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1高中数学重要解题方法与技巧


1 解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是:把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。 具体转化方法有: ①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。 ②零点分段讨论法:适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ③两边平方法:适用于两边非负的方程或不等 式。 ④几何意义法:适用于有明显几何意义的情况。 2 根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是: 提取公因式 ?选择用公式 ?十字相乘法 ?分组分解法 ? 拆项添项法 3 利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法,它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据 有: ①a ②a ③a
2

? 2ab ? b 2 ? ?a ? b?

2

2

? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? ?a ? b ? c?
? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ?
2

2

2

1 ?a ? b ?2 ? ?b ? c ?2 ? ?c ? a ?2 2

?

?

b b b2 2 ④ax +bx+c=a(x + x )+c=a(x + x + a a 4a 2
2

b2 b 2 b2 ? 4ac ? a( x ? ) ? )+c- 4a 2a 4a

4 解某些复杂的特型方程要用到‘换元法’ 。换元法解方程的一般步骤是:设元 ? 换元 ? 解元 ? 还元 5 待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的 解决。其解题步骤是: (1)设(2)列(3)解(4)写 6 复杂代数等式型条件的使用技巧:左边化零,右边变形。 ①因式分解型:

?- - - -??- - - - -? ? 0

两种情况为或型

②配成平方型:

?- - - -?2 ? ?- - - - -?2 ? 0
方程思想与方法

两种情况为且型

7 数学中两个最伟大的解题思路: (1)求值的思路 ?????? 列欲求值字母的方程或方程组

(2)求取值范围的思路 ????? ?? 列欲求范围字母的不等式或不等式组
不等式思想与方法

8 化简二次根式

?a m 的基本思路是:把 m 化成完全平方式。即: m ?m ? ?? a 2

2

=

a的情况分类讨论 ? ????? 结果 a ?按

9 化简

a?2 b

的方法是观察法:a ?

b =(x ? y ) 2

其中,xy=b,

x+y=a 且 x>y>0 3)适当变形法(和积代入法)

10 代数式求值的方法有: (1)直接代入法

(2)化简代入法

注意:当求值的代数式是字母的“对称式”时,通常可以化为字母‘和与积’的形式,从而用‘和积代入法’求值。

11 方程中除过未知数以外,含有的其它字母叫参数,这种方程叫含参方程。解含参方程一般要用‘分类讨论法’ ,其原 则是: ①按照类型求解, ②根据需要讨论, ③分类写出结论。 12 恒相等成立的有用条件: (1)ax+b=0 对于任意 x 都成立 ? 关于 x 的方程 ax+b=0 有无数个解 ? a=0 且 b=0。 (2)ax2+bx+c=0 对于任意 x 都成立 ? 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有无数解 ? a=0、b=0、c=0。 13 由一元二次不等式解集为 R 的有关结论容易得到下列恒不等成立的条件: (1) ax2+bx+c>0(a ? 0)对一切 x 恒成立 ?

?a ? 0 ? ?? ? 0

(2) ax2+bx+c<0(a ? 0)对一切 x 恒成立 ?

?a ? 0 ? ?? ? 0 ?a ? 0 ? ?? ? 0

(3) ax2+bx+c ? 0(a ? 0)对一切 x 恒成立 ?

?a ? 0 (4) ? ?? ? 0

ax2+bx+c ? 0(a ? 0)对一切 x 恒成立 ?

14 图像的平移规律是研究复杂函数的重要方法。平移规律是:

y ? f ( x) ??????????? ? y ? f ( x ? h) ? k k 0,上移k 个单位;k 0,下移 k 个单位。
15 讨论函数性质的重要方法是图像法——看图像、得性质。

h 0,左移h个单位;h 0,右移 h 个单位。

图像在x轴上对应的部分 ?①定义域 ? 图像在y轴上对应的部分 ?②值 域 ? ?从左向右看,连续上升的一段在x轴上对应的区间是增区间 ? ?③单调性 ? ? ?从左向右看,连续下降的一段在x轴上对应的区间是减区间 ? ?④最 值 图像最高点处有最大值,图像最低点处有最小值。 ?⑤奇偶性 图像关于y轴对称是偶函数;图像关于原点对称是奇函数 ? ? ?⑥周期性 图像每隔定长重复出现是周期函数。
16 函数、方程、不等式间的重要关系: 17 一元二次不等式的解法 方程的根 ? 函数图像与 x 轴交点横坐标 ? 不等式解集端点 一元二次不等式可以用因式分解转化为二元一次不等式组去解,但比较复杂;它的简便的

实用解法是根据‘三个二次’间的关系,利用二次函数的图像去解。具体步骤如下: 二次化为正 18 一元二次方程根的讨论

? 判别且求根 ? 画出示意图 ? 解集横轴中
?a的符号 ? ??的情况 不等式组 ? ?对称轴的位置 ?区间端点函数值的符号 ?

一元二次方程根的符号问题或 m 型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决,但

根的一般问题、特别是区间根的问题要根据‘三个二次’间的关系,利用二次函数的图像来解决。 ‘图像法’解决一

元二次方程根的问题的一般思路是:题意

? 二次函数图像 ?

19 基本函数在区间上的值域

我们学过的一次函数、反比例函数、二次函数等有名称的函数是基本函数。基本函数求

值域或最值有两种情况: (1)定义域没有特别限制时---记忆法或结论法; (2)定义域有特别限制时---图像截断法,一

般思路是 : 20 最值型应用题的解法

画出图像

? 截出一断 ? 得出结论 ? ? 写结论 ?
奇穿偶回

应用题中,涉及‘一个变量取什么值时另一个变量取得最大值或最小值’的问题是最值型应 用题。解决最值型应用题的基本思路是函数思想法,其解题步骤是: 设变量

?

列函数

求最值

21 穿线法是解高次不等式和分式不等式的最好方法。其一般思路是: 首项化正

?

求根标根

?

右上起穿

注意:①高次不等式首先要用移项和因式分解的方法化为“左边乘积、右边是零”的形式。②分式不等式一般不能用 两边都乘去分母的方法来解,要通过移项、通分合并、因式分解的方法化为“商零式” ,用穿线法解。


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