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4高考数学三角函数典型例题

三角函数典型例题
1 .设锐角 ?ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2bsin A. (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A? sin C 的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由 a ? 2bsin A,根据正弦定理得 sin A ? 2sin Bsin A ,所以 sin B ? 1 , 2 π 由 ?ABC为锐角三角形得 B ? . 6

(Ⅱ)

cos

A

?

sin

C

?

cos

A

?

sin

? ??

?

?

? ?

?

A

? ??

?

cos

A

?

sin

? ??

? 6

?

A

? ??

? cos A ? 1 cos A ? 3 sin A

2

2

?

3

sin

? ??

A

?

? 3

? ??

.

2 .在 ?ABC中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C.
(Ⅰ)求角 B 的大小;

(Ⅱ)设 m ? ?sin A,cos 2A? ,n ? ?4k,1??k ?1? , 且 m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.

2
【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,

0
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C.

0
即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB

7
=sin(B+C)

0
∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA.

3
∵0<A<π,∴sinA≠0.

1

1

∴cosB= .

6

2

?
∵0<B<π,∴B= .
3

(II) m ? n =4ksinA+cos2A. 2?
=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0, )
3 设 sinA=t,则 t∈ (0,1] .

则 m ? n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈ (0,1] .

∵k>1,∴t=1 时, m ? n 取最大值.

3
依题意得,-2+4k+1=5,∴k= .
2

3 .在 ?ABC中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c , sin A ? B ? sin C ? 2 .

2

2

I.试判断△ ABC的形状;

II.若△ ABC的周长为 16,求面积的最大值.

? 【解析】:I. sin

?C

? sin

C

?

c os C

? sin

C

?

2 sin(C ? ? )

2

2

22

24

? C ? ? ? ? 即C ? ? ,所以此三角形为直角三角形.

24 2

2

II.16 ? a ? b ? a2 ? b2 ? 2 ab ? 2ab ,? ab ? 64(2 ? 2)2 当且仅当 a ? b 时取等
号,
? ? 此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 .

3 4 .在 ?ABC中,a、b、c 分别是角 A. B.C 的对边,C=2A, cos A ? ,
4

(1)求 cosC, cosB 的值;

(2)若 BA? BC ? 27 ,求边 AC 的长? 2
【解析】:(1) cosC ? cos2A ? 2 cos2 A ?1 ? 2 ? 9 ?1 ? 1 16 8

由cosC ? 1 ,得sin C ? 3 7 ;由cos A ? 3 ,得sin A ? 7

8

8

4

4

?cos B ? ? cos?A ? C? ? sin Asin C ? cos AcosC ? 7 ? 3 7 ? 3 ? 1 ? 9
4 8 4 8 16

(2) BA? BC ? 27 ,? ac cosB ? 27 ,? ac ? 24 ①

2

2

又 a ? c ,C ? 2A,?c ? 2a cos A ? 3 a ②

sin A sin C

2

由①②解得 a=4,c=6

?b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cosB ? 16 ? 36 ? 48? 9 ? 25 16

?b ? 5 ,即 AC 边的长为 5.

5 .已知在 ?ABC中, A ? B ,且 tan A与 tan B 是方程 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.
(Ⅰ)求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ)若 AB ? 5 ,求 BC 的长. 【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 . ∴ tan(A ? B) ? tan A ? tan B ? 2 ? 3 ? ?1
1? tan A tan B 1? 2?3 (Ⅱ)∵ A ? B ? C ? 180? ,∴ C ? 180 ? ? ( A ? B) .
由(Ⅰ)知, tanC ? ? tan(A ? B) ? 1,

∵ C 为三角形的内角,∴ sin C ? 2 2

∵ tan A ? 3 , A 为三角形的内角,∴ sin A ? 3 , 10

由正弦定理得: AB ? BC sin C sin A
∴ BC ? 5 ? 3 ? 3 5 . 2 10 2
6 . 在 ?ABC 中 , 已 知 内 角 A . B . C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 向 量

? ? m ? 2 s iBn? ,

, n3?

? ??

cos

2

B,

2

cos

2

B 2

?1??? ,且 m /

/n ?

(I)求锐角 B 的大小;

(II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值?

【解析】:(1) m / /n ? 2sinB(2cos2B2-1)=- 3cos2B

?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3

∵0<2B<π,∴2B=23π,∴锐角

π B=3

(2)由 tan2B=- 3 ? B=π3或56π

①当 B=π3时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立)

∵△ABC

的面积

S△

1 ABC=2

acsinB=

43ac≤

3

∴△ABC 的面积最大值为 3

②当 B=56π时,已知 b=2,由余弦定理,得:

4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ac≤4(2- 3)

∵△ABC

的面积

S△

1 ABC=2

1 acsinB=4ac≤ 2-

3

∴△ABC 的面积最大值为 2- 3
7 .在 ?ABC中,角 A. B.C 所对的边分别是 a,b,c,且 a 2 ? c 2 ? b2 ? 1 ac. 2
(1)求 sin 2 A ? C ? cos2B 的值; 2
(2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.

【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=41

sin2

A?C
+cos2B=

?1

2

4

(2)由 cos B ? 1 , 得 sin B ? 15 . ∵b=2,

4

4

a2

+

c2

=12ac+4≥2ac,得

ac≤

8 3

,

1 S△ ABC=2acsinB≤

15
(a=c 时取等号)
3

15 故 S△ ABC 的最大值为 3

sin(? ? ? )

8

.已知

tan?

?

a, (a

? 1) ,求

4 sin(?

??)

?

tan 2?

的值?

2

2a

【解析】

;

1? a

9

.已知

f

??

?

?

sin ?5? ??

sin

????

?

3? 2

?

? cos ????

?

3? 2

? ??

?

cos

??

?

?

?

? ??

?

cos

????

?

? 2

? ??

?

tan

??

?

3?

?

(I)化简 f ?? ?

(II)若 ?

是第三象限角,且

cos

? ??

3? 2

??

? ??

?

1 5

,求

f

?? ? 的值?

【解析】

10.已知函数 f(x)=sin2x+ 3 sinxcosx+2cos2x,x? R.
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

【解析】:(1) f (x) ? 1? cos 2x ? 3 sin 2x ? (1? cos 2x)

2

2

? 3 sin 2x ? 1 cos 2x ? 3

2

2

2

? sin(2x ? ? ) ? 3 . 62

? f (x) 的最小正周期 T ? 2? ? ? . 2

由题意得 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z,

2

6

2

即 k? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z.

3

6

?

f

(x)

的单调增区间为

???k?

?

? 3

,

k?

?

? 6

? ??

,

k

?

Z.

? (2)先把 y ? sin 2x 图象上所有点向左平移 个单位长度,
12

得到 y ? sin(2x ? ? ) 的图象,再把所得图象上所有的点向上平移 3 个单位长度,

6

2

就得到 y ? sin(2x ? ? ) ? 3 的图象? 62

11.已知 a ? ????

3 2

,?

3 2

????

,

b

?

(sin

?x 4

, cos?x) 4

,

f

(x)

?

a?b

?

(1)求 f (x) 的单调递减区间?

(2)若函数 y ? g(x) 与 y ? f (x) 关于直线 x ? 1对称,求当 x ?[0, 4] 时, y ? g(x) 的最大值? 3

【解析】:(1) f (x) ? 3 sin ?x ? 3 cos ?x ? 3 sin(?x ? ? )

2 42 4

43

?x
∴当

?

?

?[?

? 2k? , 3?

?

2k? ] 时,

f (x) 单调递减

43 2

2

解得: x ?[10 ? 8k, 22 ? 8k] 时, f (x) 单调递减?

3

3

(2)∵函数 y ? g(x) 与 y ? f (x) 关于直线 x ? 1对称

∴ g(x) ? f (2 ? x) ?

3

sin

?? ??

(2 ? 4

x)

?

? 3

? ??

?

3

s in ????2

?

?x 4

?

? 3

? ??

?

3 cos?? ?x ? ? ?? ? 4 3?

∵ x ?[0, 4] 3

?x

4

?? 3

?

?? ?? 3

,

2? 3

? ??

∴ cos?? ?x ? ? ?? ?[? 1 , 1 ] ? 4 3? 2 2

3 ∴ x ? 0时, g max(x) ? 2

12.已知 cos? ? ?2sin? ,求下列各式的值;

2sin? ? cos?

(1)

;

sin? ? 3cos?

(2) sin2 ? ? 2sin? cos?

【解析】: Q cos? ? ?2sin?,?tan? ? ? 1 2

(1)

2sin? ? cos? sin? ? 3cos?

?

2 tan? ?1 tan? ? 3

?

2

?

? ??

?

1 2

? ??

?1

?1 ?3

?

?

4 5

2

(2) sin2 ?

?

2 sin ?

cos?

?

sin2 ? ? 2sin? cos? sin2 ? ? cos2 ?

?

tan2 ? ? 2 tan? tan2 ? ?1

?

? ??

?

1 2

?2 ??

?

2

?

? ??

?

1 2

? ??

? ??

?

1 2

2
? ? ?

?

1

?

?3 5

13.设向量 a ? (sin x, cos x),b ? (cos x, cos x), x ? R ,函数 f (x) ? a ? (a ? b)

(I)求函数 f (x) 的最大值与最小正周期;
(II)求使不等式 f (x) ? 3 成立的 x 的取值集合? 2
【解析】

14.已知向量 m ? (cos ? ? 2 ,?1) , n ? (sin?,1) , m 与 n 为共线向量,且? ? [? ? ,0]

3

2

(Ⅰ)求 sin? ? cos? 的值;

sin 2?

(Ⅱ)求

的值.?

sin? ? cos?

【解析】:(Ⅰ) ? m 与 n 为共线向量, ?(cos ? ? 2 ) ?1 ? (?1) ? sin ? ? 0 , 3

即 sin ? ? cos? ? 2 3

(Ⅱ) ?1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2 ? 2 ,?sin 2? ? ? 7

9

9

? (sin ? ? cos? )2 ? (sin ? ? cos? )2 ? 2 ,

?(sin ? ? cos? )2 ? 2 ? ( 2 )2 ? 16 39

又?? ?[? ? ,0] ,?sin? ? cos? ? 0 , sin? ? cos? ? ? 4

2

3

因此, sin 2? ? 7 sin? ? cos? 12

15.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔

的塔顶?测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 750 , 300 ,于水

面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 600 ,AC=0.1km?试探究图中 B,D 间距
离 与 另 外 哪 两 点 距 离 相 等 , 然 后 求 B,D 的 距 离 ( 计 算 结 果 精 确 到

0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)

【解析】:在 ?ACD中, ?DAC=30°, ?ADC=60°- ?DAC=30°,
所以 CD=AC=0.1

又 ?BCD =180°-60°-60°=60°,

故 CB 是 ?CAD底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC中, AB ? AC ,
sin?BCA sin?ABC

即 AB= AC sin 60? ? 3 2 ? 6

sin15?

20

因此, BD ? 3 2 ? 6 ? 0.33km 20

故 B.D 的距离约为 0.33km?

16.已知函数 f (x) ? Asin(?x ??), x ? R (其中 A ? 0,? ? 0, 0 ? ? ? ? )的图象与 x 轴的交点中, 2

?
相邻两个交点之间的距离为

,且图象上一个最低点为 M ( 2?

, ?2) .

2

3

(Ⅰ)求 f (x) 的解析式;(Ⅱ)当 x ?[ ? , ? ] ,求 f (x) 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 2

【解析】: (1)由最低点为 M ( 2? , ?2) 得 A=2. 3

?
由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为

T


?
=

,即 T

?? ,?

?

2?

?

2?

?2

2 22

T?

由点 M (2? , ?2) 在图像上的 2sin(2? 2? ??) ? ?2,即sin( 4? ??) ? ?1

3

3

3

故 4? ?? ? 2k? ? ? , k ? Z

3

2

?? ? 2k? ? 11? 6

又? ?(0, ? ),?? ? ? ,故f (x) ? 2sin(2x ? ? )

2

6

6

(2) x ?[ ? , ? ],     ?2x ? ? ?[? , 7? ]

12 2

6 36

当2x ? ?

?
=

,即 x ?

?

时,

f (x) 取得最大值 2;当 2x ? ?

?

7?

62

6

66

即 x ? ? 时, f (x) 取得最小值-1,故 f (x) 的值域为[-1,2] 2

17 . 如 图 , 为 了 解 某 海 域 海 底 构 造 , 在 海 平 面 内 一 条 直 线 上 的 A,B,C 三 点 进 行 测 量 , 已 知

AB ? 50m, BC ?120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处

测 得 水 深 CF ?110m , 求 ∠DEF 的 余 弦 值 ?

【解析】:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ?10 198 ,

DE ? DN2 ? EN2 ? 502 ?1202 ?130 ,

EF ? (BE ? FC)2 ? BC2 ? 902 ?1202 ? 150

在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ? DE2 ? EF 2 ? DF 2 ? 1302 ?1502 ?102 ? 298 ? 16

2DE ? EF

2 ?130 ?150

65

18.已知 sin? ? cos? ? 1 ,? ? (? ,? ) ,

5

2

求(1) sin? ? cos? (2) sin3 ? ? cos3 ? (3) sin4 ? ? cos4 ?

【解析】:(1) sin? ? cos? ? 7 (2) sin3 ? ? cos3 ? ? 91 (3) sin4 ? ? cos4 ? ? 337

5

125

625

19.已知函数 y ? Asin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? ? )的一段图象如图

所示,

(1)求函数的解析式; (2)求这个函数的单调递增区间。

【解析】:(1)由图象可知:

T

?

2

? ? ?

3 8

?

?

? ??

?

? 8

?? ????

?

?

?

?

?

2? T

?

2



A

?

2

?

? ?2 ?
2

?2

∴ y ? 2sin?2x ???

,又∵

? ??

?

? 8

,2 ???

为“五点画法”中的第二点



2

?

? ??

?

? 8

? ??

??

?

? 2

?

?

?

3? 4

∴所求函数解析式为:

y

?

2 sin

? ??

2x

?

3? 4

? ??

? ? (2)∵当 2x ?

3? 4

?

? ??

?

? 2

?

2k?,? 2

? 2k?

? ??

?

k

?

Z

?

时,

f

x 单调递增



2x

?

? ??

?

5? 4

? 2k?,? ? 4

? 2k?

? ??

?

x

?

? ??

?

5? 8

? k?,?

? 8

? k?

? ??

?k

?

Z

?

20.已知 ?ABC的内角 A. B.C 所对边分别为 a、b、c,设向量 m ? (1 ? cos(A ? B), cos A ? B ) ,

2

n ? (5 , cos A ? B ) ,且 m ? n ? 9 .

8

2

8

(Ⅰ)求 tan A? tan B 的值;

absin C

(Ⅱ)求
a2

? b2

? c2

的最大值.

【解析】(Ⅰ)由 m ? n ? 9 ,得 5 [1 ? cos(A ? B)] ? cos2 A ? B ? 9

88

28

即 5 [1? cos(A ? B)] ? 1? cos(A ? B) ? 9

8

2

8

也即 4cos(A ? B) ? 5cos(A ? B)

∴ 4cosAcosB ? 4sin Asin B ? 5cosAcosB ? 5sin Asin B ∴ 9sin Asin B ? cosAcosB ∴ tan A tan B ? 1
9 21.已知函数 f (x) ? (1 ? tan x)[1 ? 2 sin(2x ? ? )] ,求:
4

(1)函数 f (x) 的定义域和值域; (2)写出函数 f (x) 的单调递增区间。

【解析】: f (x) ? ??1 ? sin x ????1 ? 2 sin 2x cos ? ? 2 cos 2x sin ? ??

? cos x ??

4

4?

? ??1 ? sin x ???2sin x cos x ? 2 cos2 x? ? 2?cos x ? sin x??cos x ? sin x? ? cos x ? ? 2(cos2 x ? sin 2 x) ? 2cos2x

(Ⅰ)函数的定义域

??x ?

|

x

?

R, x

?

k?

?

? 2

,k

?

Z

? ?

?

?2x ? 2k? ? ? , k ? Z

?2cos2x ? ?2,

函数 f (x) 的值域为 ?? 2,2?

(Ⅱ)令 2k? ? ? ? 2x ? 2k? , (k ? Z) 得 k? ? ? ? x ? k? (k ? Z ) 2

∴函数

f

(x)

的单调递增区间是 ?? k? ?

?

? 2

, k?

???(k

?Z)

22.如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为 4.8m,圆上最低点与地面距离为
0.8m,60 秒转动一圈.途中 OA 与地面垂直.以 OA 为始边,逆时针转动? 角 到 OB .设 B 点与地面距离为 h . (1)求 h 与? 的函数解析式;

(2)设从 OA 开始转动,经过 80 秒到达 OB ,求 h .

【解析】:(1)∵ h ? 0.8 ? OA ? BC ? 0.8 ? 4.8 ? OBsin? ? 5.6 ? 4.8sin(? ? 90?) ,

∴ h ? 5.6 ? 4.8cos? (? ? 0)

(2)∵ ? ? 2? ? ? ,? ? ? t ,∴? ? ? ? 80 ? 8? ,? h ? 5.6 ? 4.8cos8? ? 8 (m)

60 30

30

30

3

3

23.设函数 f (x) ? a ? b,其中向量 a ? (2 cos x,1), b ? (cos x, 3 sin 2x ? m).

(1)求函数 f (x)的最小正周期和在 [0,? ]上的单调递增区间;

(2)当 x ?[0, ? ]时,?4 ? f (x) ? 4恒成立,求实数m 的取值范围。 6

【解析】:(1)? f (x) ? 2 cos2 x ?

? 3 sin 2x ? m ? 2sin(2x ? ) ? m ?1 ,

6

?函数f (x)的最小正周期T ? 2? ? ? .????4分 2
在[0,? ]上单调递增区间为[0, ? ],[ 2? ,? ].????6分 63

(2)当

x

?[0, ? 6

]时,?

f

(x)递增,?当x

?

? 6

时,

f

( x) m ax

?

m

?

3,

当x ? 0时, f (x)min ? m ? 2,????8分

由题设知

?m ??m

? ?

3 2

? ?

4, ????10分 ?4,

解之,得 ? 6 ? m ? 1.????12分

24.已知函数

f

(x)

?

2 sin2

? ??

π 4

?

x

? ??

?

3

cos

2

x



x

?

? ??

π 4

,π 2

? ??



(1)求 f (x) 的最大值和最小值;

(2)

f (x) ? m

?

2



x

?

? ??

π 4

,π 2

? ??

上恒成立,求实数

m

的取值范围.

【解析】(Ⅰ)∵

f

(

x)

?

???1?

cos

? ??

π 2

?

2x

?? ????

?

3 cos 2x ?1? sin 2x ?

3 cos 2x

?

1?

2

sin

? ??

2x

?

π 3

? ??



又∵

x

?

? ??

π ,π 42

? ??

,∴

π 6



2x

?

π 3



2π 3





2

≤1

?

2

sin

? ??

2

x

?

π 3

? ??



3



∴ f (x)max ? 3,f (x)min ? 2 .

(Ⅱ)∵

f

(x) ? m

?

2?

f

(x) ? 2 ?

m?

f

(x) ? 2 ,

x

?

? ??

π ,π 42

? ??



∴m ? f (x)max ? 2 且 m ? f (x)min ? 2 , ∴1? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1,4) .

25.在锐角△ ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,已知 (b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc.

(I)求角 A; (II)若 a=2,求△ ABC 面积 S 的最大值?

b2 ? c 2 ? a 2 sin A 3

3

【解析】:(I)由已知得

?

? ? sin A

2bc cos A 2

2

又在锐角△ ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角△ ABC 中,扣 1 分]

(II)因为 a=2,A=60°所以 b2 ? c 2 ? bc ? 4, S ? 1 bc sin A ? 3 bc

2

4

而 b2 ? c2 ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4

又 S ? 1 bc sin A ? 3 bc ? 3 ? 4 ? 3

2

4

4

所以△ ABC 面积 S 的最大值等于 3

26.甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作匀速直线航行,速度为 15 2
浬/小时,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 浬处的 B 岛

出发,朝北偏东 θ(? ? arctg 1) 的方向作匀速直线航行,速度为 10 5 浬/小时.(如图所示)
2

(Ⅰ)求出发后 3 小时两船相距多少浬?

(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?

【解析】:以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1, y1) Q (x2,y2).
则??x1 ? 15 2t cos45? ? 15t ??2分 ?y1 ? x1 ? 15t

由? ? arctg 1 可得, cos? ? 2 5 , sin? ? 5 ,

2

5

5

x2 ? 10 5t sin ? ? 10t y2 ? 10 5t cos? ? 40 ? 20t ? 40????5分
(I)令 t ? 3,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)

| PQ |? (45 ? 30)2 ? (45 ? 20)2 ? 850 ? 5 34 .

即两船出发后 3 小时时,相距 5 34 锂 (II)由(I)的解法过程易知:

| PQ |? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (10t ?15t)2 ? (20t ? 40 ?15t)2 ??10分 ? 50t 2 ? 400t ?1600 ? 50(t ? 4)2 ? 800 ? 20 2

∴当且仅当 t=4 时,|PQ|的最小值为 20 2

即两船出发 4 小时时,相距 20 2 海里为两船最近距离.

27.在锐角 ?ABC中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a、b、c,且 (tanA-tanB)=1+tanA·tan

B.

(1)若 a2-ab=?c2-b2,求 A. B.?C 的大小;

??

(2)已知向量 m =(sinA,cosA), n =(cosB,sinB),求|3 m -2 n |的取值范围.

【解析】

28.如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AO C.小区的两个出入口设置在点 A 及点 C
处,小区里有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转角为120 .已知某人
从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟.若此人步 A 行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米).
【解析】解法一:设该扇形的半径为 r 米. 由题意,得
CD=500(米),DA=300(米),∠CDO= 600
在 ?CDO 中, CD2 ? OD2 ? 2 ? CD ? OD ? cos 600 ? OC2 ,
即 5002 ? ?r ? 300?2 ? 2?500??r ? 300?? 1 ? r2,
2 解得 r ? 4900 ? 445 (米)
11
解法二:连接 AC,作 OH⊥AC,交 AC 于 H

C
1200
D
O
H A
1200
DO

由题意,得 CD=500(米),AD=300(米), ?CDA ? 1200

在?ACD中, AC2 ? CD2 ? AD2 ? 2 ? CD ? AD ? cos1200 ? 5002 ? 3002 ? 2 ? 500? 300? 1 ? 7002, 2
∴ AC=700(米)

cos ?CAD ? AC2 ? AD2 ? CD2 ? 11 . 2 ? AC ? AD 14
在直角 ?HAO中, AH ? 35(0 米), cos ?HA0 ? 11 , 14
∴ OA ? AH ? 4900 ? 445 (米) cos ?HAO 11

29.已知角? 的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . (1)求 tan? 的值;

ab

sin? tan?

(2)定义行列式运算

? ad ? bc ,求行列式

的值;

cd

1 cos?

cos(x ? ? ) ?sin?

(3)若函数 f (x) ?

( x ?R ),

sin(x ? ? ) cos?

求函数 y ? 3 f (? ? 2x) ? 2 f 2 (x) 的最大值,并指出取到最大值时 x 的值 2

【解析】:(1)∵ 角? 终边经过点 P(?3, 3) ,

∴ tan? ? ?

3
.

3

(2) sin? ? 1 , cos? ? ?

3
.

2

2

sin ?

tan ? ? sin? cos? ? tan? ? ?

3?

3?

3
.

1 cos?

4 3 12

(3) f (x) ? cos(x ??)cos? ? sin(x ??)sin? ? cos x ( x ?R ), ∴函数 y ? 3 cos(? ? 2x) ? 2cos2 x
2 ? 3 sin 2x ?1? cos 2x ? 2sin(2x ? ? ) ?1( x ?R ),
6

∴ ymax ? 3 ,

此时 x ? k? ? ? (k ? Z) . 6

30.已知函数 f (x) ? (sin x ? cos x)2 +cos 2x .

(Ⅰ)求函数

f

?x?

的最小正周期;(Ⅱ)当

x

?

???0,

? 2

? ??

时,求函数

f

?x?

的最大值,并写出

x

相应的取值.

【解析】:(Ⅰ)因为 f (x) ? (sin x ? cos x)2 + cos 2x ? sin2 x ? 2sin x cos x ? cos2 x ? cos 2x

?1? sin 2x ? cos2x ( ) =1+ 2 sin(2x ? ? ) 4

所以, T ? 2? ? ? ,即函数 f (x) 的最小正周期为 ? 2

(Ⅱ)因为 0 ? x ? ? ,得 ? ? 2x ? ? ? 5? ,所以有 ? 2 ? sin(2x ? ? ) ? 1

24

44

2

4

?1 ? 2 sin(2x ? ? ) ? 2 ,即 0 ?1? 2 sin(2x ? ? ) ?1? 2

4

4

所以,函数 f ? x? 的最大值为1 ? 2

此时,因为 ? ? 2x ? ? ? 5? ,所以, 2x ? ? ? ? ,即 x ? ?

4

44

42

8


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