根据题意及余弦定理求出 bc ? 4 ,再运用三角形的面积公式

3

3

S ?ABC

?

1 bc ? sin 2

A 求得即可.

试题解析:(1)?cos BcosC ? sin Bsin C ? 1 ,?cos(B ? C) ? 1

2

2

答案第 3 页,总 13 页

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又?0 ? B ? C ? ? ,∴ B ? C ? ? , ?A? B ? C ? ? ,? A ? 2? .

3

3

(2)由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? cos A 得 (2 3)2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? cos 2? 3

即:12

? 16

?

2bc

?

2bc ?

(?

1) 2

,?bc

?

4

,? S?ABC

?

1 2

bc ? sin

A

?

1 2

?

4

?

3? 2

3.

考点:1、两角和(差)的正、余弦公式;2、余弦定理;3、三角形面积公式.

8.(1) B ? ? 或 2? ;(2)[ 3 , 3)

33

2

【解析】

试题分析:(1)由已知

cos

2

A

?

cos

2B

?

2 cos

? ??

? 6

?

A

? ??

cos

? ??

? 6

?

A

? ??



2 sin2

B

?

2 sin2

A

?

2

? ??

3 4

cos2

A

?

1 4

sin 2

A???

3分

化简得 sin B ? 3 2
故 B ? ? 或 2? . 33
(2)因为 b ? a ,所以 B ? ? , 3

5分 6分
7分

由正弦定理 a ? c ? b ? 3 ? 2 ,得 a=2sinA,c=2sinC, sin A sin C sin B 3 2


a

?

1 2

c

?

2 sin

A

?

sin

C

?

2 sin

A

?

sin

? ??

2? 3

?

A???

?

3 2

sin

A

?

3 cos A ? 2

3

sin

? ??

A

?

? 6

? ??

9分

因为 b ? a ,所以 ? ? A 2? , ? ? A ? ? ? ,

3

36

62

10 分

所以 a ? 1 c ? 2

3

sin

? ??

A

?

? 6

? ??

?[

3, 2

3) .

12 分

考点:本题考查二倍角公式,正弦定理,两角和与差的三角函数,正弦函数的图象和性质 点评:解决本题的关键是熟练掌握二倍角公式,两角和与差的三角函数,以及正弦定理,第

二问关键是整理成 y ? Asin ??x ??? 的形式

9.(1)f(x)的最小正周期是π ,最大值时 1;(2) sin A ? 3 21 14
答案第 4 页,总 13 页

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【解析】

试题解析::解:(1) f

?

x?

?

2

? ?cos ?

2x

?

? ??

?

1 2

? ??

?

sin

2x

?

3 2

? ? ?

?

3 sin 2x ? ?cos 2x

3



所以 f(x)的周期为? ,

4分

当 2x ? 2k? ?? 时,即 x ? k? ? ? 时 cos 2x 取最小-1,
2

f(x)取其最大值为 1.

6分

(2)

f

? ??

C 2

? ??

?

?

1 2

得 cos C

?

1 2

,C

是三角形内角, C

?

? 3



8分

由余弦 定理: AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2AC ? BC ? cos ?ACB ? 12 ? 32 ? 2?1? 3? 1 ? 7 2
10 分

由 正 弦 定 理 : BC ? AB , AB ? 7 , BC ? 3,sinC ? 3 得 sin A ? 3 21 ,

sin A sin C

2

14

12 分

考点:考查了三角函数的周期和最值,正余弦定理的应用

点评:根据题意,把 f(x)转化为一个角的三角函数,求出周期和最大值,利用正余弦定

理解三角形.

10.2, x ? ? 时, ymax ?

3,x

?

7? 12

时,

ymin

?

?2

【解析】

试题分析:(Ⅰ) f (x) ? 2sin x cos x ? cos(2x ? ?) ? cos(2x ? ?)

6

6

? sin 2x ? (cos 2x cos ? ? sin 2 xsin ? ) ? (cos 2x cos ? ? sin 2 xsin ? )

6

6

6

6

? sin 2 x? 3 cos 2x

? 2sin(2 x? ? ) . 3

所以 f ( ? ) ? 2sin ? ? 2 .

7分

12

2

(另解) f ( ? ) ? 2sin ? cos ? ? cos(2? ? ? ? ) ? cos(2? ? ? ? )

12

12 12

12 6

12 6

? sin ? ? sin ? ? cos ?

6

2

3

=2.

2分

(Ⅱ)因为 ? ? x ? ? , 2

答案第 5 页,总 13 页

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所以 4? ? 2x ? ? ? 7? .

3

33

所以

当2x ? ? 3

?

7? 3

,即 x

??

时,

ymax

?

3;

当 2x ? ? 3

?

3? 2

,即 x

?

7? 12

时,

ymin

?

?2 .

所以当 x ? ? 时, ymax ?

3 ;当 x

?

7? 12

时,

ymin

?

?2 .

考点:本题考查三角函数求最值,二倍角公式,辅助角公式

13 分

点评:将一直所给三角函数化为 f (x) ? 2sin(2 x? ? ) ,就可以求最值,周期,单调区间, 3
对称轴,对称中心

11.(1) [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z ;(2) 3 ? 3 .

6

3

2

【解析】 试题分析:(1)函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差 的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的单调性即可确定出 f(x)的单调递

增区间;(2)由已知 f ( A) ? 2 及(1)的结论求出角 A 的大小,再由正弦定理即可求出 a

边的长度,从而利用公式 S?ABC

?

1 2

ac sin

B 就可求出其面积.

试题解析: (1)∵ f (x) ? 2 3 sin x cos x ? cos 2x,x ? R ,

∴ f (x) ? 2sin(2x ? ? ) . 6

由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 k? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z .

2

6

2

6

3

∴函数 f (x) 的单调递增区间是[k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z .

6

3

(2)∵在 ?ABC 中, f (A) ? 2,C ? ? , c ? 2 , 4

∴ 2sin(2A ? ? ) ? 2, 解得 A ? k? ? ? , k ? Z .

6

3

又0? A?? ,

∴A?? . 3

答案第 6 页,总 13 页

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依据正弦定理,有 a sin ?

?

c sin ?

, 解得a ?

6.

3

4

∴B ?? ? A?C ? 5 ? . 12

∴ S?ABC

?

1 2

ac sin

B

?

1 2

?2?

6?

6? 4

2 ? 3? 3 . 2

考点:1.两角和与差的正弦函数;2. 三角函数的单调性及其求法;3. 正余弦定理.

12.(Ⅰ)

A?

2? 3

;(Ⅱ) S

ABC

?

3

【解析】

试题分析:(Ⅰ)根据题意利用两角和的余弦值 cos?B ? C? ? cos BcosC ?sin Bsin C 的逆

用,将条件化简,为 cos ? B ? C ? ? 1 ,再利用三角形内角和为? ,B ? C ? ? ,得到 A ? 2? ;

2

3

3

(Ⅱ)将余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? cos A变形为:a2 ? ?b ? c?2 ? 2bc ? 2bc cos A再将

已知条件带入求得 bc 的值,由 S

ABC

?

1 bc sin 2

A ,求得 ?ABC的面积.为

3 得结果.

试题解析:(Ⅰ)? cosB cosC ? sin B sin C ? 1 2

?cos(B ? C) ? 1

4分

2

又?0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ? ?

6分

3

? A ? B ? C ? ? ,? A ? 2? . 7 分
3

(Ⅱ)由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? cos A

得 (2 3)2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? cos 2? 3
即:12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? 1) ,?bc ? 4 2

9分 12 分

? S ?ABC

?

1 bc ? sin 2

A

?

1 2

?4?

3? 2

3.

14 分

考点:1.两角和的余弦公式;2.三角形的余弦定理;3.三角形的面积公式.
13.(Ⅰ)最小正周期为? ;对称轴方程为 x ? k? ? ? (k ? Z) . 23

(Ⅱ)10 3

答案第 7 页,总 13 页

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【解析】(Ⅰ)由已知得 f ? x? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 3 sin 2x ? 1 cos 2x ? 1

2

2

2

?

sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

?

1 .故 2

y?

f

?x? 的最小正周期为T

?

2? ?

??

,令 2x ? ? 6

? k?

?? 2

,得

x ? k? ? ? (k ? Z) ,故 y ? f (x) 的最小正周期为? ;对称轴方程为 x ? k? ? ? (k ? Z) .

23

23

(Ⅱ)由 b sin A ? 3a cos B 得 sin B sin A ? 3 sin Acos B ,因为 sin A ? 0,故ant B ?3 ,

因为 B ?(0,? ) ,所以 B ? ? .由正弦定理得: sin A ? sin C ? a ? c sin B ,

3

b

即 13 3 ? a ? c ? 3 , 所 以 a ? c ?13 , 由 余 弦 定 理 b2 ? a2 ? c2 ?2 a cc o s 得B : 14 7 2

b2 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B ,即 49 ?169 ?3ac ,∴ ac ? 40 ,

所以 S?ABC

?

1 2

ac sin

B

?

1 ? 40? 2

3 ? 10 2

3.

【命题意图】本题考查诱导公式、三角恒等变形、正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等 基础知识,意在考查基本的运算能力.

14.(Ⅰ) 6 ;(Ⅱ) ?1? 3 5 .

4

8

【解析】

试题分析:(Ⅰ)在 ?ABC 中,sin B ? 6 sin C ,结合正弦定理得 b ? 6c ,由 a ? c ? 6 b , 6
知 a ? 2c ,

再用余弦定理求得 cos A 的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? 6 ,在 ?ABC 中,可得 sin A ? 10 ,

4

4

利用二倍角的正弦、余弦公式求得 sin 2A 、 cos 2A ,在利用两角差的余弦公式求得 cos( 2A ? ? ).在求解三角形时,要注意正弦定理、余弦定理的正确使用,在求解两角和与
3
差的三角函数时,要注意结合角的范围,求出要用到的角的三角函数值,并利用公式正确求 解.
试题解析:(Ⅰ)在 ?ABC 中,由 b ? c 及 sin B ? 6 sin C ,可得 b ? 6c , 2 sin B sin C


又由 a ? c ? 6 b ,有 a ? 2c

4分

6

答案第 8 页,总 13 页

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所以 cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 6c2 ? c2 ? 4c2 ? 6 ;

6分

2bc

2 6c2

4

(Ⅱ)在 ?ABC 中,由 cos A ? 6 ,可得 sin A ? 10 ,

7分

4

4

所以 cos 2A ? 2 cos2 A ?1 ? ? 1 ,sin 2 A ? 2sin Acos A ? 15 ,

9分

4

4

所以

cos

? ??

2

A

?

? 3

? ??

?

cos 2Acos

? 3

? sin 2Asin

? 3

?

?1? 3 8

5

.

12 分

考点:①正弦定理、余弦定理;②同角三角函数的基本关系式、二倍角公式及两角和与差的 三角函数.

15.(1) 5 ? 2

3 ,(2) ???k?

? ? , k? 8

? 5? 8

? ??

?k

?

Z

?

【解析】

试题分析:(1)由函数 f ? x? ? ?sin x ? cos x?2 ? 2cos2 x.,通过函数的恒等变形将函数化

简,再求

f

?? ?? 12

? ??

的值,同时又是为第二小题做好铺垫.

( 2 ) 由 函 数 f (x) ?

2

sin

? ??

2x

?

? 4

? ??

?

2





及正















减区







[2k? ? ? , 2k? ? 3? ] k ? Z 上,通过解不等式即可得结论.

2

2

试题解析: f ? x? ?1? 2sin xcos x ? 2cos2 x

1分

= sin 2x ? cos 2x ? 2

2分

=

2

sin

? ??

2x

?

? 4

? ??

?

2

4分

(1)

f

?? ?? 12

? ??

?

2

sin

? ??

? 6

?

? 4

? ??

?

2

?

2

? ??

sin

? 6

cos ? 4

? cos ? 6

sin ? 4

? ??

+2

6分

=1 ? 3 ?2? 5? 3

7分

22

2

(2)由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? 3? 得

8分

2

4

2

答案第 9 页,总 13 页

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k? ? ? ? x ? k? ? 5?

9分

8

8

所以,

f

?

x?

的单调减区间是

???k?

?

? 8

,

k?

?

5? 8

? ??

?k

?

Z

?

10 分

(注:未注明 k ? Z 者,扣 1 分.)
考点:1.三角函数的恒等变形.2.三角函数的单调性.
16.(1) A ? ? ;(2) a ? 2 . 6
【解析】

试 题 分 析 :( 1 ) 根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 , 由 m ? n ? 0 可 得

(2b ? 3c) c o As ? 3a c o Cs ,再由正弦定理,将所得的表达式统一为角之间所满足的关

系 式 : ( 2 Bs ?i n C 3 s? Ai n ) c Ao ,s C进 一3 步s i化n 简 c可 o 得s

2sin B cos A ? 3 sin Acos C ? 3 sin C cos A ? 3 sin( A ? C) , 从 而 cos A ? 3 , 2

A ? ? ;(2)由(1)可得 A ? ? ,C ? 2? ,设 AC ?x ,则 MC ? 1 x ,AM ? 7 ,在 ?AMC

6

6

3

2

中 , 由 余 弦 定 理 得 : AC2 ? MC2 ? 2AC ? MC cos C ? AM 2 , 即

x2 ? ( x )?2 x ? x2 2?c? o s ,解2 得 (x ? 27,即) a ? 2 .

2

2

3

试题解析:(1)∵ m ? n ? 0 ,∴ (2b ? 3c) cos A ? 3a cosC , 2 分

∴ (2sin B ? 3 sin C) cos A ? 3 sin Acos C ,

4分

2sin B cos A ? 3 sin Acos C ? 3 sin C cos A ? 3 sin( A ? C) ,

则 2sin B cos A ? 3 sin B , 6 分∴ cos A ? 3 ,∴ A ? ? ;

2

6

8 分(2)由(1)知

A ? ? ,又∵ a ? b ,∴ C ? 2? , 9 分 设 AC ? x ,则 MC ? 1 x , AM ? 7 ,在

6

3

2

?AMC 中,由余弦定理得: AC2 ? MC2 ?2 AC? MCcos C? AM2, 11 分 即

x2 ? ( x)2 ? 2x ? x cos 2? ? ( 7)2 ,

2

23

解得 x ? 2 ,即 a ? 2 . 12 分

考点:1.三角恒等变形;2.正余弦定理解三角形.

17.(1) f (x) 在 (??, ??) 是增函数, m ? ? 3 或 m ? 3 (2) a ? 3, b ? 1

答案第 10 页,总 13 页

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【解析】

试题分析:解:(1)∵当 x ? 0 时 f(x)有 f (x) ? 4x ? 4 ? 16

x?4

x?4

∴ f (x) 在?0, ??? 上是增函数,

又∵f(x)是奇函数∴f(x)是在 (??, ??) 上是增函数,

∵ f (2m ?1) ? f (m2 ? 2m ? 4) ? 0
∴ 2m ?1 ? ?(m2 ? 2m ? 4) ∴ m ? ? 3或m ? 3
(2)c=f(4)=2

考点:函数的单调性、奇偶性、解不等式、正、余弦定理解三角形
18.(1) B= ? ;(2) m ? ?4 12
【解析】

试题分析:(1)

f(B)=4cos

B?

1?

cos

? ??

? 2

?

B

? ??

?

3cos 2B-2cos B化简整理可得

2

f(B)=2sin

? ??

2B

?

? 3

? ??

.

从而

2sin

? ??

2B

?

? 3

? ??

=2

根据

? 3

?

2B ? ? 3

?

7? 3

,即可得到 B= ? 12

.

(2)转化成

2sin

? ??

2B

?

? 3

? ??

>2+m

恒成立.



2sin

? ??

2B

?

? 3

? ??

?[-2,2]

,得到

2+m<-2,

m

?

?4

.

试题解析:(1)

f(B)=4cos

B?

1?

cos

? ??

? 2

?

B

? ??

?

3cos 2B-2cos B

2

=2cos B(1+sin B)+ 3cos 2B-2cos B

=

2cos Bsin B+

3cos 2B=sin 2B+

3cos

2B=2sin

? ??

2B

?

? 3

??? .

3分

答案第 11 页,总 13 页

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f(B)=2,?

2sin

? ??

2B

?

? 3

? ??

=2



0<B<?

,∴ ? 3

?

2B ?

? 3

?

7? 3



∴ ? ? 2B ? ? ? ? ,B= ? . 6 分

3

3 2 12

(2) f

?

B?-m>2

恒成立,即

2sin

? ??

2B

?

? 3

? ??

>2+m

恒成立.

8分



0<B<?

,∴

2sin

? ??

2B

?

? 3

? ??

?[-2,2]

,∴

2+m<-2,

m

?

?4

.

12 分

考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质;3.转化与化归思想.

19. 3 2
【解析】

试题分析:由余弦二倍角公式和正弦二倍角公式以及辅助角公式,将 f (x) 的解析式化为

f (x) ? 2 sin(? x? ? ),利用两条相邻对称轴间的距离等于 ? ,得 T =? ? 2? ,得? ,进

6

2

?

而可求得 f (x) ? 2sin(2 x? ? ) ,由 f ( A) ?1 ,可求内角 A ,其次利用余弦定理求得 b, c 的 6

等式,与已知 b ? c ? 3联立,求得 bc ? 2 ,进而利用 S ? 1 bc sin A 求面积. 2
试题解析:

f (x) ? cos2 ?x ? sin2 ?x ? 2 3 cos?x sin ?x ? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2sin(2?x ? π), 6
3分

? ? 0, ∴函数 f (x) 的最小正周期T ? 2π ? π , 2? ?

由题意得: T 2

=

π 2

,即 T

?

π ?

=π,

解得: ? =1

5分

? f (x) ? 2sin(2x ? π) , 6

f (A) ? 1 , ?sin(2A ? π ) ? 1 , 62

A= ? .

7分

3

2A ? π ?( π ,13π), ?2A ? ? ? 5? , 即

6 66

66

a ? 3, ∴由余弦定理得:a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, 即 b2 ? c2 ? bc ? 3 ①,

9



b ? c ? 3,?(b ? c)2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 9 ②,联立①②,解得: bc ? 2 ,

答案第 12 页,总 13 页

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则 S△ABC

?

1 bcsin 2

A

?

3. 2

12 分

考点:1、二倍角公式和辅助角公式;2、余弦定理;3、三角形面积公式.

20.(1) A ? ? , ? m, n ?? ? ;(2) 5(2 ? 3)

6

3

4

【解析】

试题分析(:1)由数量积的坐标表示得 m ? n ? cos2 A ? sin2 A ? cos 2A ? 1 ,根据 0 ? A ? ? ,

2

2

求 A;(2)三角形 ABC 中,知道一边 a ? 5 和对角 A ? ? ,利用余弦定理得关于 b, c 的等 6

式,利用基本不等式和三角形面积公式 S ? 1 bc sin A 得 ? ABC 面积的最大值. 2

试题解析:(1) m ? n ? cos2 A ? sin2 A ? cos 2A ? 1 2

因为角 A 为锐角,所以 2A ? ? , A ? ?

3

6

根据 m ? n ?| m | ? | n |? cos ? m,n ? ? 1 2

? m, n ?? ? 3

(2)因为 a ? 5 , A ? ? 6

b c 2
5?

2?

2 ? 2bc cos ? 得: bc ? 5(2 ?

3)

6

S ? 1 bc sin A ? 5(2 ? 3)

2

4

即 ?ABC 面积的最大值为 5(2 ? 3) 4
考点:1、平面向量数量积运算;2、余弦定理和三角形面积公式.

答案第 13 页,总 13 页


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