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山东省临沂市2011届高三第一次教学质量检测考试(数学理)


山东省临沂市 2011 年高三教学质量检测考试

数学试题(理科)
本试卷分为选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 2.非选择题必须用 0.5 毫米的黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知 M ? { x || x ? 3 |? 4} , N ? x{ A. ? B.{0}
x ?1 x?2 ? 0, x ? Z } , 则 M ? N =





C.{2}

D. { x | 2 ? x ? 7}

2.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 则表示复 数
z 1? i

的点是(



A.E B.F C.G D.H 3.某空间几何体的三视图如图,则该几何体 的体积是 ( ) A.3 B.2 C.
3 2

D.1
3

4.已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 与曲线 y ? x 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 A.
1 3

a b

为(



B.

2 3

C. ?

2 3

D. ?

1 3

5. 在样本的频率分布直方图中, 一共有 n 个小矩形, 若中间一个小矩形的面积等于其余 (n-1) 个小矩形面 积之和的 A.32
?

1 5

,且样本容量为 240,则中间一组的频数是 C.40
1 x ) 的展开式的常数项是
n





B.30
2 0

D.60 ( D.1 )

6.设 n ?

?

4 sin xdx , 则二项式 ( x ?

A.12

B.6

C.4

7.一个盒子中装有 4 张卡片,上面分别写着如下四个定义域为 R 的函数:
f 1 ( x ) ? x , f 2 ( x ) ? | x |, f 3 ( x ) ? sin x , f
3 4

( x ) ? cos x 现从盒子中任取 2 张卡片,将卡片

上的函数相乘得到一个新函数,所得函数为奇函数的概率是 A.
1 6

( D.
5 6



B.

1 3

C.

2 3

8 .已知三条不重合的直线 m、n、l 两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题 ①若 l / / ? , m / / ? , 且 ? / / ? , 则 l / / m ②若 l ? ? , m ? ? ,且 l / /m,则 ? / /?

③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? , 则 ? / / ? ④若 ? ? ? , ? ? ? ? m , n ? ? , n ? m , 则 n ? ? 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 9.已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列不等式中,正确的是 A. log 2 a ? 0 B. 2
a?b

( D. 1 (

) )

?

1 2

a

?

b a

C. 2

b

?

1 2

D. lo g 2 a ? lo g 2 b ? ? 2

10.设函数 f ( x ) ? ?

? lo g 1 x , x ? 0 ?
2

若 f ( m ) ? f ( ? m ) ,则实数 m 的取值范围是 (



? lo g 2 ( ? x ), x ? 0 ?

A. ( ? 1, 0) ? (1, 0) C. ( ? 1, 0) ? (1, ? ? ) D. { ? ? , ? 1} ? {0,1}
x
2

B. { ? ? , ? 1} ? {1, ? ? }

11. P 是椭圆 设

?

y

2

? 1 上一点, N 分别是两圆: x ? 4 ) ? y ( M、
2

2

? 1 和 ( x ? 4) ? y ? 1
2 3

25

8

上的点,则 | P M | ? | P N | 的最小值、最大值的分别为 A.9,12 B.8,11 C.8,12 D .10,12





12.设函数 f ( x ) 在 R 上满足 f (2 ? x ) ? f (2 ? x ), f (7 ? x ) ? f (7 ? x ) ,且在闭区间[0,7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 ,则方程 f ( x ) ? 0 在闭区间[—2011,2011]上的根的个数为 ( A.802 B .803 C.804 D.805 )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在答题纸给定的横线上。

13.双曲线的渐近线方程为 y ? ? 离心率是 。

3 4

x ,则双曲线的

14.某算法的程序框图如右图所示,若输出结果为 则输入的实数 x 的值是 。

1 2



? y ? x, ? 2 2 15.若 不等式组 ? y ? ? x , 表示的平面区域 M , x ? y ? 1 所表示的平面的区域为 N, ?2x ? y ? 4 ? 0 ?

现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为 16.给出以下四个命题,所有真 命题的序号为 。 ①从总体中抽取的样本 ( x1 , y 2 ), ( x 2 , y 2 ), ? , ( x n , y n ), 若 记 x ?
1 n



?

n

xi , y ?

1 n

i ?1

?

n

y i ,则

i ?1

回归直线 y = b x ? a 必过点( x , y ) ②将函数 y ? co s 2 x 的图象向右平移
?
3

个单位,得到函数 y ? sin ( 2 x ?

?
6

) 的图象;

③已知数列 { a n } ,那么“对任意的 n ? N * ,点 Pn ( n, a a) 都在直线 y ? 2 x ? 1 上”是{ a n } 为等差数列的“充分不必要条件” ④命题“若 { x } ? 2 ,则 x ? 2 或 x ? ? 2 ”的否命题是“若 { x } ? 2, 则 ? 2 ? x ? 2 ” 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在
? A B C中, a , b, c

分 别 为 内 角

A 、 B 、 C

的 对 边 , 且

2 a sin A ? (2 b ? c ) sin B ? (2 c ? b ) sin C .

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 18. (本小题满分 12 分) 已 知
{a n } 3 ,试判断 ? A B C 的形状。


?1 ? a2 ?












1 a4















a1 ?

? 1 a2 2 ? ? ? a1 ?

, ? a3 ?

? 1 ? ?a 4 3 ? 2 ? a3 ? ?

.

(Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? a n ? lo g 2 a n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .
2

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱柱 ABCD—A1B 1C1D1 中,侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD,

D1A=D1D= 2 ,底面 ABCD 为直角 梯形, 其中 BC//AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2, O 为 AD 中点。 (Ⅰ)求证:A1O//平面 AB1C ; (Ⅱ)求锐二面角 A—C1D1—C 的余弦值。

20. (本小题满分 12 分)投掷四枚不同的金属硬币 A、B、C、D,假定 A、B 两枚正面向上的 概率均为
1 2

,另两枚 C、D 为非均匀硬币,正面向上的概率均为 a(0<a<1) ,把 这四枚硬

币各投掷一次,设 ? 表示正面向上的枚数。 (1)若 A、B 出现一正一反与 C、D 出现两正的概率相等,求 a 的值; (2)求 ? 的分布列及数学期望(用 a 表示) ; (3)若出现 2 枚硬币正面向上的概率最大,试求 a 的取值范围。 21. (本小题满分 12 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去 它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)设 n 是过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于点 P,与曲线 C 相交于 A、B 两点的直线, 且 | O P |? 1 问: 是否存在上述直线 l 使 A P ? P B ? 1 成立?若存在, 求出直线 l 的方程, 若不存在,请说明理由。 22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? ( x ? a x ? a ) e
2 ?x

??? ?

??? ??? ? ?

, 其 中 x ? R , a 是实常数,e 是自然对数的底数。

(1)确定 a 的值,使 f ( x ) 的极小值为 0; (2)证明:当且仅当 a ? 5 时, f ( x ) 的极大值为 5;
?x (3)讨论关于 x 的方程 f ( x ) ? f ? ( x ) ? 2 xe ?

1 x

( x ? 0 ) 的实数根的个数。


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