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高中数学(必修1)学案:2.1.3函数的简单性质(三)


苏教版高中数学必修 1 导学案 zouxin

§ 2.1.3

函数的简单性质(3)——函数的奇偶性
班级

【学习目标】 : 姓名 理解奇函数、偶函数的概念及几何意义,能熟练判别函数的奇偶性。 【学习过程】 : 一、课前回顾: 1.回顾函数单调性和最值的概念并解决下列问题: (1)求出下列函数的单调区间: (1) y ? f ( x) ? x2 (2) y ? f ( x) ?

1 ( x ? 0) x

(2)若函数 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2x ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间。 (3)函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 1 的最小值是 2.初中学过,什么是轴对称图形和中心对称图形? 3.考察函数 y ? f ( x) ? x2 , y ? f ( x) ?

1 ( x ? 0) 的图象有怎样的对称性?能否用数量关系来表述? x

二、自主先学: 1 .偶函数:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,如果 有 ,那么称函数 y ? f ( x) 是 。 2 .奇函数:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,如果 有 ,那么称函数 y ? f ( x) 是 。 3 思考 1:判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x ? 2x (2) f ( x) ? x 2 ? 1 3.函数的奇偶性:如果函数 y ? f ( x) 是 ,则函数 y ? f ( x) 具有奇偶性。 2 思考 2:已知 f ( x) ? x ? x ? 1,试求出 f (?1), f (1) 的值,并判断它的奇偶性。 注意点① : 2 思考 3:判断函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ,x ? [?1,2] 的奇偶性。 注意点② : 思考 4:已知函数 y ? f ( x)(x ? A) 是奇函数,如果 0 ? A ,则 f (0) ? 注意点③ : ,都 ,都

思考 5:画出偶函数 f ( x) ? 2 x ? 1,奇函数 f ( x) ? 2 x 的图象,并分析奇偶函数的图象具有什么样的特征? 4.奇偶函数的图象特征: 三、典例欣赏: 例 1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? (4) f ( x) ?

x ?1
2

(2) f ( x) ? ( x ? 1)

x ?1 x ?1

(3) f ( x) ?

1? x 2 x

1? x 2 | x ? 2 | ?2

(5) f ( x) ? | x | ?9 ? 9? | x |

-1-

苏教版高中数学必修 1 导学案 zouxin 总结归纳: 1.判断函数奇偶性的步骤: 2.判断函数奇偶性的最终结果有哪些? 3.能不能举出既是奇函数又是偶函数的函数呢?

? x2 ? 2 x ? 3 ? 例 2.判断 f ( x) ? ? 0 ?? x 2 ? 2 x ? 3 ?

( x ? 0) ( x ? 0) 的奇偶性。 ( x ? 0)

例 3.定义在 R 上的奇函数 f(x)在 x>0 时,f(x)=x2-2x-1. (1)求 x<0 时,f(x)的解析式; (2)求 f(x)的解析式。

【反思小结】 【检测反馈】 1.判断 f (x)=x2 ( ? 1 ? x ? 1) 的奇偶性是__________________. 2.函数 f ( x) ? ?

?1 ( x ? Q), ?0 ( x ? Q)

的奇偶性是__________________. ___.

3.若 y=f (x),(x ? R) 是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数 y= f(x)图象上的是____ (1)(a ,-f (a)) (2) ( -a ,-f (a)) (3)(-a ,-f (-a)) (4)(a, f (-a))

4.若 f (x)=(m-1)x2 + mx + 5(x ? R)是偶函数,则 m= 5.若 f(x)是奇函数,且 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)= 6.若 f(x)是偶函数,则 f (1 ?

1 2) ? f ( )? 1? 2

7.设 y= f(x)的定义域为[-a,a](a>0),则 g(x)= f(x)- f(- x)的奇偶性是 8.判断下列函数的奇偶性: (1)f (x)=|x-2|+|x+2| (3) f ( x) ? (2) f ( x) ? x ?

1 x ? x 1? x

x ?1 ? 1 ? x

(4) f ( x) ? x 2 ? 1 ? 1 ? x 2

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苏教版高中数学必修 1 导学案 zouxin

9 (5) f ( x) ? 3 ? x ? 1? | x |
2

? x ( x ? 2) ? (6) f ( x) ? ? 0 ? x ( x ? 2) ?

( x ? 0) ( x ? 0) ( x ? 0)

9.已知函数 f ( x) ? x(

1 1 ? ). x ?1 2
2

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性并证明你的结论.

10.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,求 f ( x ) 的解析式.

【拓展提高】 11.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b, ( x ?[a, a 2 ? 2]) 为偶函数,求 f(x)的值域。

2 12.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 4 x ? 8x ? 3 ,

求函数 y ? f ( x) 的表达式,并指出函数的单调区间。

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