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三角函数较难题

三角函数较难题
a 2 1. 已知点 ? a, b ? 在圆 x ? y ? 1上, 则函数 f ? x ? ? a cos x ? b sin x cos x ? ? 1 的最小正周期和最小值分别为 (
2 2

2



A. 2? , ?

3 2

B. ? , ?

3 2

C. ? , ?

5 2

D. 2? , ?

5 2
?
3

2.在 ?ABC 中,角 A, B , C 所对应的边分别为 a , b , c , sin C ? sin( A ? B ) ? 3 sin 2 B .若 C ? A.

,则

a ?( b



1 2

B.3

C.

1 或3 2

D.3 或

1 4

3.函数 y ? sin ?x( x ? R) 的部分图象如图所示,设 O 为坐标原点,

y

P x

P 是图象的最高点, B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?OPB ? __________.
4.给出如下五个结论: ①存在 ? ? (0,

O

B

? 使 sin a ? cos a ? ) 3
2

1

②存在区间( a , b )使 y ? cos x 为减函数而 sin x <0 ④ y ? cos 2 x ? sin( 2 ? x ) 既有最大、最小值,又是偶函数 其中正确结论的序号是

③ y ? tan x 在其定义域内为增函数 ⑤ y ? sin? 2 x ?

?

? ?

?
6

? 最小正周期为π .
2

5.设函数 f ( x) ? cos x ?

3 sin x cos x ?

1 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及值域; 2
3 , a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 ?ABC 的 2

(Ⅱ)已知 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 f ( B ? C ) ? 面积.

6.已知向量 a ?

?

? 3,sin ? 与b ? ?1, cos ? ? 互相平行,其中 ? ? (0, ) . 2

?

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)求 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? 的最小正周期和单调递增区间.

试卷第 1 页,总 4 页

7.A,B,C 为△ABC 的三内角,其对边分别为 a, b, c,若 cos B cos C ? sin B sin C ? (2)若 a ? 2 3 , b ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.

1 . (1)求 A ; 2

8.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足 cos 2 A ? cos 2 B ? 2cos ? (1)求角 B 的值; (2)若 b ?

?? ? ?? ? ? A? cos ? ? A? ?6 ? ?6 ?

1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围. 2

2? ) ? 3 sin 2 x (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; 3 C 1 (2)设 ?ABC 的三内角分别是 A、B、C.若 f ( ) ? ? ,且 AC ? 1, BC ? 3 ,求 sin A 的值. 2 2
9.已知函数 f ( x) ? 2 cos(2 x ?

10.已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , x ? R . (Ⅰ)求 f ( (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [ , ?] 上的最大值和最小值,及相应的 x 的值.

? 6

? 6

? ) 的值; 12

? 2

11.已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? cos 2x, x ? R . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

? (2)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c ,若 f (A) ?2,C ? , c ? 2 4

,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的值.

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12. A , B , C 为 ?ABC 的三内角,其对边分别为 a , b , c ,若 cos B cos C ? sin B sin C ? (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

1 . (Ⅰ)求 A ; 2

13.已知 f ( x) ? 3 sin(? ? x)sin(

3? ? x) ? cos 2 x .(Ⅰ)求 y ? f ( x) 的最小正周期和对称轴方程; 2

b?7, (Ⅱ) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c , 若有 b sin A ? 3a cos B , sin A ? sin C ?
求 ?ABC 的面积.

13 3 , 14

14.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知a ? c ? (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求 cos(2 A ?

6 b ,sin B ? 6 sin C . 6

?
3

) 的值.

2 15.已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? ? 2 cos x. (1)求 f ? 2

?? ? (2)求 f ? x ? 的递减区间. ? 的值; ? 12 ?

16. 设 ?ABC 的内角 A ,B ,C , 所对的边长分别为 a ,b ,c , m ? ? cos A,cos C ? ,n ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? b ,且 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求边 a 的值.
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?

3c ? 2b, 3a , 且m ? n .

?

17.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时有 f ( x ) ? 4 x .
x?4

(1)判断函数 f ( x) 的单调性,并求使不等式 f (2m ?1) ? f (m2 ? 2m ? 4) ? 0 成立的实数 m 的取值范围. (2)若 a 、b 、c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、C 所对的边,?ABC 面积 S ?ABC ?

3 , c ? f (4), A ? 60?, 求 a 、 2

b 的值;

18.在△ ABC 中,A、B、C 为三个内角,f(B)=4cos B· sin2 ? (2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?? B ? ? ? + 3 cos 2B-2cos B.(1)若 f(B)=2,求角 B; ?4 2?

19. 已知函数 f ( x) ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3cos ? x sin ? x(? 0), f ( x) 的图象的两条相邻对称轴间的距离等于

? , 在 2

? ABC 中,角 A,B,C 所对的边依次为 a,b,c,若 a ? 3 , b+c=3, f ( A) ? 1 ,求 ? ABC 的面积.

20. 在 ? ABC 中, 记角 A, B, C 的对边为 a, b, c, 角 A 为锐角, 设向量 m ? (cos A,sin A) n(cos A,sin A) , 且m?n ? (1)求角 A 的大小及向量 m 与 n 的夹角; (2)若 a ? 5 ,求 ? ABC 面积的最大值.

1 . 2

试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:因为点 ( a , b) 在圆 x ? y ? 1上,所以 a 2 ? b2 ? 1 ,
2 2

a 1 ? cos 2a sin 2 x a 1 ?1 ? a ? ? ? ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 , 2 2 2 2 2 3 所以最小正周期 T ? ? , f ( x ) min ? ? ,应选 B. 2 f ( x ) ? a cos2 x ? b sin x cos x ?
考点:三角函数性质、点与圆的位置关系. 2.C. 【解析】 试题分析:由 sin C ? sin( A ? B) ? 3 sin 2B ,得 sin( A ? B) ? sin( A ? B) ? 6 sin B cos B ,

o s 即 sin A cos B ? 3 sin B cos B ; 若c

B ? 0 ,则 sin A ? 3 sin B , 此时

a o s B ?0, ? 3; 若c b

即B ?

?
2

,C ?

?
3

,A?

?
6

,此时

a ? b

sin

?

6 ? 1 ;故选 C. ? 2 sin 2

考点:解三角形. 3.8 【解析】

R , ) 所 以 周 期 T ? 2 , 所 以 P ( 1 ,1) , B(2, 0) , 所 以 试 题 分 析 : y ? s i n?x (x ?

2

OP?

1 5 9 13 ?1 ? , P B ? ? 1 ? , O B ?2 4 2 4 2



5 13 1 ? ?4 1 cos ?OPB ? 4 4 ? 2 ? 5 13 65 65 2? ? 2 2 2
sin ?OPB ? 8 ? tan ?OPB ? 8 65

考点:本题考查三角函数图像,解三角形 点评:通过三角函数的解析式找到 O,P,Q 三点坐标,求出各边长度,求出角的余弦,再求正 弦 4.④ 【解析】

sin ? ? cos ? ? 试题分析:
故不存在

2 sin(? ? ) , 因为 4

?

? ? ? (0, )

所以 1 ? sin ? ? cos ? ? 2 , 2 ,

答案第 1 页,总 13 页

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1 ? 故①错误; 当 x ? (2k? , 2k? ? ? ) 时,y ? cos x 为减函数, ? ? (0, ) 使 sin a ? cos a ? ,
2

3

而 sin x ? 0 ,故不存在区间( a , b )使

y ? cos x

为减函数而

sin x

< 0 ,故②错误;由于

tan

?
3

? tan

4? ,故③错误; 3

y ? cos 2 x ? sin(

?

2

? x)=2 cos 2 x ? cos x ? 1 ,有最大值和最小值,且是偶函数,故④正确;

? ? y ? sin(2 x ? ) 的最小正周期为 ,故⑤错误,故正确的命题有④. 2 6
考点:三角函数的图象与性质. 5. (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ?

?? 1 ? = cos ? 2 x ? ? ? 1 , 2 3? ?

3分

2] ;(Ⅱ) 所以 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ,值域为 [0,

3 . 2

【解析】

?? ? 试题分析: (Ⅰ)由二倍角的正、余弦公式升角,得到 f ( x) = cos ? 2 x ? ? ? 1 ; (Ⅱ)由 3? ?

f (B ? C ) ?

3 ,得 2

? ? 1 ? 得A? , 由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos = (b ? c)2 ? 3bc , 由已知 bc ? 2 , cos(2 A ? ) ? , 3 3 2 3
由三角形的 面积公式 S ?

1 bc sin A 即可求得. 2
?? 1 ? = cos ? 2 x ? ? ? 1 , 2 3? ?
3分 4分 6分

试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 所以 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ,

?? ? 2] . ∵ x ? R ∴ ?1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ,故 f ( x) 的值域为 [0, 3? ? ?? 3 ? 1 ? (Ⅱ)由 f ( B ? C) ? cos ?2( B ? C) ? ? ?1 ? ,得 cos(2 A ? ) ? , 3 2 3? 2 ?
又 A ? (0,? ) ,得 A ?

?
3



8分

2 2 2 在 ?ABC 中,由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos

?
3

2 = (b ? c) ? 3bc ,

9分 11 分 13 分

又 a ? 3 , b ? c ? 3 ,所以 3 ? 9 ? 3bc ,解得 bc ? 2 , 所以, ?ABC 的面积 S ?

1 ? 1 3 3 bc sin ? ? 2 ? ? 2 3 2 2 2
答案第 2 页,总 13 页

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考点:1、二倍角的正、余弦公式;2、余弦定理;3、三角形的面积公式. 6 .( 1 ) sin ? ?

1 3 , cos ? ? ;( 2 ) T ? ? , f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 2 2

5? ?? ? k? ? , k? ? ? , k ? Z ? 12 12 ? ?
【解析】 试题分析: (1)平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中

??

?
2

(2)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根 ? k? , k ? Z ;

据角 ? 的范围确定,二是利用诱导公式进行化简时,先利用公式化任意角的三角函数为锐 角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定; (3)求解较复 杂三角函数的单调区间时,首先化成 y ? A sin ??x ? ? ? 形式,再 y ? A sin ??x ? ? ? 的单调 区间,只需把 ?x ? ? 看作一个整体代入 y ? sin x 相应的单调区间,注意先把 ? 化为正数, 这是容易出错的地方. 试题解析: (1)因为 a 与 b 互相平行,则 sin ? ? 3 cos? , tan ? ? 3 , 又 ? ? ? 0, (3 分)

? ?

??

? 3 1 , cos ? ? . ? ,所以 ? ? 3 ,所以 sin ? ? 2 2 2?
? ?

(6 分)

(2)由 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? sin ? 2 x ? 由 2 k? ?

??

? ,得最小正周期 T ? ? 3?

(8 分)

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,得 k? ?

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z (11 分) 12 12
(12 分)

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

5? ?? , k? ? ? , k ? Z 12 12 ?

考点:1、同角三角函数的基本关系;2、三角函数的化简;3、求三角函数的周期和单调区 间. 7. (1)

2? ; ( 2) 3 . 3 1 ,求 2

【解析】 试题分析: (1)由两角和的余弦公式将已知中的等式转化,进而确定 cos ( B ? C ) ? 出 B?C ?

?
3

,即 A ?

2? ; (2)根据题意及余弦定理求出 bc ? 4 ,再运用三角形的面积公式 3

S ?ABC

1 ? bc ? sin A 求得即可. 2
1 1 ,?cos(B ? C) ? 2 2

试题解析: (1)? cos B cos C ? sin B sinC ?

答案第 3 页,总 13 页

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又? 0 ? B ? C ? ? ,∴ B ? C ?

?
3

, ? A ? B ? C ? ? ,? A ?

2? . 3
2? 3

(2)由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 得 (2 3 )2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? cos

1 1 3 1 ? 3. 即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4 ,? S?ABC ? bc ? sin A ? ? 4 ? 2 2 2 2 考点:1、两角和(差)的正、余弦公式;2、余弦定理;3、三角形面积公式.

8. (1) B ? 【解析】

?
3



2? 3 ; (2) [ , 3) 3 2

试题分析: (1)由已知 cos 2 A ? cos 2 B ? 2cos ?

?? ? ?? ? ? A ? cos ? ? A ? ?6 ? ?6 ?
3分

得 2sin 2 B ? 2sin 2 A ? 2 ? cos 2 A ?

?3 ?4

1 2 sin 4

? A? ?
5分

化简得 sin B ? 故B ?

3 2

?
3



2? . 3

6分

(2)因为 b ? a ,所以 B ?

?
3



7分

由正弦定理

a c b ? ? ? sin A sin C sin B

3 ? 2 ,得 a=2sinA,c=2sinC, 3 2



1 3 ?? ? 2? ? 3 ? a ? c ? 2sin A ? sin C ? 2sin A ? sin ? ? A? ? sin A ? cos A ? 3 sin ? A ? ? 2 2 6? ? 3 ? 2 ?
9分 因为 b ? a ,所以 所以 a ?

?
3

?A

2? ? ? , ? A? 3 6 6

?
2



10 分

1 ?? 3 ? c ? 3 sin ? A ? ? ?[ , 3) . 2 6? 2 ?

12 分

考点:本题考查二倍角公式,正弦定理,两角和与差的三角函数,正弦函数的图象和性质 点评:解决本题的关键是熟练掌握二倍角公式,两角和与差的三角函数,以及正弦定理,第 二问关键是整理成 y ? A sin ?? x ? ? ? 的形式 9. (1)f(x)的最小正周期是π ,最大值时 1; (2) sin A ?
答案第 4 页,总 13 页

3 21 14

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【解析】 试题解析: : 解: (1) f ? x ? ? 2 ?cos 2 x ? ? ? ? ? sin 2 x ?

? ?

? 1? ? 2?

3? ? ? 3 sin 2 x ? ? cos 2 x 2 ?

3

分 所以 f(x)的周期为 ? , 当 2 x ? 2k? ? ? 时,即 x ? k? ? f(x)取其最大值为 1. (2) f ?

4分

?
2

时 cos 2 x 取最小-1, 6 分 8 分

1 ? 1 ?C? ? ? ? 得 cos C ? 2 ,C 是三角形内角, C ? 3 , 2 ?2?

由 余 弦 定 理 : AB ? 10 分 由正弦定理:

AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos ?ACB ? 12 ? 32 ? 2 ?1? 3 ?

1 ? 7 2

BC AB 3 3 21 ? , AB ? 7 , BC ? 3,sinC ? 得 sin A ? , sin A sin C 2 14

12 分 考点:考查了三角函数的周期和最值,正余弦定理的应用 点评:根据题意,把 f(x)转化为一个角的三角函数,求出周期和最大值,利用正余弦定 理解三角形. 10.2, x ? ? 时, ymax ? 3 , x ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ) f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ? ) ? cos(2 x ? )

7? 时, ymin ? ?2 12

? sin 2 x ? (cos 2 x cos

? ? ? ? ? sin 2 xsin ) ? (cos 2 x cos ? sin 2 xsin ) 6 6 6 6

? 6

? 6

? sin 2 x? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ) . 3 ? ? 所以 f ( ) ? 2 sin ? 2 . 7分 12 2 ? ? ? ? ? ? ? cos ? cos(2 ? ? ) ? cos(2 ? ? ) (另解) f ( ) ? 2sin 12 12 12 12 6 12 6 ? sin
=2. (Ⅱ)因为

?

?
6

? sin

?
2

? cos

?
3
2分

?
2

? x?? ,

答案第 5 页,总 13 页

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4? ? 7? ? 2x ? ? . 3 3 3 ? 7? 所以 当 2 x ? ? ,即 x ? ? 时, ymax ? 3 ; 3 3 ? 3? 7? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, ymin ? ?2 . 12 3 2 7? 所以当 x ? ? 时, ymax ? 3 ;当 x ? 时, ymin ? ?2 . 12
所以 考点:本题考查三角函数求最值,二倍角公式,辅助角公式 点评:将一直所给三角函数化为 f (x) ? 2sin(2 x ? 对称轴,对称中心 11. (1) [k? ?

13 分

?
3

) ,就可以求最值,周期,单调区间,

?

, k? ? ], k ? Z ; (2) 6 3

?

3? 3 . 2

【解析】 试题分析: (1)函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差 的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的单调性即可确定出 f(x)的单调递 增区间; (2)由已知 f ( A) ? 2 及(1)的结论求出角 A 的大小,再由正弦定理即可求出 a 边的长度,从而利用公式 S ?ABC ?

1 ac sin B 就可求出其面积. 2

试题解析: (1)∵ f ( x) ? 2 3sin x cos x ? cos 2x,x ? R , ∴ f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

).

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z .

∴函数 f ( x) 的单调递增区间是 [k? ?

?
?

, k? ? ], k ? Z . 6 3
,c ? 2 ,

?

(2)∵在 ?ABC 中, f ( A) ? 2, C ?

4

∴ 2sin(2 A ?

?
6

) ? 2, 解得 A ? k? ?

?
3

,k ?Z .

又0 ? A?? , ∴A?

?
3

.

答案第 6 页,总 13 页

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依据正弦定理,有

a sin

?
3

?

c sin

?
4

, 解得a ? 6 .

∴ B ?? ? A?C ?

5 ?. 12

∴ S?ABC ?

1 1 6 ? 2 3? 3 . ac sin B ? ? 2 ? 6 ? ? 2 2 4 2
2 ?; (Ⅱ) S 3

考点:1.两角和与差的正弦函数;2. 三角函数的单调性及其求法;3. 正余弦定理. 12. (Ⅰ) A ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据题意利用两角和的余弦值 cos ? B ? C ? ? cos B cos C ? sin B sin C 的逆 用, 将条件化简, 为 cos ? B ? C ? ?
ABC

? 3

1 ? 2? , 再利用三角形内角和为 ? ,B ? C ? ,得到 A ? ; 2 3 3
2

2 2 2 2 (Ⅱ)将余弦定理 a ? b ? c ? 2bc ? cos A 变形为: a ? ? b ? c ? ? 2bc ? 2bc cos A 再将

1 bc sin A ,求得 ?ABC 的面积.为 3 得结果. 2 1 试题解析: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ? 2 1 ? cos( B ? C ) ? 4分 2
已知条件带入求得 bc 的值,由 S
ABC

?

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?

? A ? B ? C ? ? ,? A ?

2? . 3

3
7分

6分

2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc ? cos A

2 2 得 (2 3 ) ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? cos

2? 3

9分 12 分

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4

1 2

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

14 分

考点:1.两角和的余弦公式;2.三角形的余弦定理;3.三角形的面积公式. 13. (Ⅰ)最小正周期为 ? ;对称轴方程为 x ? (Ⅱ) 10 3

k? ? ? (k ? Z) . 2 3

答案第 7 页,总 13 页

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【解析】 (Ⅰ)由已知得 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

2? ? ? ?? 1 ? ? ? ,令 2 x ? ? k? ? ,得 ? sin ? 2 x ? ? ? .故 y ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ? 6 2 6? 2 ? x? k? ? k? ? ? (k ? Z) , ? (k ? Z) . 故 y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ; 对称轴方程为 x ? 2 3 2 3

(Ⅱ) 由 b sin A ? 3a cos B 得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 因为 sin A ? 0 , 故a n t 因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ?

B? 3



?
3

.由正弦定理得: sin A ? sin C ?

a?c sin B , b



13 3 a ? c 3 2 ac co s 得 B : , 所 以 a ? c ? 13 , 由 余 弦 定 理 b2 ? a 2 ? c 2 ? ? ? 14 7 2

b2 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B ,即 49 ? 169 ? 3ac ,∴ ac ? 40 ,
所以 S?ABC ?

1 1 3 ac sin B ? ? 40 ? ? 10 3 . 2 2 2

【命题意图】本题考查诱导公式、三角恒等变形、正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等 基础知识,意在考查基本的运算能力. 14. (Ⅰ) 【解析】

6 ?1 ? 3 5 ; (Ⅱ) . 4 8

sin B ? 6 sin C , 试题分析: (Ⅰ) 在 ?ABC 中, 结合正弦定理得 b ? 6c , 由a ?c ?
知 a ? 2c , 再用余弦定理求得 cos A 的值; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 cos A ?

6 b, 6

6 10 , 在 ?ABC 中, 可得 sin A ? , 4 4

利用二倍角的正弦、余弦公式求得 sin 2A 、 cos 2 A ,在利用两角差的余弦公式求得

cos( 2 A?

?
3

) .在求解三角形时,要注意正弦定理、余弦定理的正确使用,在求解两角和与

差的三角函数时,要注意结合角的范围,求出要用到的角的三角函数值,并利用公式正确求 解. 试题解析: (Ⅰ) 在 ?ABC 中, 由 分 又由 a ? c ?

b c 及 sin B ? 6 sin C , 可得 b ? 6c , ? sin B sin C

2

6 b ,有 a ? 2c 6

4分

答案第 8 页,总 13 页

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所以 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 6c 2 ? c 2 ? 4c 2 6 ; ? ? 2 2bc 4 2 6c
6 10 ,可得 sin A ? , 4 4

6分

(Ⅱ)在 ?ABC 中,由 cos A ?

7分

所以 cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1 ? ? ,sin 2 A ? 2sin A cos A ?

1 4

15 , 4
12 分

9分

所以 cos ? 2 A ?

? ?

??

? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 3? 3 3

?

?

?1 ? 3 5 . 8

考点:①正弦定理、余弦定理;②同角三角函数的基本关系式、二倍角公式及两角和与差的 三角函数. 15. (1) 【解析】
2 试题分析: (1)由函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? ? 2 cos x. ,通过函数的恒等变形将函数化 2

5? 3 ? 5? ? ? , (2) ? k? ? , k? ? ?k ? Z ? 2 8 8 ? ? ?

简,再求 f ?

?? ? ? 的值,同时又是为第二小题做好铺垫. ? 12 ?

( 2 ) 由 函 数 f ( x) ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 , 以 及 正 弦 函 数 的 单 调 递 减 区 间 是 在 4? ?

[2k? ?

?
2

, 2 k? ?

3? ] k ? Z 上,通过解不等式即可得结论. 2
1分

试题解析: f ? x ? ? 1 ? 2sin x cos x ? 2cos2 x = sin 2 x ? cos 2 x ? 2 = 2 sin ? 2 x ? 2分 4分

? ?

??

??2 4?

(1) f ?

? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 sin ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin cos ? cos sin ? +2 6 分 6 4 6 4? ? 12 ? ?6 4? ?
7分

=

1 3 5? 3 ? ?2? 2 2 2

(2)由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k ? ?

3? 得 2

8分

答案第 9 页,总 13 页

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k? ?

?
8

? x ? k? ?

5? 8

9分

所以, f ? x ? 的单调减区间是 ? k? ?

? ?

?
8

, k? ?

5? ? ?k ? Z ? 8 ? ?

10 分

(注:未注明 k ? Z 者,扣 1 分.) 考点:1.三角函数的恒等变形.2.三角函数的单调性. 16. (1) A ? 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 , 由 m ? n ? 0 可 得

? ; (2) a ? 2 . 6

(2b ? 3c) c o A s ? 3a c o C s ,再由正弦定理,将所得的表达式统一为角之间所满足的关
系 式 :

( 2 B s ?i n

C 3 s? A i n

进 一 可o 得 ) c Ao , s C 3 步 s i化n 简 c s

2sin B cos A ? 3sin A cos C ? 3sin C cos A ? 3sin( A ? C) , 从 而 cos A ?
A?

3 , 2

?
6

; (2) 由 (1) 可得 A ?

?
6

C? ,

2? 1 C ? x ,则 MC ? x ,AM ? 7 , M C , 设A 在 ?A 3 2
AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2
, 即

中 ,

由 余 弦 定 理

得 :

x2 ? (

x 2 x 2? 2 x ? 27 ) ? x? 2 c? o s ,解得 ( ) a ? 2. ,即 2 2 3
2分

试题解析: (1)∵ m ? n ? 0 ,∴ (2b ? 3c) cos A ? 3a cosC , ∴ (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin A cos C , 4分

2sin B cos A ? 3sin A cos C ? 3sin C cos A ? 3sin( A ? C) ,
则 2sin B cos A ? 3 sin B , 6 分∴ cos A ?

? 3 ,∴ A ? ; 6 2

8 分(2)由(1)知

A?

?
6

,又∵ a ? b ,∴ C ?

2? , 3

9 分 设 AC ? x ,则 MC ?

1 x , AM ? 7 ,在 2
11 分 即

2 ?AMC 中 , 由 余 弦 定 理 得 : AC2 ? MC2 ? 2 AC? MC cos C ? AM ,

x x 2? x 2 ? ( ) 2 ? 2 x ? cos ? ( 7) 2 , 2 2 3 解得 x ? 2 ,即 a ? 2 . 12 分
考点:1.三角恒等变形;2.正余弦定理解三角形. 17. (1) f ( x ) 在 (??, ??) 是增函数, m ? ? 3 或 m ? 3
答案第 10 页,总 13 页

(2) a ?

3, b ? 1

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【解析】 试题分析:解: (1)∵当 x ? 0 时 f(x)有 f ( x) ? ∴ f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是增函数, 又∵f(x)是奇函数∴f(x)是在 (??, ??) 上是增函数, ∵ f (2m ? 1) ? f (m2 ? 2m ? 4) ? 0 ∴ 2m ? 1 ? ?(m ? 2m ? 4) ∴ m ? ? 3或m ? 3
2

4x 16 ?4? x?4 x?4

(2)c=f(4)=2

考点:函数的单调性、奇偶性、解不等式、正、余弦定理解三角形 18. (1) B= 【解析】

?
12

; (2) m ? ?4

?? ? 1 ? cos ? ? B ? ?2 ? ? 3cos 2B-2cos B 化简整理可得 试题分析:(1) f(B)=4cos B ? 2

? ? 7? ? ?? ?? ? ? ,即可得到 B= . f(B)=2sin ? 2 B ? ? . 从而 2sin ? 2 B ? ? =2 根据 ? 2 B ? ? 12 3 3 3 3? 3? ? ?
(2)转化成 2sin ? 2 B ?

? ?

??

? >2+m 恒成立. 3?

由 2sin ? 2 B ?

? ?

??

? ?[-2,2] ,得到 2+m<-2, m ? ?4 . 3?

?? ? 1 ? cos ? ? B ? ?2 ? ? 3cos 2B-2cos B 试题解析:(1) f(B)=4cos B ? 2

=2cos B(1 +sin B)+ 3cos 2B-2cos B

= 3分

?? ? 2cos Bsin B+ 3cos 2B=sin 2B+ 3cos 2B=2sin ? 2B ? ? . 3? ?
答案第 11 页,总 13 页

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∵ f(B)=2, ? 2sin ? 2 B ? ∴ ? 2B ?

? ?

??
?

? ? 7? 0<B<? ,∴ ? 2 B ? ? , ? =2 ∵ 3 3 3 3?
. 6分

?

?
3

3

?

?
2

,B=

12

(2) f

? B ?-m>2 恒成立,即 2sin ? ? 2B ?
?
? ?

??

? >2+m 恒成立. 3?

8分

0<B<? ,∴ ∵ 2sin ? 2 B ?

??

2+m<-2, m ? ?4 . ? ?[-2,2] ,∴ 3?

12 分

考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质;3.转化与化归思想. 19.

3 2

【解析】 试题分析:由余弦二倍角公式和正弦二倍角公式以及辅助角公式,将 f ( x ) 的解析式化为

f ( x ) ? 2 sin(? x?

?
6

),利用两条相邻对称轴间的距离等于

2? ? ,得 T =? ? ,得 ? ,进 2 ?

而可求得 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,由 f ( A) ?1 ,可求内角 A ,其次利用余弦定理求得 b, c 的 1 bc sin A 求面积. 2

等式,与已知 b ? c ? 3 联立,求得 bc ? 2 ,进而利用 S ? 试题解析:

π f ( x) ? cos 2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin(2? x ? ), 6
3分

? ? 0, ∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ?
由题意得:

2π π ? , 2? ?

T π π = ,即 T ? =π, 解得: ? =1 5分 2 2 ? π ? f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) , 6 π 1 π π 13π ? 5? 2A ? ?( , ), ? 2 A ? ? f ( A) ? 1 , ? sin(2 A ? ) ? , 6 2 6 6 6 6 6 ? A= . 7分 3

, 即

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, 即 b2 ? c2 ? bc ? 3 a ? 3, ∴由余弦定理得:


①,

9

b ? c ? 3,?(b ? c)2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 9

②,联立①②,解得: bc ? 2 ,

答案第 12 页,总 13 页

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则 S△ABC ?

1 3 bc sin A ? . 2 2

12 分

考点:1、二倍角公式和辅助角公式;2、余弦定理;3、三角形面积公式. 20. (1) A ? 【解析】
2 2 试题分析: (1) 由数量积的坐标表示得 m ? n ? cos A ? sin A ? cos 2 A ?

?
6

, ? m, n ??

?
3

; (2)

5(2 ? 3) 4

求 A; (2)三角形 ABC 中,知道一边 a ? 5 和对角 A ? 式,利用基本不等式和三角形面积公式 S ?

?
6

? 1 , 根据 0 ? A ? , 2 2

,利用余弦定理得关于 b, c 的等

1 bc sin A 得 ? ABC 面积的最大值. 2 1 2 2 试题解析: (1) m ? n ? cos A ? sin A ? cos 2 A ? 2
因为角 A 为锐角,所以 2 A ?

?

3

,A?

?

6

根据 m ? n ?| m | ? | n | ? cos ? m,n ? ?

? m, n ??

?
3

1 2

(2)因为 a ? 5 , A ?
2 2 2

?
6

5 ? b ? c ? 2bc cos

?
6

得: bc ? 5(2 ? 3)

1 5(2 ? 3) S ? bc sin A ? 2 4
即 ?ABC 面积的最大值为

5(2 ? 3) 4

考点:1、平面向量数量积运算;2、余弦定理和三角形面积公式.

答案第 13 页,总 13 页


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