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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)备选练习:2.3.2离散型随机变量的方差]


选修 2-3

第二章

2.3

2.3.2
)

45 1.设随机变量 X~B(n,p),X 的均值与方差分别是 15 和 ,则 n、p 的值分别是( 4 1 A.50, 4 3 C.50, 4 [答案] B 1 np=15 ? ? ? ?p=4 [解析] 由? . 45 得? np?1-p?= ? ? 4 ? ?n=60 1 B.60, 4 3 D.60, 4

2.样本中共有五个个体,其值分别为 a、0、1、2、3.若该样本的平均值为 1,则样本 方差为( A. C. 2 [答案] D a+0+1+2+3 [解析] ∵ =1,∴a=-1, 5 1 故 s2= [(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2. 5 3.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2、3、3、7、a、b、12、13.7、18.3、20, 且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是________. [答案] 10.5、10.5 a+b [解析] 由题意得 =10.5,∴a+b=21, 2 x= 2+3+3+7+21+13.7+18.3+20+12 =10, 10 1 [(10-2)2+(10-3)2+(10-3)2+(10-7)2+(10-a)2+(10-b)2+(10-12)2+(10 10 ) 6 5 6 B. 5 D.2

∴s2=

-13.7)2+(10-18.3)2+(10-20)2] = = = 1 2 [8 +72+72+32+(10-a)2+(10-b)2+4+3.72+8.32+102] 10 1 [(10-a)2+(10-21+a)2+…] 10 1 [2(a-10.5)2+…] 10

当 a=10.5 时,方差 s 最小,b=10.5. 4.有一批零件共 10 个合格品、2 个不合格品.安装机器时从这批零件中任选 1 个,取

到合格品才能安装;若取出的是不合格品,则不再放回. (1)求最多取 2 次零件就能安装的概率; (2)求在取得合格品前已经取出的次品数 X 的分布列,并求出 X 的均值 E(X)和方差 D(X)(方差计算结果保留两个有效数字). 10 5 [解析] (1)设安装时所取零件的次数是 η,则 P(η=1)= = ,这是取 1 次零件就取到 12 6 了合格品,可以安装; 2 10 5 P(η=2)= × = ,这是第 1 次取到不合格品,第 2 次取到了合格品. 12 11 33 ∴最多取 2 次零件就能安装的概率为 5 5 65 + = . 6 33 66 (2)依题意 X 的所有可能取值为 0、1、2, 5 P(X=0)=P(η=1)= , 6 5 P(X=1)=P(η=2)= , 33 5 5 1 P(X=2)=1- - = . 6 33 66 故 X 的分布列是 X P 0 5 6 1 5 33 2 1 66

5 5 1 2 于是 E(X)=0× +1× +2× = , 6 33 66 11 2 ?2 5 ? 9 ?2 1 ?20?2 5 D(X)= ×? 11 ? ? +33×?11? +66×?11? ≈0.18. 6 2 所以 X 的期望值和方差值分别是 和 0.18. 11 5.设在 15 个同类型的零件中有 2 个是次品,每次任取 1 个,取出后不再放回,共取 3 次.若以 X 表示取出次品的个数,求 X 的均值和方差. [分析] 首先求出各种情况的概率,写出概率分布,注意零件取后不放回.
2 C3 22 C1 13 2C13 12 [解析] P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C15 35 C15 35 1 C2 1 2C13 P(X=2)= 3 = , C15 35

故 X 的分布列为: X 0 1 2

P

22 35

12 35

1 35

22 12 1 2 则 E(X)=0× +1× +2× = , 35 35 35 5 2?2 22 ? 2?2 12 ? 2?2 1 52 D(X)=? ?0-5? ×35+?1-5? ×35+?2-5? ×35=175. 6. 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝 10 元的价格出 售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学 期望及方差; (ⅱ)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明 理由. [解析] (1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80, 所以 y 关于 n 的函数解析式为
? ?10n-80, n<16, y=? (n∈N). ?80, n≥16, ?

(2)(ⅰ)X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

X 的数学期望为 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差为 D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. (ⅱ)答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y 的方差为 D(Y) = (55 - 76.4)2×0.1 + (65 - 76.4)2×0.2 + (75 - 76.4)2×0.16 + (85 - 76.4)2×0.54 = 112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小.另 外,虽然 E(X)<E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54


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