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线面垂直、面面垂直的性质与判定定理


直线与平面垂直的性质

温故知新 直线与平面垂直定义: 如果直线 l 与平面 ? 内 的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直。

直线与平面垂直判定定理: 一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直,则该 直线与此平面垂直.

线面垂直则线线垂直。

线线垂直则线面垂直。

直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言:
a b

a ? ? , b ? ? ? a / /b

α

线面垂直关 系

线线平行关 系

平面与平面垂直的性质

温故知新
面面垂直的判定方法: 1、定义法: 找二面角的平面角 2、判定定理: 要证两平面垂直, 只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。

说明该平面角是直角。

(线面垂直?面面垂直)

知识探究:

思考1:如果平面α 与平面β 互相垂直, 直线l在平面α 内,那么直线l与平面β 的位置关系有哪几种可能?
α l α l α l β β β

平行

相交

线在面内

知识探究:

思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直,在黑板上是否存在直线与地面垂直? 若存在,怎样画线?
α

β

证明问题: CD ? ? ? ? ?,? ? ? ? AB, CD ? ? , 且CD ? AB. 求证: 已知: α
C D β

发展条件
B
E

转化结论

证明: 在平面β内过D作直线 DE ⊥AB

A

则?CDE是二面角? - AB ? ?的平面角
由? ⊥β 得CD ⊥ DE 又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β

平面与平面垂直的性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
符号语言:
β a l α A

? ?? ? ? ? ? ? ? l? ? ? a ?? a?? ?
a?l ? ?

作用: 面面垂直?线面垂直

垂直体系 线线垂 直
判定 定义

线面垂直

判定

面面垂直

性质

问题2 ? ? ? , a ? ? , a ? ? , 判断a与? 位置关系
α a l

a // ?

问题3: β 思考:已知平面 ?,?,直线a, 且? ? ? , ? ? ? ? AB, a // ? , a ? AB, 试判断直线a与平面?的位置关系。

α
A

a

β
B

a⊥β

例3 ? ? ? , a ? ? , a ? ? , 判断a与? 位置关系
证明:设

? ?? ?l
b

α

a // ?
a

在α内作直线b⊥l
β ? ?? ? ? ? ? ? ? l? ? ?b?? ? b ?? ? 又a ? ? ? ? a // b ? ? ?

l

线面垂直 性质

b?l

? ?

面面垂直性质

b ? ? ? ? a // ? ? a ???

变式:

思考:已知平面 ?,?,直线a, 且? ? ? , ? ? ? ? AB, a // ? , a ? AB, 试判断直线a与平面?的位置关系。
α

a⊥β

b

a
B

证明:过a作平面γ 交?于b, 因为直线a//?,所以a//b
β

γ A

又因为a⊥AB,所以b⊥AB

又?⊥β ,?∩β =AB

辅助线(面): 所以b⊥β 发展条件的使解题过 进而a⊥ β 程获得突破的

【课后自测】4、如图,已知SA⊥平面ABC,

平面SAB⊥平面SBC,求证:AB⊥BC 证明:过点A作AD⊥SB于D, S ∵平面SAB⊥平面SBC, 平面SAB∩平面SBC=SB, ∴AD⊥平面SBC A ∵BC ?平面SBC

C

∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC,BC ? 平面ABC B ∴SA⊥BC “从已知想性质,从求证 ∵SA∩AD=A, 想判定”这是证明几何问 ∴BC⊥平面SAB 题的基本思维方法. ∵AB ? 平面ABC ∴AB⊥BC

课堂小结

从已知想性质,从求证想判定 1、证题原则: 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系 面面平行 线面关系 线面平行 线线关系 线线平行

注意辅助线的作用

空间问题平面化
面面垂直
线面垂直 线线垂直


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