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高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法(第1课时)教案新人教A版必修5

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一、教学目标:

3.1 不等关系与不等式(2)

1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式方

法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想 方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力;

2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不与相

应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法;

3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系

的辩证思想。 二、教学重点与难点:
重点;从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。

难点;理 解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

三、教学模式与教法、学法

教学模式 :本课采用“探究——发现”教学模式.

教师的教法:利用多媒体辅助教学,突出活动的组织设计与方法的引导. “抓三线”,即(一)知识技能线(二)过程与方法线(三)能力线.

“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点.

学法:突出探究、发现与交流.
四、教学过程 教学环节 教学内容

师生活动

设计意图

(一)创设情景,引入新课。

复 习 旧 知 学校要在长为 8,宽为 6 的一块长方形

识,引入新 知

地面上进行绿化,计划四周种花卉,花 卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中 阴影部分)为了美观,现要求草坪的种

回顾知识,提出问题,激发学 生学习的兴趣。

由复习引 入,通过数学知 识的内部发现

植面积超过总面积的

问题。

一半,此时花卉带的宽

度的取值范围是什么?

1

二、知识探究: 问题探究一 三个“二次”之间的联

x 3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

归纳抽象 形成概念

系 问题 下图是函数 y=x2-7x+6 的图, 对应值表:

比较分析, 深化认识

培养学生分

则方程 x2-7x+6=0 的解集为



不 等 式 x2 - 7x+6>0 的 解 集





不等式 x2-7x+6<0

析,抽象能力、 感受发现和推 导过程。

的解集为 ;通过上面的例子,我们可

以得出以下结论:

(1)从函数的观点来看:

一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的

解集,就是二次函数 y=ax2+bx+c

(a>0)的图象在

部分的

点的横坐标 x 的集合;ax2+bx+c<0

(a>0)的解集,就是二次函数 y=ax2+

让学生主动观察、思考、讨论 的氛围.在教师的指导下,一方 面让学生经历从特殊到一般, 从已知到未知,步步深入的过 程,让学生自己感受生活中的 不等关系,体会数学化的过程。

bx + c (a>0) 的 图 象 在

部分的点的横坐标 x 的集合.

(2)从方程的观点来看:

一元二次方程的根是二次函数的图象



的横坐标,一元二次不等

式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集,就是

的实数的集合;ax2+bx+c<0 (a>0)的

解集,就是 的实数的集合.一元二次

方程的根是对应的一元二次不等式解

集的端点值.

问题探究二 一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解集与一元二次方 程的根以及二次函数的图象之间的关 系

由特殊到一般,使学生自己探 索一元二次不等式的解与一元 二次函数的图像及一元二次方

? ? b2 ? 4ac

? ? 0 ? ? 0 程? 根? 0的关系。让学生自己建构
知识体系

2

二次函数
y ? ax2 ? bx ? c

(a ? 0) 的图像
一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0
(a ? 0) 的根
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集 三、典例分析: 例 1 ( 课 本 第 78 页 ) 求 不 等 式

培养学生善于 联想,体会知识 间的内在联系, 从而加深对等 差数列及其性 质的理解。

4x2 ? 4x ?1 ? 0 的解集.

解:因为

?

?

0

,

方程

4x2

?

4x

?1

?

0 的解是

x1

?

x2

?

1 2

.

所以,原不等式的解集是 ??x ?

x

?

1?

2

? ?

例 2(课本第 78 页)解不

引导学生共同分析解决问题, 熟悉并强化理解。

等式 ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 .

解:整理,得 x2 ? 2x ? 3 ? 0 .

因为 ? ? 0 , 方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 无实

数解,所以不等式 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 的

解集是 ? .从而,原不等式的解集是 ? .

课堂练习
1:不等式 x2 ? bx ? c ? 0 的解集为

学生分组讨论自主探究,教师 巡视指导,作出评价。

引导学生通过 自主分析思考、

3

{x | x ? 3或x ? ?1},求 b 与 c
变式 1:不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集
为 {x | ?2 ? x ? 1} 求 ax2 ? bx ? 2 ? 0
的解集
变式 2:若不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解
集为{x | ?2 ? x ? 1},求关于 x 的不等
式 cx2 ? bx ? a ? 0 的解集.
2、解关于 x 的一元二次不等式:ax2+ (a-1)x-1>0. 五、课堂小结:

小结 利用根与系数关系寻找 根之间的联系,借此求出方程 的根,其中观察根与系数关系 的结构变化是解题的关键.
小结 解 ax2+bx+c>0 或 ax2 +bx+c<0 不等式时要注意对 参数分类讨论.讨论一般分为 三个层次,第一层次是二次项 系数为零和不为零;第二层次 是有没有实数根的讨论,即判 别式 Δ >0,Δ =0,Δ <0;第三 层次是根的大小的讨论.

合作交流解决 问题,培养良好 的学习习惯和 能力。

解一元二次不等式的步骤:

① 将二次项系数化为“+”:

A= ax2 ? bx ? c >0(或<0)(a>0) ② 计 算判别式 ? ,分析不等式的解
的情况:

ⅰ. ? >0 时 , 求 根 x1 < x2 ,

?若 A ??若A

? ?

0,则x ? x1或 0,则x1 ? x ?

? x2

x2; .

ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x2 = x0 ,

引导学生学会自己总结,让学 生进一步体会知识的形成、发 展、完善的过程.

?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ??若A ? 0,则x ??; ??若A ? 0,则x ? x0.
ⅲ. ? <0 时 , 方 程 无 解 ,

?若A ? 0,则x ? R; ??若A ? 0,则x ??.

③ 写出解集.

4

课后作业

1.课本 P80 习题 3.2 A 组 第 1\、2、题 2. 配套练习

学生课后完成.

进一步对所学 知识巩固深化。

5


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