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【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.1.1、2 Word版含解析


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选修 1-1

第三章

3.1

3.1.1、2

一、选择题 1.(2016· 山东枣庄高二月考)在物体运动变化过程中,自变量的改变量 Δx 的取值为 导学号 92600527 ( A.Δx>0 C.Δx=0 [答案] D [解析] Δx 可正也可负,但是不可以为 0,故选 D. 1 2.对于函数 y= ,当 Δx=1 时,Δy 的值是 导学号 92600528 ( x A.1 C.0.1 [答案] D [解析] 函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量,因而要求 Δy 必须指明在哪 一点处. 3.函数 f(x)在 x=x0 处的导数可表示为 导学号 92600529 ( A.f ′(x0)= lim → f?x0+Δx?-f?x0? Δx ) B.-1 D.不能确定 ) ) B.Δx<0 D.Δx≠0

Δx 0

B.f ′(x0)= lim [f(x0+Δx)-f(x0)] →
Δx 0

C.f ′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0) [答案] A

f?x0+Δx?-f?x0? D.f ′(x0)= Δx

[解析] B 中 lim [f(x0+Δx)-f(x0)]表示函数值的变化量的极限; C 中 f(x0+Δx)-f(x0)表示 →
Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? 函数值的变化量;D 中 表示函数的平均变化率. Δx 4.(2016· 山西临汾高二质检)一质点运动的方程为 s=5-3t2,若该质点在 t=1 到 t=1 + Δt 这 段 时 间 内 的 平 均 速 度 为 - 3Δt - 6 , 则 该 质 点 在 t = 1 时 的 瞬 时 速 度 是 导学号 92600530 ( A.-3 C.6
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) B .3 D.-6

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[答案] D [解析] 当 Δt 趋近于 0 时,-3Δt-6 趋近于-6,即 t=1 时该质点的瞬时速度是-6. 5.已知 f(x)=x2-3x,则 f ′(0)= 导学号 92600531 ( A.Δx-3 C.-3 [答案] C ?0+Δx?2-3?0+Δx?-02+3×0 [解析] f ′(0)= lim Δx Δx→0 = lim →
Δx 0

)

B.(Δx)2-3Δx D.0

Δx2-3Δx = lim (Δx-3)=-3.故选 C. Δx Δx→0

6.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b 为常数),则 导学号 92600532 ( A.f ′(x)=a C.f ′(x0)=a [答案] C [解析] ∵f ′(x0)= lim → = lim →
Δx 0 Δx 0

) B.f ′(x)=b D.f ′(x0)=b

f?x0+Δx?-f?x0? Δx

aΔx+b?Δx?2 = lim (a+bΔx)=a. Δx Δx→0

∴f ′(x0)=a. 二、填空题 Δy 7.已知函数 y=x3-2,当 x=2 时, =________. 导学号 92600533 Δx [答案] (Δx)2+6Δx+12 Δy [解析] ∵Δy=(2+Δx)3-2-6=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx,∴ =(Δx)2+6Δx+12. Δx 1 8. 在自由落体运动中, 物体位移 s(单位: m)与时间 t(单位: s)之间的函数关系式 s= gt2(g 2 =9.8 m/s2),试估计 t=3s 时物体下落的瞬时速度是________. 导学号 92600534 [答案] 29.4 m/s [解析] 从 3s 到(3+Δt)s 这段时间内位移的增量: Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt)2-4.9×32 =29.4Δt+4.9(Δt)2,

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Δs Δs 从而, =29.4+4.9Δt.当 Δt 趋于 0 时, 趋于 29.4 m/s. Δt Δt 9 . 已 知 函 数 f(x) 在 x = x0 处 的 导 数 为 4 , 则 lim → __________. 导学号 92600535 [答案] 8 [解析]
Δx→0 Δx 0

f?x0+2Δx?-f?x0? = Δx

lim

f?x0+2Δx?-f?x0? Δx

f?x0+2Δx?-f?x0? = lim [ ×2] 2Δx Δx→0 =2lim →
Δx 0

f?x0+2Δx?-f?x0? 2Δx

=2f′(x0)=2×4=8. 三、解答题 10.一作直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,求此物体在 t=2 时的 瞬时速度. 导学号 92600536 [解析] 由于 Δs=3(2+Δt)-(2+Δt)2-(3×2-22) =3Δt-4Δt-Δt2=-Δt-Δt2,
2 Δs -Δt-Δt ∴ = =-1-Δt. Δt Δt

∴v= lim →

Δt 0

Δs = lim (-1-Δt)=-1. Δt Δt→0

∴物体在 t=2 时的瞬时速度为-1.

一、选择题 1 . 质 点 运 动 规 律 为 s = 2t2 + 5 , 则 在 时 间 (3,3 + Δt) 中 , 相 应 的 平 均 速 度 等 于 导学号 92600537 ( A.6+Δt C.12+2Δt [答案] C [解析]
2 2 Δs [2?3+Δt? +5]-?2×3 +5? = Δt Δt

) 9 B.12+Δt+ Δt D.12

=12+2Δt.

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2.(2016· 山东聊城高二月考)做直线运动的物体,其位移 s 和时间 t 的关系是:s=3t- t2,则它的初速度是 导学号 92600538 ( A.0 C.-2 [答案] B [解析] 初速度即为 t=0 时的瞬时速度,
2 Δs s?0+Δt?-s?0? 3Δt-Δt = = =3-Δt2. Δt Δt Δt

) B .3 D.3-2t

Δs 当 Δt 趋近于 0 时, 趋近于 3,故它的初速度为 3. Δt 3 . (2016· 浙 江 台 州 检 测 ) 若 f(x) 在 x = x0 处 存 在 导 数 , 则 lim →
h 0

f?x0+h?-f?x0? h

导学号 92600539 ( A.与 x0,h 都有关

) B.仅与 x0 有关,而与 h 无关 D.与 x0,h 都无关

C.仅与 h 有关,而与 x0 无关 [答案] B

[解析] 由导数的定义可知,函数在 x=x0 处的导数只与 x0 有关,故选 B. 4.(2016· 安徽淮北高二检测)设 f(x)=ax3+2, 若 f′(-1)=3, 则 a= 导学号 92600540 ( ) A.-1 C.1 [答案] C [解析] ∵f′(-1)= lim →
3 Δx 0

1 B. 2 1 D. 3

f?-1+Δx?-f?-1? Δx

= lim →

Δx 0

a?Δx-1? +a =3a,∴3a=3,解得 a=1.故选 C. Δx

二、填空题 5.已知物体的运动方程是 S=-4t2+16t(S 的单位为 m;t 的单位为 s),则该物体在 t =2s 时的瞬时速度为__________. 导学号 92600541 [答案] 0 m/s [解析] ΔS=-4(2+Δt)2+16(2+Δt)+4×22-16×2=-4Δt2,
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2 ΔS -4Δt ∴ = =-4Δt, Δt Δt

∴v= lim →

Δt 0

ΔS = lim (-4Δt)=0. Δt Δt→0

∴物体在 t=2s 时的瞬时速度为 0 m/s. 6. 球的半径从 1 增加到 2 时, 球的体积平均膨胀率为____________. 导学号 92600542 [答案] 28π 3

4 4 28π [解析] ∵Δy= π×23- π×13= , 3 3 3 28π 3 Δy 28π ∴ = = . Δx 2-1 3 三、解答题 2 7.求函数 f(x)=3x- 在 x=1 处的导数. 导学号 92600543 x 2 [解析] Δy=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)- -1 1+Δx 2 2Δx =2+3Δx- =3Δx+ , 1+Δx 1+Δx 2Δx 3Δx+ 1+Δx Δy 2 = =3+ , Δx Δx 1+Δx ∴ lim →
Δx 0

Δy 2 = lim (3+ )=5,∴f ′(1)=5. Δx Δx→0 1+Δx

8.一物体的运动方程如下:(单位:m,时间:s)
2 ? ?t≥3? ?3t +2 ? s= . 2 ?29+3?t-3? ?0≤t<3? ?

求:(1)物体在 t∈[3,5]时的平均速度; (2)物体的初速度 v0; (3)物体在 t=1 时的瞬时速度. 导学号 92600544 [解析] (1)∵物体在 t∈[3,5]时的时间变化量为 Δt=5-3=2, 物体在 t∈[3,5]时的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, Δs 48 ∴物体在 t∈[3,5]时的平均速度为 = =24(m/s). Δt 2 (2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t=0 时的瞬时速度.
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∵物体在 t=0 附近的平均变化率为 Δs f?0+Δt?-f?0? = Δt Δt = 29+3[?0+Δt?-3]2-29-3?0-3?2 =3Δt-18, Δt

∴物体在 t=0 处的瞬时变化率为
Δt→0

lim

Δs = lim (3Δt-18)=-18, Δt Δt→0

即物体的初速度为-18 m/s. (3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为函数在 t=1 处的瞬时变化率. ∵物体在 t=1 附近的平均变化率为 Δs f?1+Δt?-f?1? = Δt Δt = 29+3[?1+Δt?-3]2-29-3?1-3?2 =3Δt-12, Δt
Δt 0

∴物体在 t=1 处的瞬时变化率为 lim →

Δs = lim (3Δt-12)=-12, Δt Δt→0

即物体在 t=1 时的瞬时速率为-12 m/s.

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