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江苏省如皋中学2011届高三数学4月考试卷数学


江苏省如皋中学 2011 届高三数学 4 月考试卷数学
小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 填空题 本大题共 1.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编号依次为 01 到 50 的袋装奶粉中抽取 5 袋进行检验, 现将 50 袋奶粉按编号顺序平均分成 5 组,用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 袋奶粉 的编号,若第 4 组抽出的号码为 36,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 ▲ . 2.若复数 z = 1 ? mi ( i 为虚数单位, m ∈ R ),若 z = ?2i ,则复数 z 的虚部为
2



. ▲ .

3.若函数 f ( x ) =

2 sin(ωx + ?)(ω > 0) 的图象的相邻两条对称轴的距离是 π ,则 ω 的值为
x ,则此双曲线的标准方程为 2

4.若双曲线焦点为( 5 ,0),渐近线方程为 y = ±



. .

→ → → → 5.已知向量a = (sin 55°,sin 35°),b = (sin 25°,sin 65°),则向量 a 与 b 的夹角为 ▲

6. 已知 a, c 是锐角△ABC 中∠A, b, ∠B, ∠C 的对边, a = 3, = 4, 若 b △ABC 的面积为 3 3, c = 则 ▲ . 7.作为对数运算法则: lg( a + b ) = lg a + lg b ( a > 0, b > 0) 是不正确的.但对一些特殊值是成立的,例如:

lg(2 + 2) = lg 2 + lg 2 . 则对于所有使 lg( a + b ) = lg a + lg b ( a > 0 , b > 0 )成立的 a, b 应满足函数 a = f (b) 表达式为 ▲ .
8.两游客坐火车旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗, 位的排法如图,则下列座位号码中符合要求的有 ①48,49 ②54,55 ③62,63 ④75,76 ⑤84,85 ⑥96,97 x+1 9.已知关于 x 的不等式 x + a < 2 的解集为 P,若 1?P,则实 为 ▲ .
1 窗 6 2 3 4 9 5 10 窗 7 过 8

已知火车上的座 ▲ .

口 11 12 道 13 14 15 口

16 17

… … … 数 a 的取值范围

10.已知集合 ? =

{( x, y ) | x


2

+ y 2 ≤ 2009} ,若点 P ( x, y ) 、点 P ′( x ′, y ′) 满足 x ≤ x ′ 且

y ≥ y ′ ,则称点 P 优于 P ′ . 如果集合 ? 中的点 Q 满足:不存在 ? 中的其它点优于 Q ,则所有这样的点 Q 构
成的集合为 .
x y

11.若实数 x 、 y 满足 4 x + 4 y = 2 x +1 + 2 y +1 ,则 S = 2 + 2 的取值范围是



.

12.已知集合 P ={ x | x = 2n,n∈N},Q ={ x | x = 2n,n∈N},将集合 P∪Q 中的所有元素从小到大依次排列,构成 一个数列{a n },则数列{a n }的 前 20 项 之 和 S 2 0 = ▲ .

a a ?a a ? 13.记集合 T = {0,1, 2,3, 4,5, 6} , M = ? 1 + 2 + 3 + 4 ai ∈ T , i = 1, 2,3, 4 ? ,将 M 中的元素按从大到小的顺序 2 3 7 7 7 74 ? ?
排列,则第 2009 个数是 ▲ .

14.已知抛物线 y = g ( x ) 经过点 O (0 , 0 ) 、 A( m , 0 ) 与点 P ( m + 1, m + 1) ,其中 m > n > 0 ,

b < a ,设函数 f ( x) = ( x ? n) g ( x) 在 x = a 和 x = b 处取到极值,则 a , b , m , n 的大小关系为
解答应写出必要的文字说明步骤. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明步骤. 解答题 本大题共 小题, (1)若等边三角形边长为 6,且 λ =



.

15. 本小题共 14 分)已知在等边三角形 ABC 中,点 P 为线段 AB 上一点,且 AP = λ AB(0 ≤ λ ≤ 1) . (本

uuu r

uuu r

1 ,求 CP ; 3

uuu uuu uuu uuu r r r r (2)若 CP ? AB ≥ PA ? PB ,求实数 λ 的取值范围.

16. 本小题共 14 分) (本 如 图 所 示 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , B1 C1

AB = BB1 ,

AC1 ⊥ 平面 A1 BD, D 为 AC 的中点. (1)求证: B1C // 平面 A1BD ; (2)求证: B1C1 ⊥ 平面 ABB1 A1 ; (3)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置使平面 A1BD ⊥ 平面 BDE ,并说明理由.

A1

B D A

C

x2 y2 17. 本小题共 14 分)椭圆 C : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的一个焦点 F1 ( ?2,0) ,右准线方程 x = 8 . (本 a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 M 为右准线上一点, A 为椭圆 C 的左顶点,连结 AM 交椭圆于点 P ,求

PM 的取值范围; AP

(3)设圆 Q:( x ? t ) 2 + y 2 = 1(t > 4) 与椭圆 C 有且只有一个公共点,过椭圆 C 上一点 B 作圆 Q 的切线 BS 、

uuu uuu r r BT ,切点为 S , T ,求 BS ? BT 的最大值.

18. 本小题共 16 分)在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有 2009 根.现将它们堆放在一起. (本 (1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少 根圆钢? (2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),且不少于七层, (Ⅰ)共有几种不同的方案?

(Ⅱ)已知每根圆钢的直径为 10cm ,为考虑安全隐患,堆放高度不得高于 4m ,则选择哪个方案,最能节省堆放 场地?

19. 本小题共 16 分)已知函数 f ( x ) = (本 (1)求实数 a 的取值范围;

1 2 x + ln x + (a ? 4) x 在 (1, +∞) 上是增函数. 2

(2)在(1)的结论下,设 g ( x) =| e ? a | +
x

a2 , x ∈ [0, ln 3] ,求函数 g ( x) 的最小值. 2

20. 本小题共 16 分) (本 已知数列 {an } , bn } 满足 a1 = 2 ,2an = 1 + an an +1 ,bn = an ? 1 数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn , {

Tn = S 2 n ? S n .
(1)求证:数列 ?

?1? ? 为等差数列,并求通项 bn ; ? bn ?
7 n + 11 . 12

(2)求证: Tn +1 > Tn ; (3)求证:当 n ≥ 2 时, S 2n ≥

数学附加题 21.为了保证信息安全传输,设计一种密码系统,其加密、解密原理如下图: 明文 X
加密

密文 Y

发送

密文 Y

解密

明文 X

? 1 4? 现在加密方式为:把发送的数字信息 X ,写为“ a11a21a12 a22 ”的形式,先左乘矩阵 A = ? ? ,再左乘矩阵 ? ?2 2 ?

?6 ?5 B=? ?14 ?5 ?

2? ? ? 5 ? ,得到密文 Y ,现在已知接收方得到的密文是 4,12,36,72 ,试破解该密码. 8? ? 5? ?

22.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为 (1, ?5) , 点 M 的极坐标为 (4,

π
2

) .若直线 l 过点 P,且倾斜角为

π
3

,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径.

(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

23.在 2009 年春运期间,一名大学生要从南京回到徐州老家有两种选择,即坐火车或汽车.已知该大学生先去买 火车票的概率是先去买汽车票概率的 3 倍,汽车票随时都能买到.若先去买火车票,则买到火车票的概率为 0.6,买不到火车票,再去买汽车票. (1)求这名大学生先去买火车票的概率; (2)若火车票的价格为 120 元,汽车票的价格为 280 元,设该大学生购买车票所花费钱数为 ξ ,求 ξ 的数学 期望值. 24.已知抛物线 y 2 = 2 3 x ,过其对称轴上一点 P (2 3, 0) 作一直线交抛物线于 A, B 两点,若 ∠OBA = 60° , 求 OB 的斜率.

答案 1、06 2、 ?1 3、1 5.30° 6. 13 7、 a =

b (b > 1) b ?1

8、 “经过椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 中心的任意弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任意一点 P 的连线的斜 a 2 b2

b2 率之积为定值 ? 2 ”.②⑤⑥ a
9.[?1,0] 10、答案:

{( x, y ) | x

2

+ y 2 = 2009, x ≤ 0且y ≥ 0}

提示: “不存在 ? 中的其它点优于 Q ” ,即“点 Q 的左上方不存在 ? 中的 提示 P 优于 P ′ ,即 P 位于 P ′ 的左上方, 点”.故满足条件的点集合为 11、答案: 2 < S ≤ 4 提示:设 2 = t1 , 2 = t2 (t1 > 0, t2 > 0) , 提示
x y

{( x, y ) | x

2

+ y 2 = 2009, x ≤ 0且y ≥ 0} .

则 t1 + t2 = 2t1 + 2t2 , (t1 + t2 ) ? 2t1t2 = 2(t1 + t2 ) ,
2 2 2

, ∴ (t1 + t2 ) ? 2(t1 + t2 ) = 2t1t2 > 0 ,得 t1 + t1 > 2 或 t1 + t2 < 0 (舍去)
2

?t +t ? 又 (t1 + t2 ) ? 2(t1 + t2 ) = 2t1t2 ≤ 2 ? 1 2 ? ,得 0 ≤ t1 + t2 ≤ 4 ,∴ 2 < t1 + t2 ≤ 4 . ? 2 ?
2 2

392 2401 a a 0 1 2 3 74 ?a a ? 提示: 提示 M = ? 1 + 2 + 3 + 4 ai ∈ T , i = 1, 2,3, 4 ? 中的元素为 4 , 4 , 4 , 4 , ???, 4 ,故从大到小排列第 2009 2 7 7 7 7 7 73 7 4 ?7 7 ? 392 个数是 . 2401 14、答案: b < n < a < m
12. 343 13、答案: 提示:由抛物线经过点 O (0 , 0 ) 、 A( m , 0 ) 设抛物线方程 y = kx( x ? m) , k ≠ 0 , 提示 又抛物线过点 P ( m + 1, m + 1) ,则 m + 1 = k ( m + 1)( m + 1 ? m) ,得 k = 1 , 则 y = g ( x ) = x ( x ? m) = x 2 ? mx , ∴ f ( x ) = ( x ? n) g ( x) = x ( x ? m)( x ? n) = x ? ( m + n) x + mnx ,
3 2

∴ f / ( x ) = 3 x 2 ? 2( m + n) x + mn ,又函数 f ( x ) 在 x = a 和 x = b 处取到极值, 故 f / ( a ) = 0 , f / (b) = 0 ,Q m > n > 0 , ∴ f / ( m) = 3m 2 ? 2( m + n) m + mn = m 2 ? mn = m( m ? n) > 0 ,

f / (n) = 3n 2 ? 2(m + n)n + mn = n 2 ? mn = n(n ? m) < 0 ,
又 b < a ,故 b < n < a < m . uuu 1 uuu r r 1 15、解: (1)当 λ = 时, AP = AB , 3 3

uuu 2 uuu uuu r r r uuu 2 r uuu uuu uuu 2 r r r 1 CP = (CA + AP ) 2 = CA + 2CA ? AP + AP = 62 ? 2 × 6 × 2 × + 22 = 28 . 2 uuu r ∴ | CP |= 2 7 ……………………………………………………………………7 分
(2)设等边三角形的边长为 a ,则

uuu uuu r r uuu uuu uuu r r r uuu r uuu uuu r r 1 CP ? AB = (CA + AP ) ? AB = (CA + λ AB ) ? AB = ? a 2 + λa 2 , 2 uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r uuu uuu r r uuu r PA ? PB = PA ? ( AB ? AP ) = λ AB ? ( AB ? λ AB ) = ?λa 2 + λ 2 a 2 …………………12 分
即?

1 2 1 2? 2 2+ 2 a + λa 2 ≥ ?λa 2 + λ 2 a 2 ,∴ λ 2 ? 2λ + ≤ 0 ,∴ ≤λ≤ . 2 2 2 2

又 0 ≤ λ ≤ 0 ,∴

2? 2 ≤ λ ≤ 1 . ……………………………………………………14 分 2

则 连结 MD , D 为 AC 的中点, B1C // MD , 又 ∴ 16、 (1) 解: 证明: 连接 AB1 与 A1 B 相交于 M , M 为 A1 B 的中点, 又 B1C ? 平面 A1BD ,∴ B1C // 平面 A1BD .…………4 分

(2) AB = B1 B , ∵ ∴四边形 ABB1 A1 为正方形, A1 B ⊥ AB1 , ∴ 又∵ AC1 ⊥ 面 A1 BD , AC1 ⊥ A1 B , A1 B ⊥ ∴ ∴ 面 AB1C1 ,∴ A1 B ⊥ B1C1 , 又在直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 BB1 ⊥ B1C1 ,∴ B1C1 ⊥ 平面 ABB1 A .………………8 分 (3)当点 E 为 C1C 的中点时,平面 A1 BD ⊥ 平面 BDE ,

Q D 、 E 分别为 AC 、 C1C 的中点,∴ DE // AC1 ,Q AC1 平面 A1 BD ,
∴ DE ⊥ 平面 A1BD ,又 DE ? 平面 BDE ,∴平面 A1 BD ⊥ 平面 BDE .…………14 分 17、解: (1)由题意得, c = 2 ,

a2 = 8 得, a 2 = 16 , b 2 = 12 , c

∴所求椭圆方程为

x2 y2 + = 1 .………………………………………………………4 分 16 12

(2)设 P 点横坐标为 x 0 ,则

PM 8 ? x0 12 = = ?1, AP x0 + 4 x0 + 4

∵ ? 4 < x 0 ≤ 4 ,∴

PM 8 ? x 0 12 1 = = ?1 ≥ . AP x0 + 4 x 0 + 4 2
………………………………………………………9 分



PM ?1 ? 的取值范围是 ? ,+∞ ? AP ?2 ?

(3)由题意得, t = 5 ,即圆心 Q 为 (5, 0) , 设 BQ = x ,则 BS ? BT =| BS | ? | BT | cos ∠SBT

uuu uuu r r

uuu r

uuu r

uuu uuu r r =| BS | ? | BT | (1 ? 2sin 2 ∠SBQ )

1 = ( x 2 ? 1)[1 ? 2( ) 2 ] x 2 = x2 + 2 ? 3 , x
∵ 1 < BQ ≤ 9 ,即 1 < x ≤ 9 ,∴ 1 < x ≤ 81 ,
2

2 在 (1, 2) 上单调递减,在 ( 2,81] 上单调递增, x uuu uuu r r 6320 2 ∴ x = 81 时, ( BS ? BT ) max = . …………………………………14 分 81 18、(1) 当 n = 62 时,使剩余的圆钢尽可能地少,此时剩余了 56 根圆钢;-----4 分
易得函数 y = x + (2) 当纵断面为等腰梯形时,设共堆放 n 层,则从上到下每层圆钢根数是以 x 为首项、1 为公差的等差数列,从而

nx +

1 n(n ? 1) = 2009 , n(2 x + n ? 1) = 2 × 2009 = 2 × 7 × 7 × 41 , n ? 1 与 n 的奇偶性不同, 2 x + n ? 1 即 因 所以 2

与 n 的奇偶性也不同,且 n < 2 x + n ? 1 ,从而由上述等式得:

?n = 7 ?n = 14 ?n = 41 ?n = 49 或? 或? 或? ,所以共有 4 种方案可供选择。 ? ?2 x + n ? 1 = 574 ?2 x + n ? 1 = 287 ?2 x + n ? 1 = 98 ?2 x + n ? 1 = 82
-----------------------------6 分 (3) 因层数越多,最下层堆放得越少,占用面积也越少,所以由(2)可知: 若 n = 41 ,则 x = 29 ,说明最上层有 29 根圆钢,最下层有 69 根圆钢,此时如图所示,两腰之长为 400 cm,上 下底之长为 280 cm 和 680cm,从而梯形之高为 200 3 cm, 而 200 3 + 10 + 10 < 400 ,所以符合条件; 若 n = 49 ,则 x = 17 ,说明最上层有 17 根圆钢,最下层有 65 根圆钢,此时如图所示,两腰之长为 480 cm,上 下底之长为 160 cm 和 640cm,从而梯形之高为 240 3 cm,显然大于 4m,不合条件,舍去; 综上所述,选择堆放 41 层这个方案,最能节省堆放场地------------------6 分. 19、解: (1) f ′( x ) = x +

1 +a?4, x

∵ f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上是增函数,∴ f ′( x ) ≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立. ∴ a ≥ 4 ? ( x + ) 恒成立,∵ x +

1 x

1 ≥ 2 ,当且仅当 x = 1 时取等号, x

∴ 4 ? ( x + ) < 2 ,∴ a ≥ 2 . ……………………………………6 分 (2)设 t = e ,则 h(t ) =| t ? a | +
x

1 x

a2 ,∵ 0 ≤ x ≤ ln 3 ,∴ 1 ≤ t ≤ 3 . 2

? a2 ?t + a + ,1 ≤ t < a ? a2 ? 2 当 2 ≤ a ≤ 3 时, h(t ) = ? ,∴ h(t ) 的最小值为 h(a ) = , 2 a2 ?t ? a + , a ≤ t ≤ 3 ? ? 2
当 a > 3 时, h(t ) = ?t + a +

a2 a2 ,∴ h(t ) 的最小值为 h(3) = a ? 3 + . 2 2 a2 a2 ,当 a > 3 时, g ( x ) 的最小值为 a ? 3 + .…16 分 2 2

综上所述,当 2 ≤ a ≤ 3 时, g ( x ) 的最小值为

20、解: (1)由 bn = an ? 1 ,得 an = bn + 1 ,代入 2an = 1 + an an +1 , 得 2(bn + 1) = 1 + (bn + 1)(bn +1 + 1) , ∴ bn bn +1 + bn +1 ? bn = 0 ,从而有 ∵ b1 = a1 ? 1 = 2 ? 1 = 1 ,

1 1 ? = 1, bn +1 bn

∴?

1 1 ?1? = n ,即 bn = .……………5 分 ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,∴ bn n ? bn ?

(2)∵ S n = 1 +

Tn +1

1 1 1 1 1 + +L+ + L + ,∴ Tn = S 2 n ? S n = , n n +1 n + 2 2n 2 1 1 1 1 1 = + +L + + + , 2n 2n + 1 2n + 2 n+ 2 n+3
1 1 1 1 1 1 + ? > + ? = 0, 2n + 1 2n + 2 n + 1 2n + 2 2n + 2 n + 1
……………………………………………………………………10 分

Tn +1 ? Tn =

∴ Tn +1 > Tn . ∴ S 2n

(3)∵ n ≥ 2 ,

= S 2n ? S 2n?1 + S 2n?1 ? S 2n?2 + ??? + S 2 ? S1 + S1
= T2 n?1 + T2 n?2 + ??? + T2 + T1 + S1 .
1 7 , S1 = 1, T2 = , 2 12

由(2)知 T2 n?1 ≥ T2 n?2 ≥ ??? ≥ T2 ,∵ T1 = ∴ S 2n

= T2 n?1 + T2 n?2 + ??? + T2 + T1 + S1
≥ ( n ? 1) T2 + T1 + S1 =

7 1 ( n ? 1) + + 1 = 7n + 11 . 12 2 12

……16 分

?6 ?5 解:由题意, BA = ? ?14 ?5 ?

2? 1 ? ? ? ? ? ?1 2 ? ? 1 4? ? 2 4? ? 4 36 ? 5 ?1 ??? ? , ( BA) X = ? ? = ? 6 8 ? , ( BA) = ? 3 ?, 8 ? ? ?2 2 ? ? 1? ? ?12 72 ? ? ? ? ?4 5? ? 4? ? ?

1 ? ? ? ?1 2 ? ? 4 36 ? ? 2 0 ? ? 4 36 ? X = ( BA)?1 ? ?? ?=? ?, ? =? ?12 72 ? ? 3 ? 1 ? ?12 72 ? ? 0 9 ? ?4 ? ? 4?
即发送的数据信息是 2009. ……………………………………………………10 分

1 ? ?x = 1+ 2 t ? C 解: (1)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) 3 ? y = ?5 + ? ? 2
圆 C 的极坐标方程为 ρ = 8sin θ . (2)因为 M (4, ………………………………………5 分

π
2

) 对应的直角坐标为 (0, 4) ,

直线化为普通方程为 3 x ? y ? 5 ? 3 = 0 ,

d=

| ?4 ? 5 ? 3 | | 9 + 3 | = > 4, 2 3 +1

∴直线与圆相离. ………………………………………10 分 22、解: (1)设先去买火车票的概率为 P(A) ,先去买汽车票的概率为 P(B) ,

则由条件可知 ?

? P( A) = 3P( B), ? P( A) = 0.75, ,解得 ? . ? P( A) + P( B ) = 1. ? P( B) = 0.25.

即先去买火车票的概率为 0.75. …………………………………………5 分 (2)该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为 0.75 × 0.6 = 0.45. ∴该大学生买汽车票的概率为 1 ? 0.45 = 0.55. 设该大学生购买车票所花费钱数为ξ,可得ξ的分布表为: ξ P 120 0.45 280 0.55

∴该大学生购买车票所花费钱数的期望值为

E (ξ ) = 120 × 0.45 + 280 × 0.55 = 208.

…………………………………………10 分

23、解:设直线 AB 方程为 ty = x ? 2 3 , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 由?

? y 2 = 2 3x ? ?ty = x ? 2 3 ?

,得 y 2 ? 2 3ty ? 12 = 0 ,则 y1 ? y2 = ?12 , x1 ? x2 = 12 ,

∴ x1 ? x2 + y1 ? y2 = 0 ,∴ OA ⊥ OB ,又 ∠OBA = 60° , ∴ OA =

3OB ,∴ x12 + y12 = 3( x2 2 + y2 2 ) ,

123 12 2 y2 4 ∴ 4+ 2 = + 3 y2 2 ,∴ y2 2 = 4 ? 3 32 , y2 y2 4
∴ kOB =
1 y2 2 3 y2 = = ±3 6 . x2 y2 2

…………………………………………10 分


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