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高中圆(2)直线与圆,圆与圆的位置关系


三.直线与圆的位置关系
知识要点: 1. 直线与圆的位置关系及其判定: 方法一:方程组思想,由直线与圆的方程组成的方 程组,消去 x 或(y) ,化为一元二次方 程,由判别式符号进行判别; | Aa ? Bb ? C | 方法二:利用圆心( a , b )到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? ,比较 d 与 A2 ? B 2 r 的大小. ( 1 ) 相 交 ? d ? r ? ? ? 0 ;( 2 ) 相 切 ? d ? r ? ? ? 0 ;( 3 ) 相 离 ? d ?r ? ? ?0. 例题精讲: 【例 1】若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为 . 解:a=-1. 【例 2】求直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 被圆 C : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长. 解: 2 r 2 ? d 2 ? 2 32 ? (
4 5 2 2 145 . ) ? 5 5

【例 3】若经过点 P(?1 , 0) 的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则此直线在 y 轴 上的截距是 . 解:直线方程为 y ? x ? 1 ,在 y 轴上的截距是 1. 【例 4】设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,且与直线 xy+1=0 相交的弦长为 2 2 ,求圆的方程. 解:所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244. 基础达标 1.直线 4x-3y-2=0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 11 ? 0 的位置关系是( ). A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对 x y 2.若直线 ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1 有公共点,则( ). a b 1 1 1 1 A. a 2 ? b2 ≤1 B. a 2 ? b2 ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 D. 2 ? 2 ≥1 a b a b 3.平行于直线 2x-y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( ). A.2x-y+5=0 B.2x-y-5=0 C.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 D.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 2 2 4.直线 x=2 被圆 ( x ? a) ? y ? 4 所截弦长等于 2 3 , 则 a 的值为( ). A. -1 或-3
2 2

B. 2 或 ? 2

C. 1 或 3

D.

3

5.圆 x ? y ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( ). A. x ? 3 y ? 2 ? 0 B. x ? 3 y ? 4 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0 能力提高 6.求直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角. D. x ? 3 y ? 2 ? 0

3 7.一直线过点 P(?3, ? ) ,被圆 x2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程. 2 解:

1

四.圆与圆的位置关系
知识要点: 两圆的位置关系及其判定: 设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径分别为 r1 , r2 , 则: (1)两圆相交 ?| r1 ? r2 |?| O1O2 |? r1 ? r2 ; (2)两圆外切 ?| O1O2 |? r1 ? r2 ; (3)两圆内切 ?| O1O2 |?| r1 ? r2 | ; 例题精讲: 【例 1】已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 6x ? 6 ? 0 ①,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4 y ? 6 ? 0 ② (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程. 解: 【例 2】已知圆 C 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? ?x 对称,则圆 C 的方程为 A. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 B. x2 ? y2 ? 1 C. x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 D. x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 解:

【例 3】求圆 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 12 ? 0 的公共弦的长. 解: 【例 4】求经过两圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? 0 和 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点,并且圆心 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程. 解:

基础达标 1.圆 C1 : ( x ? m)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 与圆 C2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? m)2 ? 4 外切,则 m 的值为 A. 2 B. -5 C. 2 或-5 D. 不确定 2.圆 x2+y2-2x=0 和 x2+y2+4y=0 的位置关系是( ). A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 2 2 2 2 3 两个圆 C1 : x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 与 C2 : x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2 2 2 x ? y ? 1 ? 0 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 4.求与圆 同心,且与直线 相切的圆的方程是
( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5

5.圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公共弦所在直线方程为( ). A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 0 2 2 2 2 6.两圆:x + y + 6 x + 4y = 0 及 x +y + 4x + 2y – 4 =0 的公共弦所在直线方程 为 x+y+2=0 能力提高 7.若圆 x2 ? y 2 ? 8 和圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 2 2 8.求圆 x ? y ? 4x ? 12 y ? 39 ? 0 关于直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的对称圆方程. 所求圆的方程为 ( x ?
32 2 26 ) ? ( y ? )2 ? 1 . 5 5
2


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