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高三数学上学期第三次月测试卷 文(含解析)_图文

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高三数学上学期第三次月测试卷 文(含解析)
编 辑:__________________ 时 间:__________________
20xx20xx学年××市荣昌中学高三(上)第三次月测数学试卷(文科)
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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A={y|y=2x,0≤x≤1},集合 B={1,2,3,4},则 A∩B 等于( ) A.{0,1} B.{1,2} C.{2,3} D.{0,1,2}
2.设 i 是虚数单位,若 z=cosθ +isinθ 且对应的点位于复平面的第二象限,则 θ 位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.下列判断错误的是( ) A.“am2<bm2”是“a<b”的充分不必要条件 B.命题“? x∈R,x3﹣x2≤0”的否定是“? x∈R,x3﹣x2﹣1>0” C.“若 a=1,则直线 x+y=0 和直线 x﹣ay=0 互相垂直”的逆否命题 D.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题
4.已知数列{an}中,a1=1,an=an﹣1+ (n≥2),则数列{an}的前 9 项和等于( )
A.27 B.25 C.23 D.21

5.若 x、y 满足不等式

,则 z=3x+y 的最大值为( )

A.11 B.﹣11

C.13 D.﹣13

6.在△ABC 中,G 为△ABC 的重心,设 = , = ,则 =( )

A.﹣ + B. ﹣

C.﹣ + D. ﹣

7.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.12 B.24 C.48 D.60

8.已知函数 f(x)=alog2x﹣blog3x+2,若 f( A.8 B.4 C.﹣4 D.0

)=4,则 f(20xx)的值为( )

9.在△ABC 中, =(cos16°,sin16°), =(2sin29°,2cos29°),则△ABC 面 积为( )
A. B. C. D.

10.函数 y=

的图象是( )

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A.

B.

C.

D.

11.函数 f(x)=sin(ω x+φ )(x∈R)(ω >0,|φ |< )的部分图象如图所示,如

果 x1、x2∈

,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于( )

A. B. C. D.1

12.定义

为 n 个正数 p1,p2,…,pn 的“均倒数”.若已知数列{an}的前 n

项的“均倒数”为

,又 bn=

,则

+

+…+

A. B. C. D.

=( )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上..

13.对任意非零实数 a、b,若 a?b 的运算原理如图程序框图所示,则 3?2=



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14.若直线 3x﹣4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)相交于 A,B 两点,且∠AOB=120°,(O 为

坐标原点),则 r=



15.已知△ABC 的三个顶点在同一个球面上,AB=6,BC=8,AC=10.若球心 O 到平面 ABC 的

距离为 5,则该球的表面积为



16.设 f(x)= x3+3x2+ax,若 g(x)= ,对任意 x1∈[ ,1],存在 x2∈[ ,2],使得

f′(x1)≤g(x2)成立,则实数 a 的取值范围为



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积.

18.某校夏令营有 3 名男同学,A、B、C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情况如表:

一年级

二年级

三年级

男同学

A

B

C

女同学

X

Y

Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)

(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;

(Ⅱ)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件

M 发生的概率.

19.已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且



(Ⅰ)求 a1 及数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设

,求数列{bn}的前 n 项和.

20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=4,AB=2DC=2 . (1)求证:BD⊥平面 PAD; (2)求三棱锥 A﹣PCD 的体积.

21.已知函数 f(x)=2x3﹣3x. (Ⅰ)求 f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值; (Ⅱ)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 选修 4-1:几何证明选讲
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22.如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA, D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD?DE=2PB2.
选修 4-4,坐标系与参数方程 23.(20xx?辽宁)将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得 曲线 C. (Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l:2x+y﹣2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 选修 4-5:不等式选讲 24.(20xx?新余二模)(C)已知函数 f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<|m﹣1|的解集非空,求实数 m 的取值范围.
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20xx-20xx 学年××市荣昌中学高三(上)第三次月测数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A={y|y=2x,0≤x≤1},集合 B={1,2,3,4},则 A∩B 等于( ) A.{0,1} B.{1,2} C.{2,3} D.{0,1,2} 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域;交集及其运算. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数的单调性化简集合 A,再利用交集运算即可得出. 【解答】解:∵0≤x≤1,∴1≤2x≤2,∴A={x|1≤x≤2}. 又集合 B={1,2,3,4}, 则 A∩B={1,2}, 故选:B. 【点评】本题考查了指数函数的单调性、交集运算,属于基础题.

2.设 i 是虚数单位,若 z=cosθ +isinθ 且对应的点位于复平面的第二象限,则 θ 位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】通过点(cosθ ,sinθ )位于复平面的第二象限,即得结论. 【解答】解:∵z=cosθ +isinθ 对应的点坐标为(cosθ ,sinθ ), 且点(cosθ ,sinθ )位于复平面的第二象限,



,∴θ 为第二象限角,

故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,考查三角函数值的符号,注意解题方法的积累,属于 中档题.

3.下列判断错误的是( ) A.“am2<bm2”是“a<b”的充分不必要条件 B.命题“? x∈R,x3﹣x2≤0”的否定是“? x∈R,x3﹣x2﹣1>0” C.“若 a=1,则直线 x+y=0 和直线 x﹣ay=0 互相垂直”的逆否命题 D.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;对应思想;数学模型法;简易逻辑. 【分析】由充分必要条件的判断方法判断 A;写出全称命题的否定判断 B;由互为逆否命题 的两个命题共真假判断 C;由复合命题的直接判断判断 D.
【解答】解:由 am2<bm2,两边同时乘以 得 a<b,反之,由 a<b,不一定有 am2<bm2,
如 m2=0. ∴“am2<bm2”是”a<b”的充分不必要条件.故 A 正确; 命题“? x∈R,x3﹣x2≤0”的否定是“? x∈R,x3﹣x2﹣1>0”.故 B 正确; “若 a=1,则直线 x+y=0 和直线 x﹣ay=0 互相垂直”正确,其逆否命题正确; 若 p∧q 为假命题,则 p,q 中至少一个为假命题.故 D 错误. 故选:D. 【点评】本题考查命题的自己判断与应用,考查了复合命题的真假判断,考查命题的否定 和逆否命题,训练了充分必要条件的判断方法,是基础题.

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4.已知数列{an}中,a1=1,an=an﹣1+ (n≥2),则数列{an}的前 9 项和等于( )
A.27 B.25 C.23 D.21 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;方程思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】由已知得数列{an}是首项 a1=1,公差 an﹣an﹣1= 的等差数列,由此能求出数列{an}
的前 9 项和. 【解答】解:∵数列{an}中,a1=1,an=an﹣1+ (n≥2),
∴数列{an}是首项 a1=1,公差 an﹣an﹣1= 的等差数列,
∴数列{an}的前 9 项和: =27.
故选:A. 【点评】本题考查数列的前 9 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列 的性质的合理运用.

5.若 x、y 满足不等式

,则 z=3x+y 的最大值为( )

A.11 B.﹣11

C.13 D.﹣13

【考点】简单线性规划.

【专题】不等式的解法及应用.

【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据 z 的几何意义,利用数形结合即可得到最大

值.

【解答】解:不等式组对应的平面区域如图:

由 z=3x+y 得 y=﹣3x+z,

平移直线 y=﹣3x+z,则由图象可知当直线 y=﹣3x+z 经过点 A 时直线 y=﹣3x+z 的截距最大,

此时 z 最大,

此时 M=z=3× +5× =17,由



解得

,即 A(4,﹣1),

此时 z=3×4﹣1=11, 故选:A.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的 关键.
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6.在△ABC 中,G 为△ABC 的重心,设 = , = ,则 =( )

A.﹣ + B. ﹣

C.﹣ + D. ﹣

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【专题】数形结合;数形结合法;平面向量及应用. 【分析】根据题意,画出图形,结合图形,利用平面向量的线性运算即化简出结论. 【解答】解:△ABC 中,G 为△ABC 的重心, 如图所示:

∵ =, ∴=

=,

=( ﹣ )

=( ﹣ )

=﹣

=﹣.
故选:C. 【点评】本题考查了平面向量的线性运算问题,也考查了三角形的重心性质的应用问题, 是基础题目.

7.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.12 B.24 C.48 D.60 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;转化思想;数形结合法;推理和证明. 【分析】由三视图可知该几何体是:底面是一个直角三角形的三棱柱,切去一个三棱锥得 到的.利用所给数据可计算出答案. 【解答】解:由三视图可知该几何体是:底面是一个直角三角形的三棱柱,切去一个三棱 锥得到的,

∴V=



=12.

故选:A. 【点评】由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键.

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8.已知函数 f(x)=alog2x﹣blog3x+2,若 f( )=4,则 f(20xx)的值为( )

A.8 B.4 C.﹣4 D.0 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】求出 alog220xx﹣blog320xx 的值,化简求解即可.

【解答】解:函数 f(x)=alog2x﹣blog3x+2,若 f(

)=4,

可得 alog2

﹣blog3

+2=4,

可得 alog220xx﹣blog320xx=﹣2, f(20xx)=alog220xx﹣blog320xx+2=﹣2+2=0. 故选:D. 【点评】本题考查函数值的求法,对数函数的运算法则的应用,考查计算能力.

9.在△ABC 中, =(cos16°,sin16°), =(2sin29°,2cos29°),则△ABC 面 积为( )
A. B. C. D.
【考点】向量在几何中的应用. 【专题】向量法;平面向量及应用. 【分析】根据向量 , 的坐标及两角和的正弦公式、向量夹角的余弦公式便可求出 cos∠B,从而求出 sin∠B,而△ABC 的两边 BA,BC 的长度可以求出,从而根据三角形的面 积公式便可求出△ABC 的面积.
【解答】解:cos∠B=

=









=



故选 A. 【点评】考查向量夹角余弦的坐标公式,两角和的正弦公式,sin2α +cos2α =1,以及三角

形的面积公式:S=



10.函数 y=

的图象是( )

A.

B.

C.

D. 【考点】函数的图象.

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【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值法,即可判断

【解答】解:∵y=

为偶函数,

∴图象关于 y 轴对称,排除 A,C,

当 x= 时,y=

<0,排除 D,

故选:B 【点评】本题考查了函数的图象的识别,属于基础题

11.函数 f(x)=sin(ω x+φ )(x∈R)(ω >0,|φ |< )的部分图象如图所示,如

果 x1、x2∈

,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于( )

A. B. C. D.1 【考点】由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】通过函数的图象求出函数的周期,利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相, 得到函数的解析式,利用函数的图象与函数的对称性求出 f(x1+x2)即可. 【解答】解:由图观察可知,T=2×( + )=π , ∴ω = =2, ∵函数的图象经过(﹣ ,0), ∴可得:0=sin(﹣ +φ ), ∵|φ |< , ∴可解得:φ = , ∴f(x)=sin(2x+ ),x1+x2=2× = ,
∴f(x1+x2)=sin = . 故选:C. 【点评】本题考查三角函数的解析式的求法,函数的图象的应用,函数的对称性,考查计 算能力,属于中档题.
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12.定义

为 n 个正数 p1,p2,…,pn 的“均倒数”.若已知数列{an}的前 n

项的“均倒数”为

,又 bn=

,则

+

+…+

=( )

A. B. C. D.

【考点】数列的求和. 【专题】新定义;等差数列与等比数列. 【分析】首先根据信息建立等量关系,进一步求出数列的通项公式,最后利用裂项相消法 求出结果.

【解答】解:定义

为 n 个正数 p1,p2,…,pn 的“均倒数”.

所以:已知数列{an}的前 n 项的“均倒数”为 ,

即:

=,

所以 Sn=n(2n+3) 则 an=Sn﹣Sn﹣1=4n+1, 当 n=1 时,也成立. 则 an=4n+1.

由于 bn=

=2n+1,

所以

=

= ( ﹣ ),



+

+…+

= ( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ )

= ( ﹣ )= .
故选:A. 【点评】本题考查的知识要点:信息题型的应用,数列通项公式的求法,利用裂项相消法 求数列的和.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.对任意非零实数 a、b,若 a?b 的运算原理如图程序框图所示,则 3?2= 2 .

【考点】程序框图. 【专题】新定义.

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【分析】根据 a?b 的运算原理知 a=3,b=2,通过程序框图知须执行
【解答】解:由题意知,a=3,b=2; 再由程序框图得,3≤2 不成立, 故执行 ,

,故把值代入求解.

得到 3?2= =2.
故答案为:2. 【点评】本题考查了根据程序框图求值,利用给出的新的运算法则,通过条件结构的条件 判断应该执行那条路径,再代入数值求解.

14.若直线 3x﹣4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)相交于 A,B 两点,且∠AOB=120°,(O 为 坐标原点),则 r= 2 . 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆. 【分析】若直线 3x﹣4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)交于 A、B 两点,∠AOB=120°,则△AOB
为顶角为 120°的等腰三角形,顶点(圆心)到直线 3x﹣4y+5=0 的距离 d= r,代入点到

直线距离公式,可构造关于 r 的方程,解方程可得答案. 【解答】解:若直线 3x﹣4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 且∠AOB=120°,

则圆心(0,0)到直线 3x﹣4y+5=0 的距离 d=rcos

= r,



= r,

解得 r=2, 故答案为:2. 【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质,其中分析出圆心(0,0)到直线 3x﹣
4y+5=0 的距离 d= r 是解答的关键.

15.已知△ABC 的三个顶点在同一个球面上,AB=6,BC=8,AC=10.若球心 O 到平面 ABC 的 距离为 5,则该球的表面积为 200π . 【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;球. 【分析】关键题意,画出图形,结合图形,求出球的半径 R,即可计算球的表面积. 【解答】解:如图所示: ∵AB=6,BC=8,AC=10.∠ABC=90°, ∴取 AC 的中点 M,则球面上 A、B、C 三点所在的圆即为⊙M,连接 OM, 则 OM 即为球心到平面 ABC 的距离,
在 Rt△OAM 中,OM=5,MA= AC=5,

∴OA=5 ,即球 O 的半径为 5 ∴球 O 的表面积为 S=4π ? 故答案为:200π .

. =200π .

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【点评】本题考查了球的体积的计算问题,解题的关键是根据条件求出球的半径,是基础 题目.
16.设 f(x)= x3+3x2+ax,若 g(x)= ,对任意 x1∈[ ,1],存在 x2∈[ ,2],使得
f′(x1)≤g(x2)成立,则实数 a 的取值范围为 (﹣∞,﹣ ] .
【考点】导数的运算;函数的值域. 【专题】配方法;转化法;函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】先将问题等价为:f'(x)max≤g(x)max,再分别对二次函数和指数函数在相应区 间上求最值. 【解答】解:根据题意,要使得 f'(x1)≤g(x2)成立, 只需满足:f'(x)max≤g(x)max, 而 f'(x)=x2+6x+a=(x+3)2+a﹣9,x∈[ ,1],
所以,f'(x)max=f(1)=a+7, g(x)= ,x∈[ ,2],函数单调递减,
所以,g(x)max=g( )= ,
因此,a+7≤ ,解得 a≤﹣ ,
所以,实数 a 的取值范围为:(﹣∞,﹣ ],
故答案为:(﹣∞,﹣ ].
【点评】本题主要考查了不等式有解和恒成立的综合问题,涉及二次函数和指数函数的单 调性和值域,以及导数的运算,属于中档题.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】三角函数的求值. 【分析】(1)在三角形 BCD 中,利用余弦定理列出关系式,将 BC,CD,以及 cosC 的值代 入表示出 BD2,在三角形 ABD 中,利用余弦定理列出关系式,将 AB,DA 以及 cosA 的值代入 表示出 BD2,两者相等求出 cosC 的值,确定出 C 的度数,进而求出 BD 的长; (2)由 C 的度数求出 A 的度数,利用三角形面积公式求出三角形 ABD 与三角形 BCD 面积, 之和即为四边形 ABCD 面积. 【解答】解:(1)在△BCD 中,BC=3,CD=2,
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由余弦定理得:BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC=13﹣12cosC①, 在△ABD 中,AB=1,DA=2,A+C=π , 由余弦定理得:BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②, 由①②得:cosC= ,
则 C=60°,BD= ; (2)∵cosC= ,cosA=﹣ ,
∴sinC=sinA= ,
则 S= AB?DAsinA+ BC?CDsinC= ×1×2× + ×3×2× =2 .

【点评】此题考查了余弦定理,同角三角函数间的基本关系,以及三角形面积公式,熟练 掌握余弦定理是解本题的关键.

18.某校夏令营有 3 名男同学,A、B、C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情况如表:

一年级

二年级

三年级

男同学

A

B

C

女同学

X

Y

Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)

(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;

(Ⅱ)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件

M 发生的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【专题】概率与统计.

【分析】(Ⅰ)用表中字母一一列举出所有可能的结果,共 15 个.

(Ⅱ)用列举法求出事件 M 包含的结果有 6 个,而所有的结果共 15 个,由此求得事件 M 发

生的概率.

【解答】解:(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果有:(A,B)、(A,C)、(A,

X)、(A,Y)、(A,Z)、

(B,C)、(B,X)、(B,Y)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y)、(C,Z)、(X,Y)、

(X,Z )、(Y,Z),共计 15 个结果.

(Ⅱ)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,

则事件 M 包含的结果有:(A,Y)、(A,Z)、(B,X)、(B,Z)、(C,X)、(C,

Y),共计 6 个结果,

故事件 M 发生的概率为 = .

【点评】本题考主要查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件, 列举法,是解决古典概型问题的一种重要的解题方法,属于基础题.

19.已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且



(Ⅰ)求 a1 及数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设

,求数列{bn}的前 n 项和.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】计算题;转化思想;作差法;等差数列与等比数列.

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【分析】(Ⅰ)由 a1=S1=,an=Sn﹣Sn﹣1,化简整理,即可得到所求;

(Ⅱ)

,运用错位相减法,结合等比数列的求和公式计算即可得到.

【解答】解:(Ⅰ)



当 n=1 时,可得 4a1=4S1=a12+2a1,

解得 a1=2,



,n 用 n﹣1 代,

两式相减得



得 an=2n.对 n=1 也成立.

则数列{an}的通项公式为 an=2n;

(Ⅱ)



错位相减法可以得 Sn=2?3+4?32+…+2n?3n, 3Sn=2?32+4?33+…+2n?3n+1, 两式相减可得,﹣2Sn=2(3+32+…+3n)﹣2n?3n+1

=2(

﹣2n?3n+1,

化简可得 Sn=(n﹣ )?3n+1+ .
【点评】本题考查数列的通项和求和的关系,考查数列的求和方法:错位相减法,及等比 数列的求和公式的运用,属于中档题.

20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=4,AB=2DC=2 . (1)求证:BD⊥平面 PAD; (2)求三棱锥 A﹣PCD 的体积.

【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】证明题;综合题;转化思想. 【分析】(1)在△ABD 中,推出 AD⊥BD.通过平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD? 平面 ABCD,证明 BD⊥平面 PAD. (2)过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O.说明 PO⊥平面 ABCD.在 Rt△ABD 中,求出斜边 AB 边上的

高为

,求出 S△ACD.然后求出 V =V A﹣PCD P﹣ACD

【解答】(1)证明:在△ABD 中,由于 AD=2,BD=4,



∴AD2+BD2=AB2∴AD⊥BD.(2 分)

又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD? 平面 ABCD,

∴BD⊥平面 PAD.(5 分)

(2)解:过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O.

又平面 PAD⊥平面 ABCD,∴PO⊥平面 ABCD.(7 分)

∵△PAD 是边长为 2 的等边三角形,



.由(1)知,AD⊥BD,在 Rt△ABD 中,

斜边 AB 边上的高为

.(9 分)

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∵AB∥DC,∴ ∴

. .(12 分)

【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转 化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
21.已知函数 f(x)=2x3﹣3x. (Ⅰ)求 f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值; (Ⅱ)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)求导并令导数为 0,从而求出极大值与端点时的函数值,从而得到最大值; (Ⅱ)设出切点,由斜率的两种表示得到等式,化简得三次函数,将题目条件化为函数有 三个零点,得解.
【解答】解:(Ⅰ)令 f′(x)=6x2﹣3=0 解得,x=± ,

则 f(x)在 x=﹣ 时取得极大值,

∵f(﹣ )= ,f(1)=2﹣3=﹣1,

则 f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值为 . (Ⅱ)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x,2x3﹣3x),



=6x2﹣3,

化简得,4x3﹣6x2+3+t=0, 令 g(x)=4x3﹣6x2+3+t, 则令 g′(x)=12x(x﹣1)=0, 则 x=0,x=1. g(0)=3+t,g(1)=t+1, 又∵过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切, 则(t+3)(t+1)<0, 解得,﹣3<t<﹣1. 【点评】本题考查了导数的综合应用,同时考查了斜率的表示方法,用到函数零点个数的 判断,属于难题.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA, D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,证明: (Ⅰ)BE=EC;

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(Ⅱ)AD?DE=2PB2.
【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的判定. 【专题】选作题;立体几何. 【分析】(Ⅰ)连接 OE,OA,证明 OE⊥BC,可得 E 是 的中点,从而 BE=EC; (Ⅱ)利用切割线定理证明 PD=2PB,PB=BD,结合相交弦定理可得 AD?DE=2PB2. 【解答】证明:(Ⅰ)连接 OE,OA,则∠OAE=∠OEA,∠OAP=90°, ∵PC=2PA,D 为 PC 的中点, ∴PA=PD, ∴∠PAD=∠PDA, ∵∠PDA=∠CDE, ∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°, ∴OE⊥BC, ∴E 是 的中点, ∴BE=EC; (Ⅱ)∵PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C, ∴PA2=PB?PC, ∵PC=2PA, ∴PA=2PB, ∴PD=2PB, ∴PB=BD, ∴BD?DC=PB?2PB, ∵AD?DE=BD?DC,
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