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基本初等函数历年高考题


基本初等函数 I
1.(2009 年 广 东 卷 文 ) 若 函 数 y ? f ( x) 是 函 数 y ? a(a ? 0,且a ? 1 的 反 函 数 , 且 )
x

f (2) ? 1,则 f ( x) ?
A. log 2 x 答案 A
x

( D.2 x?2

)

B.

1 2x

C. log 1 x
2

) 解析 函数 y ? a(a ? 0,且a ? 1 的反函数是 f ( x) ? log a x ,又 f (2) ? 1 ,即 log a 2 ? 1 ,
所以, a ? 2 ,故 f ( x) ? log 2 x ,选 A. 2.(2009 北京文)为了得到函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有 10


点 ( A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 答案 C 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. 3.(2009 天津卷文)设 a ? log 1 2, b ? log 1 3, c ? ( )
3 2

1 2

0.3

,则

(

)

A a<b<c B a<c<b 答案 B

C b<c<a

D b<a<c

o 解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 a ? 0,0 ? c ? 1 ,而 b ? l g

2

3 ? 1,

因此选 B。 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本的运算能 4.(2009 四川卷文)函数 y ? 2 A.
x ?1

( x ? R) 的反函数是
B. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? 1) D. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? ?1)

y ? 1 ? log 2 x( x ? 0)

C. y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0) 答案 解析 C 由y?2
x ?1

? x ? 1 ? log 2 y ? x ? ?1 ? log 2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0)

~1~

5.(2009 全国卷Ⅱ理)设 a ? log 3 ? , b ? log 2 3, c ? log3 A. a ? b ? c 答案 A 解析 ? l o g 3 B. a ? c ? b

2 ,则
D. b ? c ? a

C. b ? a ? c

2 ?

log ?2 2
3

log b?c ? 3 2 ? .? b c

log 2

3 ?

l o g ?2 2

l o ? 3 ? l oag ? ? g ? b a 3 2 的值为
C. ?

6.(2009 湖南卷文) log 2 A. ? 2 答案 D 解析 由 log 2

B. 2

1 2

D.

1 2

1 1 1 2 ? log 2 2 2 ? log 2 2 ? ,易知 D 正确. 2 2

7.(2009 湖南卷文)设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x ), f (x ) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .
取函数 f ( x) ? 2 A . (??,0) 答案 C 解析 函数 f ( x) ? 2
?x
?x

。当 K =

1 时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为 2
C . (??, ?1)

(

)

B. (0, ??)

D . (1, ??)

1 x 1 ? ( ) ,作图易知 f ( x) ? K ? ? x ? (??, ?1] ? [1, ??) , 2 2

故在 (??, ?1) 上是单调递增的,选 C. 8.(2009 福建卷理)下列函数 f ( x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0, ?? ) ,当 x1 < x2 时, 都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是 A. f ( x) = C . f ( x) = e 答案 A 解析 依题意可得函数应在 x ? (0, ??) 上单调递减,故由选项可得 A 正确。

1 x
x

B. f ( x) = ( x ? 1)

2

D. f ( x) ? ln( x ? 1)

~2~

9. (2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) 满足:x≥4,则 f ( x) = ( ) x ;当 x<4 时 f ( x) =

1 2

f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log 2 3) =
A.

1 24

B.

1 12

C.

1 8

D.

3 8

答案 A 解析 ∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23)且 3+log23>4 ∴ f (2 ? log 2 3) =f(3+log23)

1 3? log2 3 1 1 log 2 3 1 1 log 1 3 1 1 1 ? ?( ) ? ?( ) 2 ? ? ? =( ) 2 8 2 8 2 8 3 24
10.(2009 四川卷文)函数 y ? 2 A. y ? 1 ? log 2 x( x ? 0) C. y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0) 答案 解析 C 由y?2
x ?1 x ?1

1

( x ? R) 的反函数是
B. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? 1) D. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? ?1)

? x ? 1 ? log 2 y ? x ? ?1 ? log 2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0) 11.(2009 陕西卷文)设曲线 y ? x 标为 xn ,则 x1 ? x2 ??? xn 的值为 A.
n ?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐

1 n
B

B.

1 n ?1

C.

n n ?1

D.1

答案

解析 对 y ? x

n ?1

(n ? N * )求导得y ' ? (n ? 1) x n ,令 x ? 1 得在点(1,1)处的切线的斜率

k ? n ? 1 ,在点
(1, 处的切线方程为 y ? 1 ? k ( xn ? 1) ? (n ? 1)( xn ? 1) ,不妨设 y ? 0 , 1) 则 x1 ? x2 ?? ? xn ?

xn ?

n n ?1

1 2 3 n ?1 n 1 , 故选 B. ? ? ? ... ? ? ? 2 3 4 n n ?1 n ?1

1 12. (2009 全国卷Ⅰ文) 已知函数 f ( x) 的反函数为 g ( x)= +2lgx ? x>0 ? , f (1) ? g(1) ? 则
(A)0 答案 C (B)1 (C)2 (D)4

~3~

解析 由题令 1 ? 2 lg x ? 1 得 x ? 1 ,即 f (1) ? 1 ,又 g(1) ? 1 ,所以 f (1) ? g(1) ? 2 , 故选择 C。 13.(2009 湖南卷理)若 log 2 a<0, ( ) b >1,则 A.a>1,b>0 答案 解析 D 由 log 2 a ? 0 得 0 ? a ?, 由 ( ) ? 1 得 b ? 0 ,所以选 D 项。
b

1 2

( D. 0<a<1, b<0

)

B.a>1,b<0

C. 0<a<1, b>0

1 2

?a ? log 2 x(当x ? 2时) ? 在点x ? 2处 连续,则常数 a 14.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 4 (当x ? 2时) ? ? x?2
的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 ( )

【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。 答案 B 解析 由题得 a ? log 2 ? 2 ? 2 ? a ? 3 ,故选择 B。
2

解 析 2 : 本 题 考 查 分 段 函 数 的 连 续 性 . 由 lim f ( x) ? lim
x ?2 x ?2

x2 ? 4 ? lim( x ? 2) ? 4 , x ? 2 x ?2

f (2) ? a ? log 2 2 ? a ? 1 ,由函数的连续性在一点处的连续性的定义知
f (2) ? lim f ( x) ? 4 ,可得 a ? 3 .故选 B.
x ?2

15.(2009 福建卷文)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超
x

过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4 x ? 1 C. f ? x ? ? e ? 1
x

B. f ? x ? ? ( x ? 1) D. f ? x ? ? In ? x ?

2

? ?

1? ? 2?

答案 A 解析 f ? x ? ? 4 x ? 1 的零点为 x= 为 x=0, f ? x ? ? In ? x ?

1 2 x , f ? x ? ? ( x ? 1) 的零点为 x=1, f ? x ? ? e ? 1 的零点 4

? ?

1? 3 x ? 的零点为 x= .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点, 2? 2

~4~

因 为 g(0)= -1,g(

1 1 )=1, 所 以 g(x) 的 零 点 x ? (0, ), 又 函 数 f ? x ? 的 零 点 与 2 2

g ? x ? ? 4 x ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f ? x ? ? 4 x ? 1 的零点适合,
故选 A。 二、填空题 16.(2009 江苏卷)已知集合 A ? x log 2 x ? 2 , B ? ( ??, a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范 围是 (c, ??) ,其中 c = 解析 由 log 2 .

?

?

考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。

x ? 2 得 0 ? x ? 4 , A ? (0,4] ;由 A ? B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4。

17.(2009 山东卷理)若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 答案 解析 .

{a | a ? 1}
x 设函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)
x

有两个零点, 就是函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当
x

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x ( a ? 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的 取值范围是 a ? 1 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 18.(2009 重庆卷文)记 f ( x) ? log 3 ( x ? 1) 的反函数为 y ? f
?1

( x) ,则方程 f ?1 ( x) ? 8 的解

x?
答案 2


?1

y ?1 解法 1 由 y ? f ( x) ? log3 ( x ? 1) ,得 x ? 3 ,即 f

(x) ?3x ? ,于是由 3x ?1 ? 8 , 1

解得 x ? 2 解法 2 因为 f ? 1( x) ? 8 ,所以 x ? f (8) ? log3 (8 ? 1) ? 2

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年山东文科卷)已知函数 f ( x) ? log a (2 ? b ? 1)(a ? 0,a ? 1) 的图象如图所示,
x

则 a,b 满足的关系是 A. 0 ? a
?1

( B. 0 ? b ? a
?1

) y x

? b ?1

?1
O

~5~

?1

C. 0 ? b

?1

? a ? ?1

D. 0 ? a

?1

? b?1 ? 1

答案 A 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得 a ? 1, ? 0 ? a
?1

? 1; 取特殊点 x ? 0 ? ?1 ? y ? log a b ? 0,

? ?1 ? log a

1 ? log a b ? log a 1 ? 0, ?0 ? a ?1 ? b ? 1 . a
? ? 1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值 2 ?
C.-1,3
x ?1

2. (07 山东)设 ? ? ?? 1,1, 为 A.1,3 答案 A

B.-1,1

( D.-1,1,3



3.(2006 年安徽卷)函数 y ? e A. y ? 1 ? ln x( x ? 0) C. y ? ?1 ? ln x( x ? 0) 答案 D 解析 由 y ? e
x ?1

( x ? R) 的反函数是
B. y ? 1 ? ln x( x ? 0) D. y ? ?1 ? ln x( x ? 0)





得: x+1=lny, x=-1+lny,所以 y ? ?1 ? ln x( x ? 0) 为所求, 即 故选 D。

4.(2006 年湖北卷)设 f ( x) ? lg A. (?4, 0) ? (0, 4) C. (?2, ?1) ? (1, 2) 答案 解析 B

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x
B. (?4, ?1) ? (1, 4) D. (?4, ?2) ? (2, 4)

(

)

f(x)的定义域是(-2,2) ,故应有-2?

x 2 ?2 且-2? ?2 解得-4?x?-1 或 2 x
b

1?x?4 故选 B。
a 5.(07 天津)设 a, b, c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log 2 c . 2
2

?1? ?2?

?1? ?2?

c

则 A. a ? b ? c 答案 A 二、填空题

( B. c ? b ? a C. c ? a ? b



D. b ? a ? c

() 6. (2008 年山东文科卷) 已知 f (3 ) ? 4 x log 2 3 ? 233 , f () ? f4 则 2
x

?)f ( 8

? ?)f ( ? 2

8

的值等于 答案 2008



解析 本小题主要考查对数函数问题。

~6~

? f (3x ) ? 4 x log 2 3 ? 233 ? 4 log 2 3x ? 233,

? f ( x) ? 4log 2 x ? 233, ? f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (28 ) ? 8 ? 233 ? 4(log 2 2 ? 2log 2 2 ? 3log 2 2 ? ? ? 8log 2 2) ? 1864 ? 144 ? 2008.
7.(07 山 东 ) 函 数 y ? lo ga ?x ? 3? ? 1(a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A, 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则
答案 8

1 2 ? 的最小值为 m n
1 2

.

8.(2006 年辽宁卷)设 g ( x ) ? ?

? e x , x ? 0. ?lnx, x ? 0.

则 g ( g ( )) ? __________

答案 解析

1 ln 1 1 1 g ( g ( )) ? g (ln ) ? e 2 ? . 2 2 2

本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.
l g x(2 ? x2 ? 3)

9.(2006 年 重 庆 卷 ) 设 a ? 0, a ? 1 , 函 数 f ( x ) ? a

有最大值,则不等式

log a ? x 2 ? 5 x ? 7 ? ? 0 的解集为
解析 设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x ) ? a
2

.
lg( x 2 ? 2 x ? 3)

有最大值,∵ lg( x ? 2 x ? 3) ≥ lg 2 有最
2

? x2 ? 5x ? 7 ? 0 小值, 0<a<1, 则不等式 log a ? x ? 5 x ? 7 ? ? 0 的解为 ? 2 ∴ , 解得 2<x<3, ? x ? 5x ? 7 ? 1
所以不等式的解集为 ? 2,3 ? . 10.(2005 年上海 2)方程 4 ? 2 ? 2 ? 0 的解是__________.
x x

解析

4 x ? 2 x ? 2 ? 0 ? (2 x ? 1)( 2 x ? 2) ? 0 ? 2 x ? 1 ? x ? 0

三、解答题 11.(07 上海)已知函数 f ?x ? ? x ?
2

a ( x ? 0, a ? R) x

(1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性; (2)若 f ? x ? 在区间 ?2,??? 是增函数,求实数 a 的取值范围。 解析 (1)当 a ? 0 时, f ?x ? ? x 为偶函数;当 a ? 0 时, f ? x ? 既不是奇函数也不是
2

偶函数.

~7~

(2) x2 ? x1 ? 2 , f ? x1 ? ? f ?x 2 ? ? x1 ? 设
2

x ? x2 a a 2 ?x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? a? , ? 1 ? x2 ? x1 x 2 x1 x2

由 x2 ? x1 ? 2 得 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? 16 , x1 ? x2 ? 0, x1 x 2 ? 0 要使 f ? x ? 在区间 ?2,??? 是增函数只需 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 , 即 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? a ? 0 恒成立,则 a ? 16 。 另解(导数法) f ' ?x ? ? 2 x ? :

a ,要使 f ? x ? 在区间 ?2,??? 是增函数,只需当 x ? 2 时, x2

f ' ?x ? ? 0 恒成立,即 2 x ?

a ? 0 ,则 a ? 2 x 3 ? ?16,?? ? 恒成立, 2 x

故当 a ? 16 时, f ? x ? 在区间 ?2,??? 是增函数。

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题
一、选择题 1.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)函数 f ( x) = 2 的反函数 y ? f
x ?1

? x ? 的图象






答案

A

2. (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)下列函数中,在区间 (1, ??) 上为增函数的 是 A. y ? ?2 ? 1
x





C. y ? ?( x ? 1) 答案 B

2

x 1? x D. y ? log 1 ( x ? 1)
B. y ?
2

3.(2009 福建省)函数 y ? log 2 | x | 的图象大致是

(

)

~8~

答案

C

4.(2009 厦门集美中学)若 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是减函数,则 a 的取值范围 是 A. (0,1) 答案 C B. (0,2) C. (1,2) D. (2,??) ( )

5.(2009 岳阳一中第四次月考)函数 y ?

lg | x | 的图象大致是 x

(

)

答案 二、填空题

D

6.(2009 泉州市)已知函数 f(x)= ?

?log 2 x( x ? 0) 1 , 2 x , ( x ? 0) 若 f(a)= 2 ?

.

答案 -1 或 2 7.(2009 厦门十中)定义:若存在常数 k ,使得对定义域 D 内的任意两个 x1 , x2 ?x1 ? x2 ? , 均有 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? k x1 ? x 2 成立, 则称函数 f ? x ? 在定义域 D 上满足利普希茨条件。 若函数 f ? x ? ? 答案

x ? x ? 1? 满足利普希茨条件,则常数 k 的最小值为_____。

1 2

8.(2009 中学第六次月考)定义区间 [ x1 , x2 ]( x1 ? x2 ) 的长度为 x2 ? x1 ,已知函数

f ( x) ?| log 1 x | 的定义域为 [a, b] ,值域为 [0,2] ,则区间 [a, b] 的长度的最大值与最小值
2

的差为 答案 3

.

~9~

9.(江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)函数 f ( x ) ? 为 答案 .

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域

[3, ??)

三、解答题 10.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

?1? b ? 0, 解得b ? 1 2?a 1 ? ?1 ? 2x ?1 ? 2 ?1 . 又由 f (1) ? ? f (?1)知 从而有 f ( x) ? x ?1 ,解得 a ? 2 ?? 2 4?a 1? a 2 ?a ? 2x ?1 1 1 ?? ? x , (2)解法一:由(1)知 f ( x) ? x ?1 2 2 ?1 2 ?2 由上式易知 f (x) 在 R 上为减函数,又因 f (x) 是奇函数,从而不等式
解 (1) 因为 f (x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0,即

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ).
因 f (x) 是 R 上的减函数,由上式推得 t ? 2t ? ?2t ? k.
2 2

即对一切 t ? R有3t ? 2t ? k ? 0, 从而 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得k ? ?
2

1 3

?2 x ?1 , 2 x ?1 ? 2 2 2 ?2 t ? 2t ?1 ? 2 2t ? k ? 1 ? 2 ?0 又由题设条件得 2 2 t ? 2t ?1 ? 2 2 2t ? k ?1 ? 2 2 2 2 2 t 2 ? k ?1 ? 2)( ?2 t ?2t ? 1) ? (2 t ?2t ?1 ? 2)( ?2 2t ?k ? 1) ? 0 即 (2
解法二:由(1)知 f ( x) ? 整理得 2
3t 2 ? 2t ? k

? 1 ,因底数 2>1,故 3t 2 ? 2t ? k ? 0

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得k ? ? . 14.(2009 广东三校一模)设函数 f ?x ? ? ?1 ? x ? ? 2 ln ?1 ? x ? .
2

1 3

(1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)若当 x ? ? ? 1, e ? 1? 时,(其中 e ? 2.718 ?)不等式 f ?x ? ? m 恒成立,求实数 m 的 取值范围; (3)试讨论关于 x 的方程: f ?x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0,2?上的根的个数.
2

?1 ?e

? ?

~ 10 ~



(1)函数的定义域为 ?? 1,?? ?, f ?? x ? ? 2?? x ? 1? ?

? ?

1 ? 2 x? x ? 2 ? . ? x ? 1? x ?1 ?

1分

由 f ??x ? ? 0 得 x ? 0 ; 由 f ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 , 则增区间为 ?0,??? ,减区间为 ?? 1,0? . (2)令 f ??x ? ? 递增, 由 f?

2分 3分 4分

2 x? x ? 2 ? ?1 ? ? 0, 得 x ? 0 ,由(1)知 f ? x ? 在 ? ? 1,0? 上递减,在 ?0, e ? 1? 上 x ?1 ?e ?
6分 8分

1 ?1 ? 1 ? 1? ? 2 ? 2, f ?e ? 1? ? e 2 ? 2 ,且 e 2 ? 2 ? 2 ? 2 , e ?e ? e

?1 ? ? x ? ? ? 1, e ? 1? 时, f ? x ? 的最大值为 e 2 ? 2 ,故 m ? e 2 ? 2 时,不等式 f ?x ? ? m ?e ?
恒成立.
2

9分

(3)方程 f ?x ? ? x ? x ? a, 即 x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ? a .记 g ?x ? ? x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ,则

g ??x ? ? 1 ?

2 x ?1 .由 g ??x ? ? 0 得 x ? 1;由 g ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 . ? 1? x x ?1
10 分

所以 g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增. 而 g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1) 所以,当 a>1 时,方程无解; 当 3-2ln3<a≤1 时,方程有一个解, 当 2-2ln2<a≤a≤3-2ln3 时,方程有两个解; 当 a=2-2ln2 时,方程有一个解; 当 a<2-2ln2 时, 方程无解. 字上所述,a ? (1,??) ? (??,2 ? 2 ln 2) 时,方程无解;
a ? (3 ? 2 ln 3,1] 或 a=2-2ln2 时,方程有唯一解; a ? (2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3] 时,方程有两个不等的解.

13 分

14 分

9 月份更新
一、选择题 1.(2009 聊城一模)已知函数 f ( x) ? 4 ? x , g ( x)是定义在(??,0) ? (0,??) 上的奇函数,
2

~ 11 ~

当 x>0 时, g ( x) ? log 2 x, 则函数y ? f ( x) ? g ( x) 的大致图象为





答案 B 2.(2009 临沂一模)已知函数 f(x)= ( ) x ? log 3 x ,若 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0, 则 f(x1)的值为 A.恒为正值 答案 A

1 5

B.等于 0

C.恒为负值

D.不大于 0

3. (2009 临沂一模) f(x)是连续的偶函数, 设 且当 x >0 时是单调函数, 则满足 f(2x)=f( 的所有 x 之和为 A、 ? 答案 C

x ?1 ) x?4

9 2

B、 ?

7 2

C、-8

D、8

4. ( 2009 青 岛 一 模) 设 奇 函 数 f ( x) 在 (0, ?) 上 为 增 函 数 , 且 f (1) ? 0 , 则 不 等 式 ?

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为 x
A. (?1 0) ? (1 ? ?) B. (??, 1) ? (0, C. (??, 1) ? (1 ? ?) , , ? 1) ? , 答案 D 5.(2009 日照一模) (6)函数 f ( x) ? ln A. (1,2) 答案 A B. (2,3) D. (?1 0) ? (0, , 1)

3? 2 ? 的零点一定位于区间 2 x
D. (4,5)

C. (3,4)

6.(2009 日照一模) (函数 y ? f ( x) 的图象如右图所示,则函数 y ? log 1 f ( x) 的
2

图象大致是

答案 C

~ 12 ~

7.(2009 泰安一模)已知函数 y=f(x)与 y ? e 互为反函数,函数 y=g(x)的图像与 y=f(x)图
x

像关于 x 轴对称,若 g(a)=1,则实数 a 值为 (A)-e 答案 C 8.(2009 枣庄一模)已知 f ( x) ? ? ( ) (B) ?

1 e

(C)

1 e

(D) e

? x ? 1, x ? [?1,0) , 则关于右图中函数图象的表述正确的是 x 2 ? 1, x ? [0,1] ?

A.是 f ( x ? 1) 的图象 B.是 f (? x) 的图象 C.是 f (| x |)或 | f ( x) | 的图象 D.以上说法都不对 答案 D

?? 2 x ? 1 ? 9. ( 2009 枣 庄 一 模 ) 设 函 数 f ( x ) ? ?? 3 ?2 x ? 1 ?
( ) A.3 答案 C 二、填空题 B.4 C.7

5 (?1 ? x ? 2), 则f ( f ( f ( ) ? 5)) ? 2 ( x ? 2)
D.9

( x ? 1)

| x| 1.(2009 青岛一模)定义:区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ? 2 的定义

域为 ? a , b ? ,值域为 ?1, 2 ? ,则区间 ? a , b ? 的长度的最大值与最小值的差为_________. 答案 1 2.(2009 冠龙高级中学 3 月月考)已知函数 f ( x) ? x ? x ,若 f log3 ? m ? 1? ? f (2) ,
2

?

?

则实数 m 的取值范围是 答案 ( ? ,8)



8 9

3.(2009 闵行三中模拟)若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ ,3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ?

1 2

1 f ( x)

的值域是 10 答案 [2, ] 3
(a 4.(2009 上海普陀区)已知函数 f ( x) ? 1 ? log a x  ? 0且a ? 1) , f
?1

( x) 是 f (x) 的反函

~ 13 ~

数,若 y ? f 答案 2

?1

( x) 的图像过点 (3, 4) ,则 a ?

.

5.(2009 上海十校联考)已知函数 f ? x ? ?

mx 2 ? ? m ? 3? x ? 1 的值域是 [0, ??) ,则实数

m 的取值范围是________________.
答案

?0,1? ? ?9, ?? ?
?1

6.(2009 上海卢湾区 4 月模考) (2009 上海卢湾区 4 月模考)设 f ( x ) 的反函数为 f 若函数 f ( x ) 的图像过点 (1, 2) ,且 f 答案
?1

( x) ,

( 2 x ? 1) ? 1 , 则 x ?



1 2

三、解答题 1.(2009 聊城一模)已知函数 f ( x) ? x ?
3

3 2 ax ? b(a, b为实数, 且a ? 1) 在区间[-1,1] 2

上最大值为 1,最小值为-2。 (1)求 f (x) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 在区间[-2,2]上为减函数,求实数 m 的取值范围。 解: (1) f ' ( x) ? 3x ? 3ax,
2

令f ' ( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? a, ? a ? 1, ? f ( x)在?? 1,0? 上为增函数, 在?0,1? 上为减函数. ? f (0) ? b ? 1, 3 3 ? f (?1) ? ? a, f (1) ? 2 ? a,? f (?1) ? f (1), 2 2 3 4 ? f ( ?1) ? ? a ? ?2, a ? . 2 3 3 ? 2 x 2 ? 1. ? f ( x) ? x
(2) g ( x) ? x ? 2 x ? mx ? 1,
3 2

g ' ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? m.
由 g ( x)在?? 2,2?上为减函数 ,

~ 14 ~

知 g ' ( x) ? 0在x ? ?? 2,2?上恒成立.

? g ' ( ?2 ) ? 0 ?20 ? m ? 0 ?? , 即? ? g ' ( 2) ? 0 ?4 ? m ? 0

?m ? 20.

?实数m的取值范围是m ? 20.
2.(2009 临沂一模)设函数 f(x)=x -mlnx,h(x)=x -x+a. (I) 当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (II) 当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围; (III) 是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性? 若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由。
2 2

解: (1)由 a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 记? ?

即m ?

x ln x

x ,则 f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 m ? ? ( x)min . ln x ln x ? 1 求得 ? '( x) ? ln 2 x

当 x ? (1, e) 时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值, 即 ? ( x)min ? ? (e) ? e ,故 m ? e . (2) 函数 k(x)=f(x)-h(x)在 [1,3] 上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a, 在[1,3]上恰有两个相异实根。 2 令 g(x)=x-2lnx,则 g '( x) ? 1 ? x 当 x ? [1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0 g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数。 故 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2ln 2 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需 g(2)<a≤g(3), 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) 1 (3)存在 m= ,使得函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性 2
f '( x)min m 2x2 ? m ? 2x ? ? ,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) 。 x x

若 m ? 0 ,则 f ( x) ' ? 0 ,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;

~ 15 ~

若 m ? 0 ,由 f ( x) ' ? 0 可得 2x2-m>0,解得 x>

m m 或 x<(舍去) 2 2

故 m ? 0 时,函数的单调递增区间为(

m ,+∞) 2

单调递减区间为(0, 递增区间是( 故只需
1 ,+∞) 2

m 1 )而 h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0, ),单调 2 2

m 1 1 1 = ,解之得 m= 即当 m= 时,函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义 2 2 2 2

域上具有相同的单调性。

2007—2008 年联考题
一、选择题 x 1.(2008 年高考数学各校月考试题)若 lga+lgb=0(其中 a≠1,b≠1),则函数 f(x)=a x 与 g(x)=b 的图象 ( ) A.关于直线 y=x 对称 B.关于 x 轴对 称 C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称 答案 C 解析 取满足 lg a ? lg b ? 1 的特殊值a ? 2,则b ?

1 可得答案 C. 2

2.(2007 届岳阳市一中高三数学能力题训练)已知 a>1,则函数 f(x)= loga x 的图象与 -1 其反函数 y=f (x)的图象 ( ) A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点 C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点 答案 D 3.(2007 届高三数学二轮复习新型题专题训练)一次研究性课堂上,老师给出函数
f ( x) ? x (x ? R),三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题: 1? | x |
x * 对任意 n ? N 恒成立. 1? n | x |

甲:函数 f(x)的值域为(-1,1) ;乙:若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2); 丙:若规定 f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) , f n ( x) ? 你认为上述三个命题中正确的个数有 A.0 个 答案 D 二、填空题 B.1 个 C.2 个 D.3 个





~ 16 ~

4.(2008 年高考数学各校月考试题)已知函数 f ( x) ? ( ) x 的图象与函数 g(x)的图象关于直 线 y ? x 对称,令 h( x) ? g(1? | x |), 则关于函数 h(x) 有下列命题: ① h(x ) 的图象关于原点对称; ③ h(x ) 的最小值为 0; 其中正确命题的序号为 答案 ②③ ② h(x ) 为偶函数; ④ h(x ) 在(0,1)上为减函数. (注:将所有正确命题的序号都填上) ..

1 2

5.(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (?2, ? 1 ) ,则 8 满足 f ( x) =27 的 x 的值是 答案 1 3 2008 届 高 三 第 一 学 期 第 二 次 月 考 ) 已 知 函 数 .

三、解答题 6.( 陕 西 长 安 二 中

f ( x) ? lg( x ? 2 ? x 2 ) ? lg 2
(1)判断函数 f (x) 的奇偶性。 解 (1) f (? x) ? lg(? x ? (2)判断函数 f (x) 的单调性。

2 ? x 2 ) ? lg 2 ? lg

2 x ? 2 ? x2

? lg 2

= lg 2 ? lg( x ? ∴ f (x) 为奇函数

2 ? x 2 ) ? ? f ( x)

(2) f (x) 是 R 上的增函数, (证明略) 7.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0, 当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)
2 2

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ( x) ?
1 ? 0 又 x=0 时,f(0)=1>0 f ( ? x)

~ 17 ~

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3 8.(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)已知函数 y ? (1)求反函数 y ? f (2)判断 y ? f
?1 ?1
2 2 2 2 2

10 x ? 10? x ( x ? R) 2

( x)

( x) 是奇函数还是偶函数并证明。
x

解 (1)令 t ? 10 则 t ? 0 ∵t -2yt-1=0 ∴t=y+ y 2 ? 1 ∵10 =y+ y 2 ? 1 ∴f (x)=lg(x+ x 2 ? 1 )(x ? R) (2)? f = lg
1 x ? x ?1
2

2

x

-1

?1

(? x) ? lg(? x ? x 2 ? 1)
=-lg(x+ x 2 ? 1 )=-f (x)
-1

? f ?1 ( x) 为奇函数

~ 18 ~


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