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高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式课件 新人教A版

4.5 两角和与差的正弦、余 弦
与正切公式

知识梳理 双基自测
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β . (2)cos(α?β)= cos αcos β±sin αsin β . (3)tan(α±β)=1ta?ntan±ttaann.
2.二倍角公式 sin 2α= 2sin αcos α ; cos 2α= cos2α-sin2α = 2cos2α-1 = 1-2sin2α ; tan 2α=12-ttaann2.
-2-

知识梳理 双基自测

12345

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( √ )

(2)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意的. ( × )

(3)cos 80°cos 20°-sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=

cos 60°=12. ( × )
(4)cos θ=2cos22-1=1-2sin22. ( √ )

(5)11+-ttaann=tan

π 4

+



.(

×

)

-3-

知识梳理 双基自测

12345

2.sin 20°sin 80°-cos 160°cos 80°=(

A.-√23

B.√23

C.-12

解析 sin 20°sin 80°-cos 160°cos 80°

=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°

=sin(10°+20°)=sin 30°=

.

1 2

)D D.12

-4-

知识梳理 双基自测

12345

3.若 tan θ=-13,则 cos 2θ=

A.-45

B.-15

( D)

C.15

D.45

解析 (方法一)cos 2θ=cos2θ-sin2θ=ccooss22+-ssiinn22

=11+-ttaann22

=

11+

-13 -13

2 2

=

45.故选

D.

(方法二)∵tan θ=-13,∴csoins=-13,

即 3sin θ=-cos θ.

两边平方得 9sin2θ=cos2θ,

即 9×1-co2s2 = 1+c2os2,解得 cos 2θ=45.

-5-

知识梳理 双基自测

12345

4.已知 cos α=-35,α 是第三象限角,则 cos

π 4

+



的值为(

A

)

A.√102

B.-√102

C.71√02

D.-71√02

解析 因为 cos α=-35,α 是第三象限的角,

所以 sin α=-

1-cos2=-

1-

-

3 5

2=-45,

所以 cos

π 4

+



=cosπ4cos α-sinπ4sin α

=√22 ×

-

3 5

?

√2 2

×

-

4 5

= √102.

-6-

知识梳理 双基自测

12345

5.(2018 全国Ⅱ,文 15)已知 tan

-

5π 4

= 15,则 tan α=

3 2

.

解析

∵tan

-

5π 4

=

tan-tan54π 1+tantan54π

=

tan-1 1+tan

=

15,

∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=32.

-7-

考点1

考点2

考点3

考点 1 三角函数公式的基本应用

例 1(1)cos αsin



+

π 6

+sin αsin

-

π 3

=(

A

)

A.12

B.-12

C.√23

D.-√23

关(于2)y在轴平对面称直.若角si坐n α标=系13 ,x则Oyc中os(,角α-βα)与= 角-79β均以. Ox为始边,它们的终边

-8-

考点1

考点2

考点3

解析

(1)cos αsin



+

π 6

+sin αsin

-

π 3

=cos αsin



+

π 6

-sin αcos

-

π 3

+

π 2

=sin



+

π 6

cos α-cos



+

π 6

sin α

=sin



+

π 6

- =sinπ6 = 12,

故选 A.

(2)(方法一)因为角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,根据三角函数

定义可得 sin β=sin α=13,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+ sin

αsin β=-

2√2 3

2
+

1 3

2=-79.

(方法二)由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k

∈Z,

则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin2α-1=2×

1 3

2-9-- 1=-79.

考点1

考点2

考点3

解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中 要注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.

-10-

考点1

考点2

考点3

对点训练 1(1)已知 sin α=35,α∈

(2)若 tan

-

π 4

= 16,则 tan α=

π 2



7

5

,则√2scions2+ π4 .

=

解析

(1)∵sin α=35,α∈

π 2



,∴cos α=-45.

∴√2scions2+ π4

=
√2

cos2-sin2 22sin+ 22cos

=cos

α-sin

α=-75.

(2)(方法一)tan α=tan

-

π 4

+

π 4

=1t-atnan-π4-π4+·ttaannπ4π4
(方法二)∵tan

=

16+1 1-16×1

-

π 4

=

= 75.
tan-tanπ4 1+tan·tanπ4

=

tan-1 1+tan

=

16,

∴tan α=75,答案为75.

-75 .
-11-

考点1

考点2

考点3

考点 2 三角函数公式的逆用及变形用

例 2(1)coss2in115150°°-ssiinn22105°5°的值为( B )

A.-12

B.12

C.√23

D.-√23

(2)已知 θ∈

0,

π 4

,且 sin θ-cos θ=-√414,则c2ocsosπ42+-1=(

D

)

A.23

B.43

C.34

D.32

(3)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为

(B)

A.-√22

B.√22

C.12

D.-12

思考三角函数公式除了直接应用外,还能怎样应用?

-12-

考点1

考点2

考点3

解析 (1)coss2in115150°°-ssiinn22105°5°

=sin7co0s°31si0n°20°

=

cos20°sin20° cos50°

=

12sin40° sin40°

=

12.

(2)由 sin θ-cos θ=-√414,得 sin

π 4

-

= √47.

因为 θ∈

0,

π 4

,所以 0<π4-θ<π4,所以 cos

π 4

-

所以c2ocsosπ42+-1

=

cos2 sin π4-

sin
=
sin

π2-2 π4-

=

sin 2 sin

π4- π4-

= 34.

=2cos

π 4

-

= 32.

(3)由 tan Atan B=tan A+tan B+1,

可得1ta-tnan+ttaann=-1,即 tan(A+B)=-1,

所以 A+B=34π,则 C=π4,即 cos C=√22. -13-

考点1

考点2

考点3

解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟悉公式的 直接应用,还要熟悉公式的逆用及变形应用,如tan α+tan β= tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的 逆用和变形应用更能开拓思路,有利于从正向思维向逆向思维的转 化.

-14-

考点1

考点2

考点3

对点训练 2(1)(1+tan 18°)·(1+tan 27°)的值是( C )

A.√3

B.1+√2

C.2

D.2(tan 18°+tan 27°)

(2)1-√s3int1an01°0°=

1 4

.

(3)sin2

-

π 6

+sin2



+

π 6

-sin2α 的化简结果是

1 2

.

-15-

考点1

考点2

考点3

解析 (1)原式=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°

=1+tan 18°tan 27°+tan 45°(1-tan 18°tan 27°)=2,故选 C.

(2)1-√s3int1an01°0°

=

sin10°cos10° cos10°-√3sin10°

=
4

2sin10°cos10° 12cos10°- 23sin10°

=

sin20° 4sin(30°-10°)

=

14.

(3)原式=1-cos 22-π3

+

1-cos

2+π3 2

-sin2α

==11--12cosco2sα·c2os-π3-π3sin+2αcos

2

+

π 3

-sin2α

=1-cos22

?

1-cos2 2

=

12.

-16-

考点1

考点2

考点3

考点 3 三角函数公式运用中角的变换

例 3(1)若 0<α<π2,-π2<β<0,cos

π 4

+



= 13,cos

π 4

-

2

= √33,则

cos



+

2

等于(

C

)

A.√33

B.-√33

C.5√9 3

D.-√96

(2)已知 cos(α+β)=

cos -273299

2

=-19,sin .

2

-

= 23,且π2<α<π,0<β<π2,则

思考已知一个角或两个角的三角函数值,求另一角的三角函数

值的一般思路是什么?

-17-

考点1

考点2

考点3

解析

(1)cos



+

2

=cos

π 4

+



-

π 4

-

2

=cos

π 4

+



·cos

π 4

-

2

+sin

π 4

+



sin

π 4

-

2

.

∵0<α<π2,则π4 < π4+α<34π,

∴sin

π 4

+



= 2√32.

又-π2<β<0,则π4

<

π 4

?

2

<

π2,

∴sin

π 4

-

2

= √36.

故 cos



+

2

=

1 3

×

√3 3

+

2√2 3

×

√6 3

=

5√93.故选

C.

-18-

考点1

考点2

考点3

(2)由已知,得π2<α-2<π,0<2-β<π2,

∴sin

-

2

= 4√95,cos

2

-

= √35,

∴cos

+ 2

=cos

-

2

-

2

-

=cos

-

2

cos

2

-

+sin

-

2

·sin

2

-

=

-

1 9

×

√5 3

+

4√5 9

×

2 3

=

72√75.

则 cos(α+β)=2cos2

+ 2

-1=-273299.

-19-

考点1

考点2

考点3

解题心得1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知

角”表示.

(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和

或差的形式;

(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和

或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=+2 ?

2-,α=+2

+

- 2

,

- 2

=



+

2

?

2

+



等.

-20-

考点1

考点2

考点3

对点训练 3(1)已知锐角 α,β 满足 cos α=2√55,sin(α-β)=-35,则 sin β

的值为

.

关闭

(因1)为因(为s2i)n若(αα,β-cβo是)s=(锐7-35<角°0,,+即α)0=<13α,则<π2,c0o<sβ(3<0π2°,所-2以α)-的π2<值α-为β<π2.

.

5

所以 cos(α-β)=4.
5

因为 cos α=2√5,所以 sin α=√5,

5

5

故 sin β=sin[α-(α-β)]

=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)

=√5 × 4 + 3 × 2√5 = 2√5.

5 55 5

5

(2)cos(30°-2α)=cos(180°-150°-2α)=-cos(150°+2α)=-2cos2(75° 关闭

+(1α))2+√551=-(22×)7919+1=79.

解析-21- 答案


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