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2013年高考复习导数一轮导学案--函数单调性


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导数与函数单调性 ? 一、回顾: 将函数 y ? f ? ( x ) sin x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y ? 1 ? 2 sin
4

2

x的

图象,则 f ( x ) 是



(写出一个即可)

二、08~12 年江苏数学命题研究及 13 年走势分析 2012 年江苏省高考说明中, 《导数及其应用》属于必做题部分,其中导数的概念 是 A 级 要求,导数的几何意义,导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值,以及导数在实际 问题中的应用是 B 级要求. 导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系,导数 作为工具 在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最 密切的知识 之一,所以备受高考命题老师的重视. 2008 年 14 题考查 导数在函数单调性的综合运用 导数研究函数单调性 导数研究函数性质 指数函数、导数的几何意义 导数研究函数零点

2009 年 03 题考查 2010 年 14 题考查

2011 年 12 题考查 2012 年考查

导数— 导数作为新增内容应为考查的重点内容。利用导数刻划函数,或已知函数性质求 参数范围等,2008 年江苏考了一道“导数应用题”,理科加试考了“导数与定积分混合型” 题,2009 年未考大题。那么 2013 年仍应重视导数题的考查,以中档题为主。小题中两年都考 了三次函数,应该更加关注指、对数函数,三角函数的导数及相关的超越函数. 三、知识点梳理: 函数单调性: ⑴函数单调性的判定方法: 设函数 y 增函数;如果
f (x)
'

? f ( x ) 在某个区间内可导, 如果 f ( x )
'

>0, y 则

? f (x) 为

<0,则 y

? f ( x ) 为减函数.

⑵常数的判定方法; 如果函数 y 注:① 是都有
'

? f ( x ) 在区间 I

内恒有

f (x)

'

=0,则 y

? f ( x ) 为常数.

f (x)

>0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 y >0,有一个点例外即 x=0 时
f (x)
'

? 2x

3

在 ( ?? , ?? ) 上并不

f (x)

'

= 0,同样

f (x)

'

<0 是 f(x)递减的充分非

必要条件. ②一般地,如果
f (x)
'

在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负) ,那么 f(x)

在该区间上仍旧是单调增(或单调减)的. 经典体验:

1

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1.【07 广东 12】函数 f ( x ) ? x ln x ( x ? 0) 的单调递增区间是

.
.

2.函数 f ( x ) ?

1? x ? x 1? x ? x

2 2

在 [ 0 ,1] 上的最小值是

3.函数 y ? x ? 2 cos x 在区间[0, 经典讲练:

1 2

]上的最大值是

.

例:1.【2010·拉萨中学月考】函数 y ? f ( x ) 在定义域( ?

3 2

, 3 )内可导,其图象如图所示,

记 y ? f ( x ) 的导函数为 y ? f ' ( x ) ,则不等式 f ' ( x ) ? 0 的解集为__
2.【靖江六校 2011 一调】7.已知函数 y ? f ( x ) 在定义域 ( ?
3 2

____

, 3) 上可导, y ? f ( x ) 的图像如图,

记 y ? f ( x ) 的导函数 y ? f '( x ) ,则不等式 xf '( x ) ? 0 的解集是 __

_

___.

3.【聊城一中·文科】10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满 f (4) ? 1 . f ? ( x ) 为 f ( x ) 的导函数, 已知函数 y ? f ? ( x ) 的图象如图所示.若两正数 a , b 满足 f ( 2 a ? b ) ? 1 , 则 是 .
b?2 a?2

的取值范围

y
?1
? 3 2 ? 1 2 ? 1 3

1
7 3

3

O

x

例:2(2001 年天津卷) a ? 0 f ( x ) ? (I)求 a 的值;

e

x

?

a e
x

是 R 上的偶函数。

a

(II)证明 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数。

2

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变式练习 1.已知函数 f ( x ) ?

1 2

x ? a x ? ( a ? 1) ln x , a ? 1 .
2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ), x1 ? x 2
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? ?1.

2

,有

变式练习 2 求下列函数的最值. 1. y ?
1 ? ? ? ? x ? co s x , x ? ? , ? 2 2?; 2 ? ? ? ?

2. y ? x ? cos x , x ? ? ?
2

? ? ?
, 2 2? ?

例:3【2010 黄冈中学】若函数 f ( x ) ? 2 x ? ln x 在其定义域内的一个子区间 ( k ? 1, k ? 1) 内不 .
2

是单调函数,则实数 k 的取值范围是



.

变式练习 1【温州十校联合·理】22 已知函数 f ( x ) ?

1 2

x ? ln x ? ( a ? 4 ) x 在 (1, ? ? ) 上是增函
2

数.(I)求实数 a 的取值范围; 所以 a ? 2 . 变式练习 2【2010· 南京模拟】若函数 f ( x ) ? x ? a sin x 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围 为 ▲ . 变式练习 3【2007 年江苏 13】已知函数 f ( x ) ? x ? 1 2 x ? 8 在区间 [ ? 3, 3] 上的最大值与最小值分别
3

为 M , m ,则 M ? m ?

.32
x 2

? 变 式 练 习 4 【 2007 江 西 9 】 设 p : f ( x ) ? e ? ln x ? 2 x ? m x ? 1 在 (0, ? ) 内 单 调 递 增 , q : m ? ? 5 ,则 p 是 q 的
。必要不充分条件

3

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例4【兴化市戴南高级中学09模】19.已知函数 f ( x ) ? (1)求函数 f ( x ) 的最大值;

ln x x

?x

(2)设 m ? 0 ,求 f ( x ) 在 [ m , 2 m ] 上的最大值; (3)试证明:对 ? n ? N ,不等式 ln
?

1? n n

?

1? n n
2

恒成立.

变式练习【楚州中学 10—11 高二期末】20.已知函数 f ( x ) ? x ? b sin x ? 2 , ( b ? R ) ,且
2

对任意 x ? R ,有 f ( ? x ) ? f ( x ) . (1)求 b ; (2)已知 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ( x ? 1) ? a ln x 在区间(0,1)上为单调函数,求实数 a 的取值 范围. (3)讨论函数 h ( x ) ? ln( 1 ? x ) ?
2

1 2

f ( x ) ? k 的零点个数?(提示: [ln (1 ? x )] ' ?
2

2x 1? x
2

)

4


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