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1-1-1 构成空间几何体的基本元素 - 副本 - 副本


名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2

第一章 立体几何初步

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第一章

立体几何初步

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§ 1.1 空间几何体

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立体几何初步

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§1.1.1

构成空间几何体的基本元素

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自测自评

名师讲解

典例剖析

技能演练

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1.如果我们只考虑一个物体占空间部分的________和 ________,而不考虑其他因素,那么这个空间部分叫做一个 几何体. 2.长方体是由________个矩形(包括它的内部)围成,围 成长方体的各个矩形,叫做________,相邻两个面的公共 边,叫做________,棱和棱的公共点,叫做________.

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3.长方体有________个面,________条棱,________ 个顶点. 4.________、________、________是构成空间几何体 的基本元素.

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5.在几何中,可以把线看成________的轨迹,如果点 运动的方向始终不变,那么它的轨迹就是一条________,如 果点运动的方向时刻在变化,那么运动的轨迹是一条 ________.一条线运动的轨迹可以是________,面运动的轨 迹可以形成一个________.

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6.观察长方体的棱所在直线及面所在平面的位置关 系,可得到直线与平面的位置关系有________、________、 ________,直线AB和平面A′C′平行,记作________. 7.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,直线AA′与平 面AC垂直,A为垂足,记作________.直线AA′称作平面 AC的________,平面AC称作直线AA′的________.线段 AA′的长称作________.

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8.如果两个平面________,那么说这两个平面平 行.与两个平行平面垂直相交的线段的长度称作两个平面间 的________.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,称 作________.

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答案 1.形状 大小 2.六 长方体的面 长方体的棱 长方体的顶点 3.6 12 8 4.点 线 面 5.点运动 直线或线段 曲线或曲线的一段 一个面 几何体

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6.直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 直线AB∥平面A′C′ 7.直线AA′⊥平面AC 垂线 垂面 点A′到平面AC 的距离 8.没有公共点 距离 两个平面互相垂直

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自测自评
1.下列不属于构成几何体的基本元素的是( A.点 C.曲面 B.曲线 D.多边形 )

解析 故选D.

构成空间几何体的基本元素是点、线、面,

答案 D

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2.(2011· 福州八中期末考试)如图,平面的表示不正确的 是( )

A.平面α C.平面AC

B.平面AB D.平面ABCD

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解析 若利用平行四边形ABCD表示平面,则这个平面 通常用平行四边形的四个字母或两个相对顶点的字母来表 示,如平面ABCD或平面AC或平面BD,或用希腊字母α、β、 γ等来命名.

答案 B

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3.(2011· 福建师大附中期末考试)图①是由下面哪个平 面图形旋转得到的( )

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解析 作出图(1)所示几何体的轴截面图,结合选项可知 A正确.

答案 A

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4.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,与直线AB垂直的 平面是( )

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A.平面ABCD B.平面CDD′C′ C.平面A′B′C′D′ D.平面B′C′CB

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解析 由于AB⊥BC,AB⊥BB′,根据直线和平面垂直 的定义可知AB⊥平面B′C′CB.

答案 D

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名师讲解

1.构成几何体的基本元素 观察长方体和各种几何体的构成可以发现,一个几何体 是由点、线、面构成的,点、线、面是构成几何体的基本元 素.

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2.平面的概念与表示法 (1)平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的抽象概念,如以前学 过的“点”、“直线”、“集合”等概念都有这一特征.对 这一概念可从以下三个方面来理解: ①“平面”是平的;②“平面”是无厚度的;③“平 面”是无边界的,因此它可以向四周无限延伸.

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(2)平面的表示法 平面通常用平行四边形来表示,当平面水平放置时,通 常把平行四边形的锐角画成45° ,横边长画成邻边长的2 倍.画两个相交平面时,通常要画出它们的交线.当一个平 面被另一个平面遮住时,应把被遮住部分的线段画成虚线或 不画,以加强立体感,如下图所示.

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平面通常记为平面α,平面β,平面γ等,也可用表示平 面的平行四边形的四个顶点字母或两个相对顶点的字母来表 示,如平面ABCD或平面AC.

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3.对直线、平面、曲面的进一步理解 我们还可以从运动的观点来理解空间基本图形之间的关 系.流星划过夜空,给我们一种“点动成线”的视觉感 受.在几何中,可以把线看成点运动的轨迹,如果点运动的 方向始终不变,那么它的轨迹就是一条直线或线段;如果点 运动的方向时刻在变化,那么运动的轨迹是一条曲线或曲线 的一段;同样,一条线运动的轨迹可以是一个面,面运动的 轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体.(如下图)

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直线平行移动,可以形成平面或曲面,直线绕定点转 动,可以形成锥面.(如下图)

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如下图中的长方体(水平放置),通常记作长方体ABCD —A′B′C′D′.这个长方体可看成矩形ABCD上各点沿铅 垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何 体.

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典例剖析
题型1 考察平面概念 例1 关于平面,下列说法正确的是( A.平面是有形状的 B.平面的大小可以用面积来度量 C.平面可以用平行四边形来表示 D.任何一个平面图形都是一个平面 )

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解析 本题考查对平面的概念、性质、表示方法的理 解,解题的关键在于深入认识平面在空间中的无限延展性, 平面可以用平面图形来表示.

答案 C

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规律技巧 把握平面的概念的关键之处在于对平面的性 质的理解:无限延展,平滑,无厚度,无大小之分,可以用 平面图形来表示,例如可以用平行四边形、三角形、圆等图 形来表示平面.

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变式训练1 关于平面,下列说法正确的个数为(

)

①铺得很平的一张白纸可以表示一个平面;②平面可以 是三角形、矩形或平行四边形;③一个平面的厚度可以是 1cm;④一个平面可以把空间分成两部分;⑤平面是有边界 的;⑥平面是无限延展的. A.2 C.4 B.3 D.5

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解析 ④⑥正确.

答案 A

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题型2 长方体中的线面关系 例2 关于长方体ABCD-A1B1C1D1,下列说法正确的个 数是( )

①它有3组对面互相平行;②与AB垂直的棱只有AD, BC,AA1,BB1;③它可以看成矩形ABCD平移而成;④棱 AA1,BB1,CC1,DD1互相平行且相等. A.1 C.3 B.2 D.4

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解析 利用数形结合,根据长方体的特点进行判断.如 图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面 A1B1C1D1,面AA1D1D∥面BB1C1C,面ABB1A1∥面DCC1D1, 故①正确;与AB垂直的棱除AD,BC,AA1,BB1外,还有 B1C1,CC1,A1D1,DD1,故②是错误的;这个长方体可以 看作由矩形ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同的距离AA1

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所形成的几何体,故③是正确的;长方体的四条侧棱AA1, BB1,CC1,DD1平行且相等,故④正确.综上所述,①③④ 正确.

答案 C

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规律技巧 长方体是立体几何中的重要几何体,加强对 长方体的认识有助于进一步认识立体几何中点、线、面之间 的关系.

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变式训练2 (1)在长方体ABCD-A′B′C′D′中,与 直线AD平行的平面为( )

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A.平面ABB′A′ B.平面DCC′D′ C.平面ABCD D.平面B′C′CB (2)在长方体ABCD-A′B′C′D′中,与平面AB′平 行的平面为( ) B.平面ABCD D.平面CDD′C′

A.平面ADD′A′ C.平面BCC′B′

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解析 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,与直线AD 平行的平面有平面BCC′B′和平面A′B′C′D′,与平面 AB′平行的平面为平面CDD′C′.

答案 (1)D (2)D

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题型3 例3

线、面、体的生成

画出下图①②③中图形L围绕直线l旋转一周形成

的几何体.

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剖析 本题考查线动成面、面围成体的几何规律,根据 L和l的位置关系可以产生不同的曲面.

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解析 (1)L与l平行,旋转过程中L上各点与l的距离相 等,产生的曲面是圆柱面,如下图①所示. (2)L与l相交,旋转产生的曲面是以L与l的交点为顶点的 两个圆锥面,如下图②所示. (3)AB形成一个圆台面,AC形成一个圆锥面,BC形成一 个圆面,如下图③所示.

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规律技巧 如果直线与旋转轴平行,那么形成的旋转面 是圆柱面,如果直线与旋转轴斜交,那么形成的旋转面是圆 锥面,如果直线与旋转轴垂直,那么形成的旋转面是圆面.

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变式训练3 (2011· 福州期末模块测试)图①所表示的简 单组合体,可由下面某个图形绕对称轴旋转而成,这个图形 是( )

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解析 结合图甲的轴截面可知C选项正确.

答案 C

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题型4 立体图形的画法 例4 请给下列各图补上适当的虚线,使它们能比较直 观地看出是立体图形.

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剖析 本题主要考查立体几何中的空间想象能力和画图 能力.要想作好直观图,必须想象出实物形状. ①可看成平面β被α挡住一部分; ②可看成金字塔形; ③可看成是一个正方体,添加虚线即可.

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答案

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规律技巧 画好图是学习立体几何的基础,要充分利用 实物构造图形,如打开的书、教室的墙角、手中的笔和纸 等,就近取材,就会增强空间想象能力.立体几何中添加的辅 助线只要未被挡住就画成实线,被挡住就画成虚线.

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变式训练4 如图所示,把所给图形补成相交平面.

答案

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