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三角函数图像与性质个性化辅导讲义

个性化辅导讲义
课 题

三角函数图像与性质
1、掌握正弦、余弦、正切函数图像的画法;把握图像的主要特征(顶点、 零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等) ; 2、熟练掌握“五点法”作图基本原理以及快速、准确地作图 3、会画函数 y ? A sin(?x ? ? ) 图像 4、了解周期函数和最小正周期的意义,会求形如 y ? A sin(?x ? ? ) 的函 数和可以转化此类函数的最小正周期

教学目标

1、对三角函数图像的主要特征的理解,会解决三角函数有关顶点、零点、 中心、对称轴、单调性、渐近线等问题 重点、难点 2、能利用三角恒等变换将三角形式函数转化为对形如 y ? A sin(?x ? ? ) 的函数,并能求出其最值,单调区间,最小正周期,对称轴,对称中心 形如 y ? A sin(?x ? ? ) 的函数在高考中为必考内容,选择题、填空题、 考点及考试要求 解答题均有可能涉及。出现在客观题中时,通常直接考查函数性质,若在 主观题中,则常与平面向量、解三角形等知识相结合,为小型综合题,一 般为于试卷解答题的前半部分(17 或 18 题) ,难度为中低档。

教学内容 知识框架
1.周期函数及最小正周期 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有_________,则 称 f(x)为周期函数,T 为它的一个周期.若在所有周期中,有一个最小的正数,则这个最小的正数叫 做 f(x)的最小正周期. 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

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函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象

定义域

x∈R

x∈R

π x∈R 且 x≠ + 2 kπ,k∈Z

奇偶性 对称 对 称 对称 性 轴



偶 π (kπ+ , 0), k∈Z 2

奇 kπ ( ,0),k∈Z 2

(kπ,0),k∈Z 中心 π x=kπ+ , 2

x=kπ,k∈Z k∈Z

无对称轴

最小正 2π 周期
值域 单调性 {y|-1≤y≤1} π π 在[- +2kπ, + 2 2 {y|-1≤y≤1} R



π

在[(2k-1)π,2kπ] π π 在(- +kπ, + 2 2 kπ)上递增,k∈ Z

2kπ]上递增,k∈ Z; 上递增,k∈Z; π 3π 在[ +2kπ, + 2 2 2kπ]上递减,k∈Z π x= +2kπ(k∈Z) 2 时,y max=1; 最值 π y=- +2kπ(k∈Z) 2 时,y min=-1 x=π+2kπ(k∈ Z) 时,y min=-1 在[2kπ,(2k+1)π] 上递减,k∈Z

x=2kπ(k∈Z)时, ymax=1; 无最值

2

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考点一:三角函数的定义域问题
典型例题
[例 1] 求下列函数的定义域:

(1)y=lg(2sinx-1)+ 1-2cosx; (2)y= 1 2+log x+ tanx. 2

知识概括、方法总结与易错点分析 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三 角不等式(组),通常可用三角函数的图象或三角函数线来求解,注意数形结合思想的应用.

针对性练习 (1)求函数 y= π 1- 2cos( -x)的定义域;(2)求函数 y= sinx+ 16-x2的定义域. 2

考点二:三角函数的值域与最值问题
典型例题 例、(1)求函数 y=acosx+b 的最大值和最小值; π π π (2)求函数 y=2sin(2x+ )(- <x< )的值域; 3 6 6 (3)求函数 y=2cos2x+5sinx-4 的值域. 知识概括、方法总结与易错点分析 求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法: (1)利用 sinx、cosx 的值域; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式逐步分析ω x+φ 的范围,根据正弦函数单调 性写出 y=Asin(ω x+φ )的值域; (3)换元法:把 sinx、cosx 看作一个整体,可化为二次函数. 提醒:换元后注意新元的范围. 针对性练习: π π π 已知函数 f(x)=2sin(2x+ ),求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 3 6 2

考点三:三角函数的奇偶性与周期性问题
典型例题: (1)若三角函数 y=1-(sinx+cosx)2,则该三角函数是最小正周期为________的________函数(第 二个空填“奇”或“偶”).

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π (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )满足 f(1)=0,则下列选项中正确的是( 2 A.f(x-1)一定是偶函 C.f(x+1)一定是偶函数 B.f(x-1)一定是奇函数 D.f(x+1)一定是奇 )

知识概括、方法总结与易错点分析 1.三角函数奇偶性的判断:① 首先看定义域是否关于原点对称;② 在满足① 的前提下看 f(-x)与 f(x) 的关系. 2.周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件: ① x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x); 当 ② 是不为零的最小正数. T 一般地,若 T 为 f(x)的周期,则 nT(n∈ Z)也为 f(x)的周期,即 f(x)=f(x+nT).特别注意:a.最小正周 期是指能使函数值重复出现的自变量 x 要加上的那个最小正数,这个正数是对 x 而言的.b.不是所 有的周期函数都有最小正周期.周期函数 f(x)=C(C 为常数)就没有最小正周期 针对性练习 1 (1)若函数 f(x)=sin2x- (x∈R),则 f(x)是( 2 )

π A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 π 的奇函数 2 C.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 (2)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期,若将方程 f(x)=0 在闭区间[-T,T]上的根的个数记为 n,则 n 可能为( A.0 B.1 C.3 D.5 )

考点四:三角函数的单调性问题
典型例题 π 已知函数 f(x)=log2[ 2sin(2x- )]. 3 (1)求函数的定义域;(2)求满足 f(x)=0 的 x 的取值范围; (3)求函数 f(x)的单调递减区间.

知识概括、方法总结与易错点分析 1.形如 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的函数的单调区间,基本思路是把ω x+φ 看作一个整 π π π 3π 体,由- +2kπ ≤ω x+φ ≤ +2kπ (k∈Z)求得函数的增区间,由 +2kπ ≤ω x+φ ≤ +2k 2 2 2 2 π (k∈Z)求得函数的减区间. 2.形如 y=Asin(-ω x+φ )(A>0,ω >0)的函数,可先利用诱导公式把 x 的系数变为正数,得 π π π 到 y=-Asin(ω x-φ ),由- +2kπ ≤ω x+φ ≤ +2kπ (k∈Z)得到函数的减区间,由 +2k 2 2 2
4

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3π π ≤ω x-φ ≤ +2kπ (k∈Z)得到函数的增区间. 2 注意:对于函数 y=Acos(ω x+φ ),y=Atan(ω x+φ )的单调区间的求法与 y=Asin(ω x+φ ) 的单调区间的求法相同.

针对性练习: π 1、求函数 y=2sin( -x)的单调增区间. 4 2、已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0,2?上的最大值和最小值; ? ? π π 6 (2)若 f(x0)= ,x0∈?4,2?,求 cos2x0 的值. ? ? 5

巩固作业
1、已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如下图所示,则 φ=________.

π 2.已知函数 f(x)=2sin x 的图象向左平移 1 个单位,然后向上平移 2 个单位后得到的图象与函 3 数 y=g(x)的图象关于 x=1 对称,则函数 g(x)=________. π π π 3.设函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(- , ))的最小正周期为 π,且其图象关于直线 x= 对称, 2 2 12 π π π 则下面四个结论:①图象关于点( ,0)对称; ②图象关于点( ,0)对称; ③在[0, ]上是增函数; 4 3 6 π ④在[- ,0]上是增函数.所有正确结论的编号为________. 6 π 4、已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π)在 x= 时取得最大值 4. 12 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; 2 π 12 (3)若 f?3α+12?= ,求 sinα. ? ? 5

5

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5、已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两 π 相邻对称轴间的距离为 . 2 π (1)求 f?8?的值; ? ? π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 6 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

π 1 6、设函数 f(x)= 3sinxcosx-cosxsin?2+x?- . ? ? 2 (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 2

7、已知向量 a=(2cosωx,1),b=(sinωx+cosωx,-1),ω∈R,ω>0,设函数 f(x)=a· b(x∈R), π 若 f(x)的最小正周期为 . 2 (1)求 ω 的值; (2)求 f(x)的单调区间.

8、已知函数 f(x)=cos2x+2tsinxcosx-sin2x, α 3 (1)当 t=1 时,若 f?2?= ,试求 sin2α 的值; ? ? 4 π π (2)若函数 f(x)在区间?12,6?上是增函数,求实数 t 的取值范围. ? ?

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