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2015年北京市朝阳区和西城区高三二模数学理试题及答案(word版)_图文

北京市朝阳区理科数学 2015 学年度第二学期高三综合练习 2015.5 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项) 1.已知集合 ,集合 B. C. ). ,则 =( ). D.

2.执行如图所示的程序框图,则输出的 n 的值是(

A.7

B.10

C.66 ,“复数

D.166 是纯虚数”是“ ”的( ).

3.设 为虚数单位, A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 , 则 =

4. B, C, 已知平面上三点 A, 满足 ( ). A.48 5.已知函数 的最小值是( A.2 B.4 ). C. D.2

B.-48

C.100

D.-100 ,则

,若对任意的实数 x,总有

1

6.已知双曲线

与抛物线

有一个公共的焦点 F,且两曲线的一

个交点为 P.若

,则双曲线的渐近线方程为(

).

7.已知函数 立,则实数 m 的取值范围是(

,若对任意 ).

,都有



8.如图,将一张边长为 1 的正方形纸 ABCD 折叠,使得点 B 始终落在边 AD 上,则折起部分面 积的最小值为( ).

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本小题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 展开式中含 项的系数是__________.

10.已知圆 C 的圆心在直线 x-y=0 上,且圆 C 与两条直线 x+y=0 和 x+y-12=0 都相切,则圆 C 的标准方程是__________. 11.如图,已知圆 B 的半径为 5,直线 AMN 与直线 ADC 为圆 B 的两条割线,且割线 AMN 过圆 心 B.若 AM=2, ,则 AD=__________.

12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为__________.

2

13. 已知点 的通项公式为__________;设 O 为坐标原点,点

在函数

的图像上, 则数列 ,则 ,

中,面积的最大值是__________. 14.设集合 __________;集合 A 中满足条件“ ,集合 A 中所有元素的个数为 ”的元素个数为__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题共 13 分) 在梯形 ABCD 中, (Ⅰ )求 AC 的长; (Ⅱ )求梯形 ABCD 的高.

3

16.(本小题共 13 分) 某学科测试中要求考生从 A,B,C 三道题中任选一题作答,考试结束后,统计数据显示共 有 600 名学生参加测试,选择 A,B,C 三题答卷数如下表:

(Ⅰ )某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从 600 份答案中抽出若干 份答卷,其中从选择 A 题作答的答卷中抽出了 3 份,则应分别从选择 B,C 题作答的答 卷中各抽出多少份? (Ⅱ )若在(Ⅰ )问中被抽出的答卷中,A,B,C 三题答卷得优的份数都是 2,从被抽出的 A, B,C 三题答卷中再各抽出 1 份,求这 3 份答卷中恰有 1 份得优的概率; (Ⅲ )测试后的统计数据显示,B 题的答卷得优的有 100 份,若以频率作为概率,在(Ⅰ )问 中被抽出的选择 B 题作答的答卷中, 记其中得优的份数为 X, 求 X 的分布列及其数学期 望 EX.

4

17.(本小题共 14 分) 如图, 在直角梯形 ABCD 中, . 直角梯形 ABEF

可以通过直角梯形 ABCD 以直线 AB 为轴旋转得到,且平面 平面 ABCD. (Ⅰ )求证: ; (Ⅱ )求直线 BD 和平面 BCE 所成角的正弦值; M, N 分别为线段 FD, AD 上的点 (Ⅲ ) 设 H 为 BD 的中点, (都不与点 D 重合) . 若直线 平面 MNH,求 MH 的长.

18.(本小题共 13 分) 已知点 M 为椭圆 B 是椭圆 C 上不同的两点 的右顶点, 点 A, (均异于点 M) ,

且满足直线 MA 与直线 MB 斜率之积为

1 . 4

(Ⅰ )求椭圆 C 的离心率及焦点坐标; (Ⅱ )试判断直线 AB 是否过定点:若是,求出定点坐标;若否,说明理由.

5

19.(本小题共 14 分) 已知函数 (Ⅰ )当 时,求函数 . 的单调区间; 成立,求 的取值范围; , ,求证: .

(Ⅱ )若在区间(1,2)上存在不相等的实数 (Ⅲ )若函数 有两个不同的极值点

20.(本小题共 13 分) 已知数列, 对每个 (Ⅰ )写出满足 (Ⅱ )写出一个满足 (Ⅲ )在 H 数列 求证: 中,记 或 . 都有 的所有 H 数列 ; 的 数列 的通项公式; 是公差为 d 的等差数列, 是正整数 1,2,3, 或 3,则称 为 H 数列. ,n 的一个全排列.若

.若数列

6

参考答案及评分标准 高三数学(理科) 一、选择题: (1) 题号 A 二、填空题: 题号 (9) 答案 三、解答题: 15.(本小题共 13 分) 解 : ( Ⅰ) 在 中,因为 ,所以 .由正弦定理得: 答案

(2) B (10)

(3) B

(4) C

(5) A

(6) C (13)

(7) D

(8) B (14)

(11)

(12)

,即



(Ⅱ )在 整理得 过点 因为 在直角 即梯形 作

中,由余弦定理得: ,解得 于 , 中, 的高为 . ,则 为梯形 ,所以

, (舍负). 的高. . .

16.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ )由题意可得: 题 答卷数 抽出的答卷数 A 180 B 300 C 230

3 5 2 应分别从 题的答卷中抽出 份, 份. (Ⅱ )记事件 :被抽出的 三种答卷中分别再任取出 份,这 份答卷中恰有 份得优, 可知只能 题答案为优,依题意 . 题的答案中得优的份数 的可

(Ⅲ )由题意可知, 能取值为

题答案得优的概率为 ,显然被抽出的 ,且 .





7





; 随机变量 的分布列为:



所以 17.(本小题共 14 分) 证明:(Ⅰ )由已知得 . 因为平面 且平面 , 平面 平面 , , .



所以 平面 , 由于 平面 ,所以 (Ⅱ )由(1)知 平面 所以 , . 由已知 , 所以 两两垂直. 以

为原点建立空间直角坐标系(如图).

因为 则 所以 , ,

, , , , ,

8

设平面

的一个法向量



所以

,即



令 设直线 因为

,则 与平面 ,

. 所成角为 ,

所以



所以直线 (Ⅲ )在

和平面

所成角的正弦值为 中, ,



为原点的空间直角坐标系 , , , . ,则 ,





设 即

, . .

若 即

平面 .

,则

.解得 则 18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ )椭圆 的方程可化为 ,

. .

,则 ,

, .





故离心率为 (Ⅱ )由题意,直线 则

,焦点坐标为

的斜率存在,可设直线 , .

的方程为







9







判别式 所以 因为直线 所以 所以 化简得 所以 化简得 当 时,直线 ,即 方程为 或 . ,过定点 . ,过定点 与直线 , . , , , 的斜率之积为 , ,





代入判别式大于零中,解得 当 故直线 时,直线 过定点 的方程为 .

,不符合题意.

19.(本小题共 14 分) 解:(Ⅰ )当 由 当 当 当 所以 时, ,解得 时, 时, 时, 的单调增区间为 . 在 上不为单调函数的 的取值范 , , , , , . 单调递增; 单调递减; 单调递增. , .

单调减区间为

( Ⅱ) 依 题 意 即 求 使 函 数

10

围. 因为 在

,设 上为增函数.

,则







,即当

时,函数



上有且只有一个零点,设为



当 当 当 时,

时, 时, , 上

,即 ,即

, , ,所以在 成立,即

为减函数; 为增函数,满足在 上 在 成立(因 上不为单调函数. 在 上为增

函数),所以在 同理 综上 (Ⅲ ) 因为函数 判别式 由 此时 随着 变化, 时,可判断 .

上为增函数,不合题意.



为减函数,不合题意.

. 有两个不同的零点,即 ,解得 ,解得 , 和 . 的变化情况如下: . , . 有两个不同的零点,即方程 的

+ 极大值 极小值

+

所以 值所以



的极大值点, 是

的极小值点,所以

是极大值,

是极小

11

因为 所以

,所以 .



20.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ )满足条件的数列有两个: (Ⅱ )由(1)知数列 为 ,所得数列 满足 显然满足 .其中 的 数列 , 为:

. ,把各项分别加 后,所得各数依次排在后,因 或 , ,即得 数列

.如此下去即可得到一个满足

(其中



(写出此通项也可以

(其中

))

(Ⅲ )由题意知

, 有解:

,且









,则

,这与

是矛盾的. ② ③ ④ 若 若 时,与① 类似可得不成立. 时, 时, 或 或 ,则 ,则 或 . ,则 不可能成立.

,类似于③ 可知不成立.

12

④ 若 若 ⑤ 若 若

时, 同号,则 或 时, 异号,则 同号,则 ,不行; ,同样由前面的讨论可知与 矛盾. ,由上面的讨论可知不可能; ,则 或 ;

综上, 只能为 或 ,且(2)中的数列是 过来就是 ,所以 为 或 .

的情形,将(2)中的数列倒

北京市西城区2015 年高三二模试卷

数学(理科)

2015.5

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1 至2 页,第Ⅱ卷3 至6 页,共150 分.考试时 长120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题纸一并交回. 1.设集合 A. (-1? 3) B. (1? 3] 2.已知平面向量 实数k =( ) A.4 3.设命题 p :函数 下列命题中真命题是( ) ,集合 ,则 A B =( )

C. [1? 3) D. (-1? 3] ,则

B.-4

C.8

D.-8 为奇函数.则

在R上为增函数;命题q:函数

4.执行如图所示的程序框图,若输入的

,则输出的s属于( )

13

A.

{1? 2}

B.{1? 3}

C.{2 ? 3}

D.{1? 3? 9}

5.某生产厂商更新设备,已知在未来x 年内,此设备所花费的各种费用总和y(万元)与x 满足函数关系 ( ) A.3 6.数列 A. ,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限x为

B.4

C.5

D.6 ,则数列 D.84 前21 项的和等于( )

为等差数列,满足 B.21 C.42

7.若“ x >1 ”是“不等式 A.a >3 8.在长方体 B.a < 3

成立”的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是( ) C.a > 4 D.a < 4 ,点M 为AB1 的中点,点P 为对

角线AC1上的动点,点Q为底面ABCD上的动点(点P ,Q可以重合) ,则MP+PQ 的最 小值为( )

第Ⅱ卷(非选择题 共110 分)
二、填空题:本小题共6 小题,每小题5 分,共30 分.

14

9.复数

=____

10.双曲线C :

的离心率为

;渐近线的方程为 ;cos 2 ? =



11.已知角 ? 的终边经过点(-3,4) ,则cos ? = 12.如图,P 为



O 外一点,PA是切线, A为切点,割线PBC 与

O 相交于点B 、C ,

且 PC = 2PA , D 为线段 PC 的中点, AD 的延长线交 PA = ;AD·DE = .

O 于点 E .若PB =

3 4

,则

13.现有6 人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有 种. (用数字作答) 14.如图,正方形ABCD 的边长为2, O 为AD 的中点,射线OP 从OA 出发,绕着点O 顺 时针方向旋转至OD,在旋转的过程中,记 形 ABCD内的区域(阴影部分)的面积S = f ,OP 所经过的在正方 ,那么对于函数f (x)有以下三个结论: (x)





②任意

,都有

③任意 其中所有正确结论的序号是 .

15

三、解答题:本大题共6 小题,共80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分13 分) 在锐角△ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为a,b ,c ,已知a = 7 ,b =3, . (Ⅰ) 求角A 的大小; (Ⅱ) 求△ABC 的面积. 16. (本小题满分13 分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量(单位:台) ,并根据这 10 个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场”. (Ⅰ)当a = b = 3时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ,乙型号电视机的“星级 卖场”数量为n ,比较m , n 的大小关系; (Ⅱ)在这10 个卖场中,随机选取2 个卖场,记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场” 的个数,求X 的分布列和数学期望. (Ⅲ)若a =1,记乙型号电视机销售量的方差为s2,根据茎叶图推断b为何值时,s2达 到最小值. (只需写出结论) 17. (本小题满分14 分) 如图 1,在边长为4 的菱形ABCD中, 折起到 ⑴ 求证: ⑵ 求二面角 的位置,使 平面BCDE ; 的余弦值; ,如图 2. 于点E ,将△ADE沿DE

⑶ 判断在线段EB上是否存在一点P ,使平面 值;若不存在,说明理由.

?若存在,求出



16

18. (本小题满分13 分) 已知函数 ,其中a ? R .

⑴ 当

时,求 f (x)的单调区间;

⑵ 当a> 0时,证明:存在实数m > 0,使得对于任意的实数x,都有| f (x)|≤m成立. 19. (本小题满分14 分) 设 分别为椭圆E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的左顶点, a 2 b2

点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB|=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为 ,求椭圆E 的方程;

⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线 直径的圆经过点F1,证明:

与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

20. (本小题满分13 分) 无穷数列 P : ,满足 ,其中 (Ⅰ) 若数列P :1? 3? 4 ? 7 ? …,写出 (Ⅱ)若 (Ⅲ)已知 =46,求 ,求数列P 前n项的和; 的值. 表示集合 ; ,对于数列P ,记 中最小的数.

17

18

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