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福建省莆田市仙游一中莆田六中2012-2013学年度上学期期末考高二数学理科试卷

福建省莆田市仙游一中莆田六中 2012-2013 学年度上学期期末考 高二理科数学试卷
(命题学校:仙游一中 命题人:陈学忠 满分:150 分 答卷时间:2 小时) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.命题“存在 R, 0”的否定是.( ) A.不存在 R, >0 B.存在 R, 0 C.对任意 R, 0 D.对任意 R, >0 2.抛物线 在点 处的切线方程是( ) A. B. C. D. 3.已知平面 的法向量是 ,平面 的法向量是 ,若 ,则 的值是( ) A. B.6 C. D. 4. 若抛物线 的左焦点重合,则 p 的值为( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 5.若双曲线 的离心率为 ,则双曲线的一条渐近线方程为( ) A. B. C. D. 6. 直三棱柱 中,若 , ,则异面直线 与 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 7.设 ,若函数 , ,有大于零的极值点,则( ) A. B. C. D. 8.椭圆 的长轴为 ,短轴为 ,将椭圆沿 轴折成一个二面角,使得 点在平面 上的射影恰好为椭圆的右焦点, 则该二面角的大小为( ) A.75° B.60° C.45° D.30° 9.设函数 是定义在 R 上的函数,其中 的导函数为 ,且满足 对于任意 恒成立,则( )

10. 为双曲线 上的一点, 、 是双曲线 的焦点,过双曲线 的一个焦点作 的平分线的垂线,设垂足为 , 则 点的轨迹是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. 抛物线 的焦点坐标为 . 12. 在正三棱柱 中, .若二面角 的大小为 ,则点 到平面 的距离为 . 13.设曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则 . 14. 若 点坐标为 , 是椭圆 的右焦点,点 是椭圆的动点, 则 的最小值是__ _ __. 15.记函数 的导数为 的导数为 的导数为 。若 可进行 n 次求导,则 均可近似表示为: , 其中 ,若取 ,根据这个结论,则可近似估计自然对数的底数 (用分数表示).
1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 已知命题 :方程 表示焦点在 轴上的椭圆,命题 :实数 满足 方程 为双曲线.若“ ”为假命题, ”为真命题,求实数 的取值范围. “

17. (本小题满分 13 分) 已知抛物线的顶点为椭圆 的中心.椭圆的离心率是抛物线离心率 的一半,且两曲线的焦点在同一坐标轴上.又抛物线与椭圆交于点 ,求抛物线 方程与椭圆方程.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 . (Ⅰ)求 的最小值; (Ⅱ)若对所有 都有 ,求实数 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分) 如图,三角形 PAB 是半圆锥 PO 的一个轴截面,PO=1,AB=2,四棱锥 的底面为正方形,且与圆锥 PO 的底 面共面. (Ⅰ)若 H 为圆锥 PO 的底面半圆周上的一点,且 ∥ ,连 AH,证明: ; (Ⅱ)在圆锥 PO 的底面半圆周上确定点 G 的位置, 使母线 PG 与平面 PCD 所成角的正弦值为 .

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 的左、右焦点为 、 ,上顶点为 A,直线 交椭圆于 . 如图所示沿 轴折起,使得平面 平面 . 点 为坐标原点. ( I ) 求三棱锥 的体积; (Ⅱ)图 2 中线段 上是否存在点 ,使得 ,若存在,请在图 1 中指出点 的坐标;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 . (1)当 时,求证:函数 在 上单调递增; (2)若函数 有三个零点,求 的值; (3)若存在 ,使得 ,试求 的取值范围.

2

仙游一中 2012-2013 学年度上学期期末考

高二理科数学答题卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二. 填空题 (本大题

共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将答案填在题后的横线上。 ) 11. 14. 12. 15. 13.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16.(本题满分 13 分)

17.(本题满分 13 分)

3

18.(本题满分 13 分)

19.(本题满分 13 分)

4

20.(本题满分 14 分) A F1
O

y y A F2 x
O

O

F1 B

O M
图2

F2

x

B
图1

21.(本题满分 14 分)

5

6

仙游一中 2012-2013 学年度上学期期末考

高二理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. D 2. C 3. C 4.. D 5. B 6. C 7. A 8. B 9. C 10. B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. (0,

1 ) 16

12.

3 4

13 . 2

14. 6 ? 10

15.

8 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 16. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ∴ m ? 2 ????3 分 解:∵ 方程 2 m x2 y2 ? ? 1 为双曲线, ∵方程 (m ? 4) x ? (m ? 2) y ? (m ? 4)(m ? 2) 为双曲线,即 m?2 m?4 ∴ (m ? 4)(m ? 2) ? 0 解得 m ? ?4或m ? ?2 ????6分
2 2

若“ p ? q ”为假命题, p ? q ”为真命题,则 p 、 q 恰有一真一假????8 分 “
(1)若“ p 真 q 假”则有: ?

?m ? 2 解得 m ? ? ; ????10 分 ?? 4 ? m ? ?2
?m ? 2 解得 m ? ?4或 ? 2 ? m ? 2 ??12 分 ?m ? ?4或m ? ?2

(2)若“ p 假 q 真”则有: ?

综上(1) (2)知,实数 m 的取值范围是 {m m ? ?4或 ? 2 ? m ? 2} ????13 分
17. (本小题满分 13 分)解:因为椭圆的焦点在 x 轴上,且两曲线的焦点在同一坐标轴上 所以抛物线的焦点也在 x 轴上,可设抛物线的方程为 y 2 ? ax(a ? 0)

2 6 2 2 2 2 6 ) ? a ?a ? 4 ? M ( ,? ) 在抛物线上? (? 3 3 3 3

? 抛物线的方程为 y 2 ? 4 x
4 24 2 2 6 ? M ( ,? ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 ? 1 9a 9b 3 3
由①②可得 a ? 4, b ? 3
2 2

????7 分



又e ?

c ? a

a2 ? b2 1 ? a 2
????13 分



? 椭圆的方程是

x2 y2 ? ?1 4 3

18. (本小题满分 13 分)解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为(0,+?), f ( x ) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

1 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e
7

从而 f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. 所以,当 x ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 1 时, f ( x ) 取得最小值 ? . e e

????6 分

(Ⅱ)依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, ?) 上恒成立, ? 即不等式 a ? ln x ? 则 g ?( x) ?

1 1 对于 x ?[1 ? ?) 恒成立. 令 g ( x) ? ln x ? , , x x

1 1 1? 1? 1? 1? ? 2 ? ?1 ? ? . 当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ? ?1 ? ? ? 0 , x x x? x? x? x?
所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 ,

故 g ( x) 是 [1,??) 上的增函数,

1] 从而 a 的取值范围是 (??, . ????13 分 19. (本小题满分 13 分)解:(Ⅰ)? H 为圆锥 PO 的底面圆周上的一点,? AH ? BH
又∵ BH ∥ OC ∴ AH ? OC ??????2 分

z

? PO ? 平面 ABCD, AH ? 平面 ABCD? PO ? AH

? PO ? OC ? O,? AH ? 平面 PCO,??????4 分
? PC ? 平面 PCO,? AH ? PC ??????5 分
G

y

x
??? ?

(Ⅱ)以 O 为原点,OA 方向为 x 轴,OP 方向为 z 轴建立空间直角坐标系,?????6 分 则 P(0,0,1), D(1, ?2,0), C(?1, ?2,0) , PD ? (1, ?2, ?1), PC ? (?1, ?2, ?1) ,????7 分

??? ?

??? ??? ? ? PD?n ? 0 ? x ? 2 y ? z ? 0 ? 设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则由 ? ??? 得? , ??? PC ?n ? 0 ?? x ? 2 y ? z ? 0 ? ? ? 取 y ? 1 得平面 PCD 的一个法向量为 n ? (0,1, ?2) ;??????9 分
, ? G 为圆锥 PO 的底面圆周上的一点,可设 G(cos? ,sin ? ,0)(0 ? ? ? ?) ??? ? ? PG ? n sin ? ? 2 ??? ? 10 ,??????11 分 PG=( ? ,sin ? , ?1) ,依题意得 ??? ? ? cos ? ? 4 2? 5 PG n 解得 sin ? ?

1 3 1 3 , , 0) ,? cos ? ? ? ,? 点 G 的坐标为 (? 2 2 2 2

?????13 分

x2 ? y 2 ? 1的顶点 A(0,1) , F1 (?1,0) , F2 (1,0) 20. (本小题满分 14 分)解:(Ⅰ)依题意得: 2
直线 AF : y ? x ? 1,联立方程组 ? 1

? y ? x ?1 ? x 2 ? 2( x ? 1)2 ? 2 ? 3x2 ? 4 x ? 0 x2 ? 2 y 2 ? 2 ?

8

x1 ? 0, x2 ? ?

4 3

4 1 1 1 1 1 ? B (? , ? ) ? S?F1BF2 ? ? F1 F2 ? yB ? ? 2 ? ? 3 3 2 2 3 3

又? 面 AF1F2 ? 面 BF F2 ,而 AO ? F1F2 ,面 AF1F2 ? 面 BF F2 ? F F2 , AO ? 面 AF F2 1 1 1 1

1 1 1 1 ? AO ? 面 BF1F2 ,即 AO 为锥 A ? F1F2 B 的高,故 VA? F1FB B ? S ?BF1F2 ? h ? ? ? 1 ? 3 3 3 9
?????7 分 (Ⅱ)假设存在点 M ,使得 AM ? OB ,由(Ⅰ)可知 AO ? 面 BF F2 ,而 BO ? 面 BF F2 1 1

? AO ? BO

又? AM ? AO ? A

? B O? 面 A O M

又? OM ? 面AOM

? BO ? OM , 故只需过 O 点作直线 ? 垂直于直线 BO 交 BF2 于 M , M 点即为所求.
在图 1 中,直线 ? 的方程为 y ? ?4 x ,直线 BF2 的方程为 x ? 7 y ? 1 ? 0 ,联立方程组

? y ? ?4 x 1 4 解得 M ( , ? ) ? 29 29 ? x ? 7 y ?1 ? 0

?????14 分

21. (本小题满分 14 分)解: (1) f ?( x) ? a x ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a x ?1)ln a 由于 a ? 1 ,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0, a x ? 1 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 , 故函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增 ?????3 分

(2)当 a ? 0, a ? 1 时,因为 f ?(0) ? 0 ,且 f ?( x ) 在 R 上单调递增, 故 f ?( x) ? 0 有唯一解 x ? 0 , 所以 x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表所示: x

(??, 0)
- 递减

0 0 极小值

(0, ??)
+ 递增

f ?( x ) f ( x)

又函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,所以方程 f ( x) ? t ? 1 有三个根, 而 t ? 1 ? t ? 1 ,所以 t ?1 ? ( f ( x))min ? f (0) ? 1 ,解得 t ? 2 (3)因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 , 所以当 x ?[?1,1] 时, | ( f ( x))max ? ( f ( x))min |? ( f ( x))max ? ( f ( x))min ? e ?1 由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 [?1,0] 上递减,在 [0,1] 上递增, 所以当 x ?[?1,1] 时, ( f ( x))min ? f (0) ? 1,( f ( x))max ? max ? f (?1), f (1)? ,
9

?????7 分

1 ? 2 ln a ,?????9 分 a 1 1 2 1 2 记 g (t ) ? t ? ? 2 ln t (t ? 0) ,因为 g ?(t ) ? 1 ? 2 ? ? ( ? 1) ? 0 (当 t ? 1 时取等号) , t t t t 1 所以 g (t ) ? t ? ? 2 ln t 在 t ? (0, ??) 上单调递增,而 g (1) ? 0 , t
而 f (1) ? f (?1) ? (a ? 1 ? ln a ) ? ( ? 1 ? ln a) ? a ? 所以当 t ? 1 时, g (t ) ? 0 ;当 0 ? t ? 1 时, g (t ) ? 0 , 也就是当 a ? 1 时, f (1) ? f (?1) ;当 0 ? a ? 1 时, f (1) ? f (?1) ????11 分 ① 当 a ? 1 时,由 f (1) ? f (0) ? e ? 1 即 a ? ln a ? e ? 1 , 令 h( x) ? x ? ln x, ( x ? 1) ,则 h ( x) ? 1 ?
'

1 a

1 x ?1 ? ?0, x x

∴函数 h(x) 在 (1,??) 上是增函数 ∴由 a ? ln a ? e ? 1 得 a ? e . ②当 0 ? a ? 1 时,由 f (?1) ? f (0) ? e ? 1 即

1 1 ? ln a ? e ? 1 ,同①解法解得 0 ? a ? . a e

综上知,所求 a 的取值范围为 a ? ? 0, ? ? ? e, ?? ? ??14 分 e

? ?

1? ?

10


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