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高一乃文班第二单元(教师版)

南县一中 2013 年高一乃文班《基本初等函数》单元测试卷
一、选择题(本大题共 8 小题. 每小题 5 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有 一个项是符合题目要求的) 1.若 m ? 0 , n ? 0 , a ? 0 且 a ? 1 ,则下列等式中正确的是 ( A. ( a ) ? a
m n m? n

D )

B. a

1 m

?
3

1 am
4

C. loga m ? loga n ? loga (m ? n)

D. m4 n4 ? (mn) 3 (A ) D. ( , 2)

2.函数 y ? loga (3x ? 2) ? 2 的图象必过定点 A. (1, 2) B. (2, 2)

C. (2,3)

2 3

3.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, A. 1 B. 2
?

2 ) ,则 f (4) 的值为( C 2
C.
1 2



1 2


D. 8

4.已知 log7 [log3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x A、

等于( C

1 3

B、

1 2 3

C、

1 2 2

D、 (

1 3 3
C )

5.函数 y= | lg(x-1)| 的图象是

C

?a x ? 2 , x?2 6.已知 f ( x) ? ? 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是( B ) ?log a ( x ? 2), x ? 2 A. (0,1) B. (1, 4] C. (1, ??) D. [4, ??)
7、若函数 f(x)、g(x)分别为 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,则有(D )
x

A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3)

B. f (2) ? f (3) ? g (0) D. g (0) ? f (2) ? f (3)

8.给出幂函数①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)= x ;⑤f(x)= . 其中满足条件 f ( (
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) > 2 2

1 x

(x1 > x2 > 0) 的 函 数 的 个 数 是 C.3 个 D.4 个

A ) A.1 个

B.2 个

一、选择题(8 ? 5 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.答案需填在题中横线上) 9、函数 y ? log 1 x ? 1 的定义域为
2

? 1? ? 0, ? ? 2?

.

10、 试比较 1.70 .2 , log2 .1 0.9, 0.82 .2 的大小关系,并按照从小到大的顺序排列是

log2.1 0.9 ? 0.82.2 ? 1.70.2

. 3 .

11、设函数 f ( x) ? 3 x 的反函数是 y ? g ( x) ,若 g ( m) ? g (n) =1,则 f (mn) ? 12.函数 y ? log1 (x 2 ? 2x) 的单调递减区间是___ ? 2, ??? ______________.
2

13.已知 log32 9 ? p, log27 25 ? q ,则用p,q表示lg5=. 14 、 已 知 函 数 y ? loga x , 当 x ? 2

15 pq 15 pq ? 4

时 恒 有 y ?1 , 则 a 的 取 值 范 围 是

?1, 2? ? ? ?

1 ? ,1? ?2 ?

. , 则 函 数 l 3o g x

2 15. 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 ?1 , ?9 , 且 f ( x ) ?

2 2 ? ? 2 f ? x 2 ? ? 5 的值域为_______ ? ? 16 , ?4 ? ____________________ y ? 3? f x ? ? ? ? ? ? ? 3 ?

三、解答题(6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)
16 ? 1 (Ⅰ) ( 2 ? 3) ? (2 ? 2) ? 4 ? ( ) 2 ? 4 2 ? 80.25 . 49
3 6 4 3

(Ⅰ) . 解:原式 ? 4 ? 27 ? 2 ? 7 ? 2 ? 101 .

(Ⅱ) ln(e e ) ? log 2 (log 3 81) ? 21? log2 3 ?

log 3 2 ? 2 log 3 5 . 1 1 log 9 ? log 3 125 4 3

log3 (4 ? 25) 3 3 15 ? 2 ? 2?3 ? ? ? 2 ? 2?3 ? 2 ? 1 1 2 2 log3 ( ? ) 2 2 5 17. (本小题满分 12 分) 1 设函数 f ( x) ? log2 (4 x) ? log2 (2 x) , ? x ? 4 , 4
(Ⅱ)解:原式 ?

(1)若 t ? log2 x ,求 t 取值范围; (2)求 f ( x) 的最值,并给出最值时对应的 x 的值。
解: (1)? t ? log 2 x,

1 ?x?4 4

? log 2

1 ? t ? log 2 4 4 即? 2 ? t ? 2

(2) f ?x? ? log2 2 x ? 3 log2 x ? 2

? 3? 1 2 ? 令t ? l o g ? ? 2 x ,则, y ? t ? 3t ? 2 ? ? t ? ? 2? 4
1 3 3 ?当t ? ? 即l o g , x ? 2 2 时, f ? x ?min ? ? 2 x ? ? 4 2 2
当 t ? 2即x ? 4时, f ?x?max ? 12
?3

2

18 (本题满分 12 分)已知 m>1, (1)试比较(lgm)0.9 与(lgm)0.8 的大小. (2)试比较 1 ? logm 3 与 2logm 2 ,大小
解: (1)① 当 m>10 时, (lgm)0 9>(lgm)0 8; . . ② 当 m=10 时, (lgm)0 9=(lgm)0 8; 0.9 0.8 ③ 当 1<m<10 时, (lgm) <(lgm) .
. .

3 4 ? 0 ,即 x ? 时, f ( x) ? g ( x) ; 4 3 3 4 g ? ,即 0 x ? 时, f ( x)? g ( x; ) 当1 ? l o x 4 3 3 4 g ? ,即 0 1 ? x ? 时, f ( x)? g ( x) 当1 ? l o x 4 3 19、(本小题满分 13 分) 光线通过一块玻璃,其强度要损失 10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原 来的强度为 k,通过 x 块玻璃以后强度为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数关系式; 1 (2)通过多少块玻璃以后,光线强度将减弱到原来的 以下.(lg3≈0.477 1) 3
(2)当 1 ? log x 解:(1)光线经过 1 块玻璃后强度为(1-10%)·k=0.9k; 2 光线经过 2 块玻璃后强度为(1-10%)·0.9k=0.9 k; 2 3 光线经过 3 块玻璃后强度为(1-10%)·0.9 k=0.9 k; x 光线经过 x 块玻璃后强度为 0.9 k. x * ∴y=0.9 k(x∈N ). k 1 x x (2)由题意 0.9 k< ,∴0.9 < . 3 3 1 两边取对数,xlg0.9<lg . 3

1 lg 3 ∵lg0.9<0,∴x> . lg0.9 1 3 1 ∵ ≈10.4,∴xmin=11,即通过 11 块玻璃以后,光线强度减弱到原来的 以下 lg0.9 3 lg

20.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x 2 ? 1) ? log m (1)求函数 f(x)的解析式及定义域;

x2 (0 ? m ? 1) 2 ? x2

(2)判断 f ( x) 在定义域上的单调性,并用定义加以证明; (3)若 g ( x) ? f (2x ) 在 (??, ?1] 最小值为-2,求 m 的值
解: (1) f ( x) ? log m

1? x (?1 ? x ? 1) 1? x

(2) f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是减函数,证(略) (3) m ?

3 3

21. (本小题满分 13 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? 2

(Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值 范围.
解: (Ⅰ)∵ f ? x ? 是奇函数,所以 f (0) ?

1? b ? 0 ? b ? 1 (经检验符合题设) . 4

(Ⅱ)由(1)知

f ( x) ? ?

2x ? 1 .对 ?x1 , x2 ? R ,当 x1 ? x2 时,总有 2(2x ? 1)

2x2 ? 2x1 ? 0, (2x1 ? 1)(2x2 ? 1) ? 0 .
1 2x1 ? 1 2 x2 ? 1 1 2 x2 ? 2 x1 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? ( x ? )? ? ? 0, 2 2 1 ? 1 2 x2 ? 1 2 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴函数 f ? x ? 在 R 上是减函数.

(Ⅲ)∵函数 ∴

f ( x) 是奇函数且在 R 上是减函数,

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 ? f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) .

1 1 ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 ? k ? 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ? . (*) 3 3 1 对于 ?t ? R (*)成立 ? k ? ? . 3 1 ∴ k 的取值范围是 (??, ? ) . 3


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