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高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《1.1.1 正弦定理》教案


高二数学 教·学案
主备人: 执教者: 课题:1 . 1 . 1 正 弦 定 理 【学习目标】 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法。 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

【学习重点】正弦定理的探索和证明及其基本应用。 【学习难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】新授课 【教 具】课件、电子白板 【学习方法】
【学习过程】 个性设计

一、引入:
固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着 顶点 C 转动。思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大 小的增大而增大。能否用一个等式把这种关 系精确地表示出来?

二、新课学习:
在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角 与边的等式关系。如图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三

a ? sin A , c b c , 则 ? sin B , 又 sinC ? 1 ? c c a b c ? ? ? c ,从而在直角三 sin A sin B sinC a b c ABC 中, ? ? sin A sin B sinC
角函数中正弦函数的定义,有

角 形

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当 ? ABC 是锐角三角形时, 设边 AB 上的高是 CD, 根据任意角三角函数的定义, 有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

sin B ? ??? ? ? 证法二) :过点 A 作 j ? AC ,
由向量的加法可得 则

?

b

, 从而

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

AB ? AC ? CB
? ??? ?

???

??? ??? ?

j ? AB ? j ?(AC ? CB )
∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

? ??? ??? ? ?

? ??? ?

? ??? ? ??? ? ? ?

? ? j

高二数学 教·学案
? ??? ? ? ??? ? j AB cos?900 ? A? ?0 ? j CB cos?900 ?C ?
∴ c sin A ? a sin C ,即

a c ? sin A sin C

? ??? ? 同理,过点 C 作 j ? BC ,可得
从而

b c ? sin B sin C

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己 推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一 正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a

sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c

sinC

?

b
sin B



a

sin A

?

c
sin C

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如

sin A ? sin B 。
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。

a b

三、特例示范:
例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。 例 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到 10 , 边长精确到 1cm)(注意:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有 。 两解的情形。 )

四、当堂练习:
第 5 页 练习第 1(1) 、2(1)题。 [补充练习]已知 ? ABC 中, sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,求 a :b :c (答案:1:2:3)

五、本节小结:
(1)定理的表示形式:

a

sin A sin B sinC 或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0)
(2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。

?

b

?

c

?

a ? b ?c ? k ? k ? 0? ; sin A ? sin B ? sinC

六、作业布置:学案 1.1.1


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