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2011年湖北省黄冈中学自主招生考试数学试卷1


2011 年湖北省黄冈中学自主招生考试数学试卷 一、填空题(5×8=40 分) 1.方程组 的解是 _________ .

2.若对任意实数 x 不等式 ax>b 都成立,那么 a,b 的取值范围为 _________ 3.设﹣1≤x≤2,则|x﹣2|﹣ |x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 _________ .



4.两个反比例函数 y= ,y= 在第一象限内的图象如图所示.点 P1,P2,P3、…、P2007 在反比例函数 y= 上,它 们的横坐标分别为 x1、x2、x3、…、x2007,纵坐标分别是 1,3,5…共 2007 个连续奇数,过 P1,P2,P3、…、P2007 分别作 y 轴的平行线,与 y= 的图象交点依次为 Q1(x1′ ,y1′ ) 、Q1(x2′ ,y2′ ) 、…、Q2(x2007′ ,y2007′ ) , 则|P2007Q2007|= _________ .

5.如图,圆锥的母线长是 3,底面半径是 1,A 是底面圆周上一点,从 A 点出发绕侧面一周,再回到 A 点的最短 的路线长是 _________ .

6.有一张矩形纸片 ABCD,AD=9,AB=12,将纸片折叠使 A、C 两点重合,那么折痕长是 _________ . 7. 已知 3, a, 4, b, 5 这五个数据, 其中 a, b 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根, 则这五个数据的标准差是 _________ . 8.若抛物线 y=2x ﹣px+4p+1 中不管 p 取何值时都通过定点,则定点坐标为 _________ . 二、选择题(5×8=40 分)
2 2

9.如图,△ ABC 中,D、E 是 BC 边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,M 在 AC 边上,CM:MA=1:2,BM 交 AD, AE 于 H,G,则 BH:HG:GM 等于( )

A.3:2:1

B.5:3:1

C.25:12:5

D.51:24:10 )

10.若一直角三角形的斜边长为 c,内切圆半径是 r,则内切圆的面积与三角形面积之比是( A. B. C. D.

11. (2002?济南)抛物线 y=ax 与直线 x=1,x=2,y=1,y=2 围成的正方形有公共点,则实数 a 的取值范围是( A. ≤a≤1 B. ≤a≤2 C. ≤a≤1 D. ≤a≤2

2



12.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购铅笔 3 支,练习本 7 本,圆珠笔 1 支共需 3.15 元;若购铅笔 4 支,练习本 8 本,圆珠笔 2 支共需 4.2 元,那么,购铅笔、练习本、圆珠笔各 1 件共需( ) A.1.2 元 B.1.05 元 C.0.95 元 D.0.9 元 13.设关于 x 的方程 ax +(a+2)x+9a=0,有两个不相等的实数根 x1、x2,且 x1<1<x2,那么实数 a 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.
2

14.如图,正方形 ABCD 的边 AB=1,



都是以 1 为半径的圆弧,则无阴影两部分的面积之差是(



A.

B.1﹣

C.

﹣1

D.1﹣

15.已知锐角三角形的边长是 2,3,x,那么第三边 x 的取值范围是( A.1<x< B. C.

) D.

16.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x%,则第三 季度的产值比第一季度的产值增长了( ) A.2x% B.1+2x% C. (1+x%)x% D. (2+x%)x% 三、解答题 2 2 17.设 m 是不小于﹣1 的实数,关于 x 的方程 x +2(m﹣2)x+m ﹣3m+3=0 有两个不相等的实数根 x1、x2, 2 2 (1)若 x1 +x2 =6,求 m 值;

(2)求

的最大值.

18.如图,开口向下的抛物线 y=ax ﹣8ax+12a 与 x 轴交于 A、B 两点,抛物线上另有一点 C 在第一象限,且使 △ OCA∽ △ OBC, (1)求 OC 的长及 的值;

2

(2)设直线 BC 与 y 轴交于 P 点,点 C 是 BP 的中点时,求直线 BP 和抛物线的解析式.

19.某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 120 个工时计算)生产空调器、彩 电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台,已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称 工 时 4 3 2 空调 彩电 冰箱

产值(千元)

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少?(以千元为单位) 20.一个家庭有 3 个孩子, (1)求这个家庭有 2 个男孩和 1 个女孩的概率; (2)求这个家庭至少有一个男孩的概率. 21. (1999?福州)如图,已知⊙ O 和⊙ O′ 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙ O′ 的切线交⊙ O 于点 C,过点 B 作两圆的割 线分别交⊙ O、⊙ O′ 于 E、F,EF 与 AC 相交于点 P. (1)求证:PA?PE=PC?PF; (2)求证: ;

(3)当⊙ O 与⊙ O′ 为等圆时,且 PC:CE:EP=3:4:5 时,求△ PEC 与△ FAP 的面积的比值.

2011 年湖北省黄冈中学自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(5×8=40 分) 1.方程组 的解是 和 .

考点:无理方程。 专题:计算题。 分析:根据式子特点,设 x+1=a,y﹣1=b,然后利用换元法将原方程组转化为关于 a、b 的方程组,再换元为关于 x、 y 的方程组解答. 解答:解:设 x+1=a,y﹣1=b,则原方程可变为 ,

由② 式又可变化为 把① 式代入得 再代入又得﹣3 解得 ab=﹣27, 又因为 a+b=26, 所以解这个方程组得 或 , =9,

=26, =13,这又可以变形为( + ) ﹣3
2

=13,

于是(1)

,解得



(2)

,解得



故答案为





点评:本题主要考查解无理方程的知识点,去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键,需要同学们仔细掌握. 2.若对任意实数 x 不等式 ax>b 都成立,那么 a,b 的取值范围为 a=0,b<0 . 考点:不等式的性质。 分析:分 a=0,a≠0 两种情况分析. 解答:解:∵ 如果 a≠0,不论 a 大于还是小于 0,对任意实数 x 不等式 ax>b 都成立是不可能的, ∴ a=0,则左边式子 ax=0, ∴ b<0 一定成立, ∴ a,b 的取值范围为 a=0,b<0. 点评:本题是利用了反证法的思想.

3.设﹣1≤x≤2,则|x﹣2|﹣ |x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 1 .

考点:代数式求值;绝对值。 分析:先根据﹣1≤x≤2,确定 x﹣2 与 x+2 的符号,在对 x 的符号进行讨论即可. 解答:解:∵ ﹣1≤x≤2,∴ x﹣2≤0,x+2>0, ∴ 当 2≥x>0 时,|x﹣2|﹣ |x|+|x+2|=2﹣x﹣ x+x+2=4﹣ x; 当﹣1≤x<0 时,|x﹣2|﹣ |x|+|x+2|=2﹣x+ x+x+2=4+ x, 当 x=0 时,取得最大值为 4,x=2 时取得最小值,最小值为 3, 则最大值与最小值之差为 1. 故答案为:1 点评:本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值.解此类题的关键是:先利用条件判断出绝对值符号里代数式的 正负性,再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉,把式子化简,即可求解.

4.两个反比例函数 y= ,y= 在第一象限内的图象如图所示.点 P1,P2,P3、…、P2007 在反比例函数 y= 上,它 们的横坐标分别为 x1、x2、x3、…、x2007,纵坐标分别是 1,3,5…共 2007 个连续奇数,过 P1,P2,P3、…、P2007 分别作 y 轴的平行线,与 y= 的图象交点依次为 Q1(x1′ ,y1′ ) 、Q1(x2′ ,y2′ ) 、…、Q2(x2007′ ,y2007′ ) , 则|P2007Q2007|= .

考点:反比例函数综合题。 专题:规律型。 分析:要求出|P2007Q2007|的值,就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值,因为纵坐标分别是 1,3,5 …,共 2007 个连续奇数, 其中第 2007 个奇数是 2×2007﹣1=4013,所以 P2007 的坐标是(Px2007,4013) ,那么可根据 P 点都在反比例函数 y= 上, 可求出此时 Px2007 的值, 那么就能得出 P2007 的坐标, 然后将 P2007 的横坐标代入 y= 中即可求出 Qy2007 的值. 那 么|P2007Q2007|=|Qy2007﹣Py2007|,由此可得出结果. 解答:解:由题意可知:P2007 的坐标是(Px2007,4013) , 又∵ P2007 在 y= 上, ∴ Px2007= .

而 Qx2007(即 Px2007)在 y= 上,所以 Qy2007=

=

=



∴ |P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣ 故答案为: .

|=



点评:本题的关键是找出 P 点纵坐标的规律,以这个规律为基础求出 P2007 的横坐标,进而求出 Q2007 的值,从而可 得出所求的结果. 5.如图,圆锥的母线长是 3,底面半径是 1,A 是底面圆周上一点,从 A 点出发绕侧面一周,再回到 A 点的最短 的路线长是 3 .

考点:圆锥的计算;平面展开-最短路径问题;特殊角的三角函数值。 专题:转化思想。 分析:圆锥的侧面展开图是扇形,从 A 点出发绕侧面一周,再回到 A 点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对 直径,转化为求直径的长的问题. 解答:解:∵ 图中扇形的弧长是 2π,根据弧长公式得到 2π= ∴ n=120°即扇形的圆心角是 120° ∴ 弧所对的弦长是 2×3sin60°=3

点评:正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径, 圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

6.有一张矩形纸片 ABCD,AD=9,AB=12,将纸片折叠使 A、C 两点重合,那么折痕长是



考点:矩形的性质;勾股定理;翻折变换(折叠问题) ;相似三角形的判定与性质。 分析:首先由勾股定理求出 AC 的长,设 AC 的中点为 E,折线与 AB 交于 F.然后求证△ AEF∽ △ ABC 求出 EF 的长. 解答:解:如图,由勾股定理易得 AC=15,设 AC 的中点为 E,折线 FG 与 AB 交于 F, (折线垂直平分对角线 AC) , AE=7.5. 由对边平行可得△ AEF∽ △ ABC, ∴ = ∴ EF= = . . .

∴ 折线长=2EF= 故答案为 .

点评:本题综合考查了矩形的性质,勾股定理,相似,全等等知识点.

7.已知 3,a,4,b,5 这五个数据,其中 a,b 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,则这五个数据的标准差是 考点:标准差;解一元二次方程-因式分解法。 分析:先解方程得到 a,b 的值,计算出平均数和方差后,再计算方差的算术平方根,即为标准差. 2 解答:解:由方程 x ﹣3x+2=0 解方程的两个根是 1,2,即 a=1,b=2 故这组数据是 3,1,4,2,5 其平均数
2

2



(3+1+4+2+5)=3
2 2 2 2 2

方差 S = [(3﹣3) +(1﹣3) +(4﹣3) +(2﹣3) +(5﹣3) ]=2 故五个数据的标准差是 S= =

故本题答案为: . 点评:计算标准差需要先算出方差,计算方差的步骤是: (1)计算数据的平均数 ; (2)计算偏差,即每个数据与平均数的差; (3)计算偏差的平方和; (4)偏差的平方和除以数据个数. 标准差即方差的算术平方根; 注意标差和方差一样都是非负数. 8.若抛物线 y=2x ﹣px+4p+1 中不管 p 取何值时都通过定点,则定点坐标为 (4,33) . 考点:二次函数图象上点的坐标特征。 分析:把含 p 的项合并,只有当 p 的系数为 0 时,不管 p 取何值抛物线都通过定点,可求 x、y 的对应值,确定定 点坐标. 解答:解:y=2x ﹣px+4p+1 可化为 y=2x ﹣p(x﹣4)+1, 分析可得:当 x=4 时,y=33;且与 p 的取值无关; 故不管 p 取何值时都通过定点(4,33) . 点评:本题考查二次函数图象过定点问题,解决此类问题:首先根据题意,化简函数式,提出未知的常数,化简后 再根据具体情况判断. 二、选择题(5×8=40 分) 9.如图,△ ABC 中,D、E 是 BC 边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,M 在 AC 边上,CM:MA=1:2,BM 交 AD, AE 于 H,G,则 BH:HG:GM 等于( )
2 2 2

A.3:2:1 B.5:3:1 C.25:12:5 D.51:24:10 考点:相似三角形的判定与性质。 专题:计算题。 分析:连接 EM,根据已知可得△ BHD∽ △ BME,△ CEM∽ △ CDA,根据相似比从而不难得到答案. 解答:解:连接 EM, CE:CD=CM:CA=1:3 ∴ EM 平行于 AD ∴ △ BHD∽ △ BME,△ CEM∽ △ CDA ∴ HD:ME=3:5,ME:AD=1:3

∴ AH=(3﹣ )ME ∴ AH:ME=12:5 ∴ HG:GM=AH:EM=12:5 ∴ BH:BM=BD:BE=3:5 ∴ BH:HG:GM=51:24:10 故选 D.

点评:此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用. 10.若一直角三角形的斜边长为 c,内切圆半径是 r,则内切圆的面积与三角形面积之比是( A. B. C. D. )

考点:三角形的内切圆与内心。 分析:连接内心和直角三角形的各个顶点,设直角三角形的两条直角边是 a,b.则直角三角形的面积是 又直角三角形内切圆的半径 r= 则它们的比是 . ;
2

,则 a+b=2r+c,所以直角三角形的面积是 r(r+c) ;因为内切圆的面积是 πr ,

解答:解:设直角三角形的两条直角边是 a,b,则有: S= 又∵ r= ∴ a+b=2r+c, 将 a+b=2r+c 代入 S= 又∵ 内切圆的面积是 πr , ∴ 它们的比是 .
2

, ,

得:S=

r=r(r+c) .

故选 B. 点评:此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半,能够把直角三角形的面积分割 成三部分,用内切圆的半径进行表示,是解题的关键. 11. (2002?济南)抛物线 y=ax 与直线 x=1,x=2,y=1,y=2 围成的正方形有公共点,则实数 a 的取值范围是( A. ≤a≤1 B. ≤a≤2 C. ≤a≤1 D. ≤a≤2
2



考点:二次函数综合题。 分析:此题主要考数形结合,画出图形找出范围,问题就好解决了. 解答:解:由右图知:A(1,2) ,B(2,1) , 再根据抛物线的性质,a 越大越靠近 y 轴, 2 把 A 点代入 y=ax 得 a=2, 把 B 点代入 y=ax 得 a= ,
2

则 a 点范围介于这两点之间,故 ≤a≤2. 故选 D.

点评:此题考查学生的观察能力,把函数性质与正方形连接起来,要学会数形结合. 12.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购铅笔 3 支,练习本 7 本,圆珠笔 1 支共需 3.15 元;若购铅笔 4 支,练习本 8 本,圆珠笔 2 支共需 4.2 元,那么,购铅笔、练习本、圆珠笔各 1 件共需( ) A.1.2 元 B.1.05 元 C.0.95 元 D.0.9 元 考点:三元一次方程组的应用。 分析:设购一支铅笔,一本练习本,一支圆珠笔分别需要 x,y,z 元,建立三元一次方程组,两个方程相减,即可 求得 x+y+z 的值. 解答:解:设购一支铅笔,一本练习本,一支圆珠笔分别需要 x,y,z 元, 根据题意得 ,

② ﹣① 得 x+y+z=1.05(元) . 故选 B. 点评:解答此题的关键是根据题意列出方程组,同时还要有整体思想. 13.设关于 x 的方程 ax +(a+2)x+9a=0,有两个不相等的实数根 x1、x2,且 x1<1<x2,那么实数 a 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.
2

考点:根与系数的关系;根的判别式。 专题:转化思想。 分析:根据一元二次方程的根的判别式,建立关于 a 的不等式,求出 a 的取值范围.又存在 x1<1<x2,即(x1﹣1) (x2﹣1)<0, x1x2﹣(x1+x2)+1<0,利用根与系数的关系,从而最后确定 a 的取值范围. 解答:解:∵ 方程有两个不相等的实数根, 则△ > 0, 2 2 ∴ (a+2) ﹣4a×9a=﹣35a +4a+4>0, 解得﹣ <a< , ∵ x1+x2=﹣ ,x1x2=9,

又∵ x1<1<x2, ∴ x1﹣1<0,x2﹣1>0, 那么(x1﹣1) (x2﹣1)<0,

∴ x1x2﹣(x1+x2)+1<0, 即 9+ 解得 +1<0, <a<0, <a<0.

最后 a 的取值范围为:

故选 D. 点评:总结:1、一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0? 方程有两个不相等的实数根; (2)△ =0? 方程有两个相等的实数根; (3)△ <0? 方程没有实数根. 2、根与系数的关系为:x1+x2=﹣ ,x1x2= .

14.如图,正方形 ABCD 的边 AB=1,



都是以 1 为半径的圆弧,则无阴影两部分的面积之差是(



A.

B.1﹣

C.

﹣1

D.1﹣

考点:扇形面积的计算。 分析:图中 1、2、3、4 图形的面积和为正方形的面积,1、2 和两个 3 的面积和是两个扇形的面积,因此两个扇形 的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差,即 解答:解:如图: 正方形的面积=S1+S2+S3+S4;① 两个扇形的面积=2S3+S1+S2;② ② ﹣① ,得:S3﹣S4=S 扇形﹣S 正方形= 故选 A. ﹣1= . ﹣1= .

点评:本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法.找出正方形内四个图形面积之间的联系 是解题的关键. 15.已知锐角三角形的边长是 2,3,x,那么第三边 x 的取值范围是( )

A.1<x< B. C. D. 考点:勾股定理的应用;三角形三边关系。 分析:根据勾股定理可知 x 的平方取值范围在 2 与 3 的平方和与平方差之间. 解答:解:因为 3 ﹣2 =5,3 +2 =13,所以 5<x <13,即
2 2 2 2 2



故选 B. 点评:本题考查了锐角三角形的三边关系定理,有一定的难度. 16.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x%,则第三 季度的产值比第一季度的产值增长了( ) A.2x% B.1+2x% C. (1+x%)x% D. (2+x%)x% 考点:一元二次方程的应用。 专题:增长率问题。 分析:设第一季度产值为 1,第二季度比第一季度增长了 x%,则第二季度的产值为 1×(1+x%) ,那么第三季度的 产值是由第二季度产值增长了 x%来确定,则其产值为 1×(1+x%)×(1+x%) ,化简即可. 解答:解:第三季度的产值比第一季度的增长了(1+x%)×(1+x%)﹣1=(2+x%)x%. 故选 D. 点评:本题考查一元二次方程的应用,关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系. 三、解答题 17.设 m 是不小于﹣1 的实数,关于 x 的方程 x +2(m﹣2)x+m ﹣3m+3=0 有两个不相等的实数根 x1、x2, 2 2 (1)若 x1 +x2 =6,求 m 值; (2)求 的最大值.
2 2

考点:二次函数的性质;根的判别式;根与系数的关系。 分析: (1)首先根据根的判别式求出 m 的取值范围,利用根与系数的关系,求出符合条件的 m 的值. (2)把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式,细心化简,结合 m 的取值范围求出代数式的最大值. 解答:解:∵ 方程有两个不相等的实数根, 2 2 2 ∴ △ =b ﹣4ac=4(m﹣2) ﹣4(m ﹣3m+3)=﹣4m+4>0, ∴ m<1, 结合题意知:﹣1≤m<1. (1)∵ x1 +x2 =(x1+x2) ﹣2x1x2=4(m﹣2) ﹣2(m ﹣3m+3)=2m ﹣10m+10=6 ∴ ,
2 2 2 2 2 2

∵ ﹣1≤m<1, ∴ ;

(2)

=

=

(﹣1≤m<1)

∴ 当 m=﹣1 时,式子取最大值为 10. 2 点评:本题的计算量比较大,需要很细心的求解.用到一元二次方程的根的判别式△ =b ﹣4ac 来求出 m 的取值范围; 利用根与系数的关系 x1+x2= ,x1x2= 来化简代数式的值.
2

18.如图,开口向下的抛物线 y=ax ﹣8ax+12a 与 x 轴交于 A、B 两点,抛物线上另有一点 C 在第一象限,且使 △ OCA∽ △ OBC, (1)求 OC 的长及 的值;

(2)设直线 BC 与 y 轴交于 P 点,点 C 是 BP 的中点时,求直线 BP 和抛物线的解析式.

考点:二次函数综合题。 专题:综合题。 分析: (1)根据抛物线的解析式即可求出 A、B 的坐标,也就得出了 OA、OB 的长,根据题中给出的相似三角形得 出的比例线段可求出 OC 的长.已知了 OA、OB 的长即可得出三角形 OBC 和三角形 OCA 的面积比,而根据面积 比等于相似比的平方即可得出 BC 与 AC 的比例关系. (2)当 C 是 BP 中点是,OC 就是直角三角形 OBP 的斜边的中线,因此 OC=BC,三角形 OCB 是等腰三角形,可 过 C 作 x 轴的垂线通过构建直角三角形求出 C 点坐标,进而可得出直线 BP 的解析式,将 C 点坐标代入抛物线中即 可求出二次函数的解析式. 解答:解: (1)由题设知 a<0, 2 且方程 ax ﹣8ax+12a=0 有两二根, 2 两边同时除以 a 得,x ﹣8x+12=0 原式可化为(x﹣2) (x﹣6)=0 x1=2,x2=6 于是 OA=2,OB=6 ∵ △ OCA∽ △ OBC ∴ OC =OA?OB=12 即 OC=2 而 = = =3,故
2

(2)因为 C 是 BP 的中点 ∴ OC=BC 从而 C 点的横坐标为 3 又 ∴ 设直线 BP 的解析式为 y=kx+b, 因其过点 B(6,0) , 则有 ,



∴ 又点 ∴ ∴ ∴ 抛物线解析式为: . 在抛物线上

点评:本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、相似三角形的性质等知识点. 19.某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 120 个工时计算)生产空调器、彩 电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台,已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称 工 时 4 3 2 空调 彩电 冰箱

产值(千元)

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少?(以千元为单位) 考点:三元一次方程组的应用。 专题:图表型。 分析: 设每周应生产空调、 彩电、 冰箱的数量分别为 x 台、 y 台、 z 台, 建立三元一次方程组, 则总产值 A=4x+3y+2z, 由于每周冰箱至少生产 60 台,即 z≥60,所以 x+y≤300,又由于生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,故有 x≥30 台, 即可求得,具体的 x,y,z 的值. 解答:解:设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为 x 台、y 台、z 台,则有



总产值 A=4x+3y+2z=2(x+y+z)+(2x+y)=720+(3x+y)﹣x=1080﹣x, ∵ z≥60, ∴ x+y≤300, 而 3x+y=360, ∴ x+360﹣3x≤300, ∴ x≥30, ∴ A≤1050, 即 x=30,y=270,z=60. 点评:本题的实质是考查三元一次方程组的解法.通过解方程组,了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一 元”的消元的思想方法,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.解三元一 次方程组的关键是消元. 20.一个家庭有 3 个孩子, (1)求这个家庭有 2 个男孩和 1 个女孩的概率; (2)求这个家庭至少有一个男孩的概率. 考点:列表法与树状图法。 分析:依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出要求事件的概率. 解答:解:用 B 和 G 分别代表男孩和女孩,用“树状图”列出所有结果为:

∴ 这个家庭有 2 个男孩和 1 个女孩的概率为 , 这个家庭至少有一个男孩的概率 . 点评: 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率. 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果, 适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 21. (1999?福州)如图,已知⊙ O 和⊙ O′ 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙ O′ 的切线交⊙ O 于点 C,过点 B 作两圆的割 线分别交⊙ O、⊙ O′ 于 E、F,EF 与 AC 相交于点 P. (1)求证:PA?PE=PC?PF; (2)求证: ;

(3)当⊙ O 与⊙ O′ 为等圆时,且 PC:CE:EP=3:4:5 时,求△ PEC 与△ FAP 的面积的比值. 考点:切线的性质;圆周角定理;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质。 专题:几何综合题;数形结合。 分析: (1)连接 AB,根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到∠ CAB=∠ F,∠ CAB=∠ E, 则∠ F=∠ E,根据内错角相等,得到 AF∥ CE,再根据平行线分线段成比例定理进行证明; (2)利用(1)的比例式,两边同平方,再根据切割线定理进行等量代换即可; (3)要求两个三角形的面积比,根据(1)知:两个三角形相似.所以只需求得它们的一组对应边的比,根据所给 的线段的比值,结合勾股定理的逆定理发现 Rt△ PCE,连接 AE,AE 即是直径.又根据平行线的性质得到∠ PAF=90°, 则 AF 是圆的直径.根据勾股定理得到 x 与 y 的比值,从而得到三角形的面积比. 解答: (1)证明:连接 AB, ∵ CA 切⊙ O'于 A, ∴ ∠ CAB=∠ F. ∵ ∠ CAB=∠ E, ∴ ∠ E=∠ F. ∴ AF∥ CE. ∴ .

∴ PA?PE=PC?PF. (2)证明:∵ ,



=






2

再根据切割线定理,得 PA =PB?PF, ∴ .

(3)解:连接 AE,由(1)知△ PEC∽ △ PFA, 而 PC:CE:EP=3:4:5, ∴ PA:FA:PF=3:4:5. 设 PC=3x,CE=4x,EP=5x,PA=3y,FA=4y,PF=5y, ∴ EP =PC +CE ,PF =PA +FA . ∴ ∠ C=∠ CAF=90°. ∴ AE 为⊙ O 的直径,AF 为⊙ O'的直径. ∵ ⊙ O 与⊙ O'等圆, ∴ AE=AF=4y. ∵ AC +CE =AE 2 2 2 2 2 ∴ (3x+3y) +(4x) =(4y) 即 25x +18xy﹣7y =0, ∴ (25x﹣7y) (x+y)=0, ∴ .
2 2 2 2 2 2 2 2 2





点评:此题综合运用了切线的性质、圆周角定理的推论、切割线定理以及相似三角形的性质和判定,难度比较大, 综合性比较强.


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