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定积分讲义与例题解析


定积分及其应用 积分学的另一个基本概念是定积分.本章我们将阐明定积分的定义,它的基本性 质以及它的应用.此外,我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基 本定理,它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来,成为一个有机的 整体.最后,我们把定积分的概念加以推广,简要讨论两类广义积分. §6.1 定积分的概念与性质 1. 定积分的定义 我们先来研究两个实际问题. 例1 计算曲边梯形的面积 设 y ? f ( x) 为闭区间 [a, b] 上的连续函数,且 f ( x) ? 0 .由曲线 y ? f ( x) ,直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成的平面图形(图 6—1)称为 f ( x) 在 [a, b] 上的曲边梯形,试求这 曲边梯形的面积. y y ? f ( x) o a ? x0 xi ?1 ? i xi xn ? b x 图 6—1 我们先来分析计算会遇到的困难.由于曲边梯形的高 f ( x) 是随 x 而变化的,所以 不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积.但我们可以用平行于 y 轴的 直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图 6—1 所示.在每个小曲边梯形以其底边一 点的函数值为高,得到相应的小矩形,把所有这些小矩形的面积加起来,就得到原曲 边梯形面积的近似值.容易想象,把曲边梯形分得越细,所得到的近似值就愈接近原 曲边梯形的面积,从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法.下 面我们分三步进行具体讨论: 1 (1) 分割 在 [a, b] 中任意插入 n ? 1 个分点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 把 [a, b] 分 成 n 个 子 区 间 [ x0 , x1 ] , [ x1 , x 2 ] , ? , [ xn?1 , xn ] , 每 个 子 区 间 的 长 度 为 ?xi ? xi ? xi ?1 (i ? 1,2,?, n) . (2) 近似求和 在每个子区间 [ xi ?1 , xi ] (i ? 1,2,?, n) 上任取一点 ? i ,作和式 ? f (? )?x i ?1 i n i (1.1) (3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多,同时各个子区间的长度越来 越小)时, 和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作 A). 因此当最长的子区间的 长度趋于零时,就有 ? f (? )?x i ?1 i n i ? A. 例2 求变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,其速度 v 是时间 t 的连续函数 v ? v(t ) .试求该物体从时刻 t ? a 到时刻 t ? b 一段时间内所经过的路程 s . 因为 v ? v(t ) 是变量,我们不能直接用时间乘速度来计算路程.但我们仍可以用类 似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题. (1) 用分点 a ? t 0 ? t1 ? t 2 ? ? ? t n?1 ? t n ? b 把时间区间 [a, b] 任意分成 n 个子区间(图 6—2): [t 0 , t1 ] , [t1 , t 2 ] ,?, [t n?1 , t n ] . 每个子区间的长度为 ?t i ? t i ? t i ?1 ( i ? 1,2,?n ). o a ? t0 t1 t 2 t n ?1 tn ? b t 图 6—2 (2) 在每个子区间 [t i ?1 , t i ] ( i ? 1,

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