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3 直线、平面平行、垂直的判定与性质(生)


直线、平面平行、垂直的判定与性质
一. 《考纲》要求 以立体几何的定义、 公理和定理为出发点, 认识和理解空间中线垂直的有关性质与判定定理. 能 运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 二.命题方向 线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点.着重考查线线、线面、面面平行的转化及应 用.题型多以选择题与解答题. 三.知识解析 (一)直线与平面平行的判定与性质 直线与平面平行判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 注:定理告诉我们,可以通过直线间的平行,推证直线与平面平行.这是处理空间位置关系一 种常用方法,即将直线与平面平行关系(空间问题)转化为直线间平行关系(平面问题) . 直线与平面平行判定定理的符号表示: a ?? , b ? ? ,且 a // b ? a // ? . 直线与平面平行性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 注: 直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行. 通过直线与 平面平行可得到直线与直线平行,这给出了一种作平行线的的重要方法. (二)面面平行的判定与性质 平面与平面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 平面与平面平行的判定定理的符号表示: a??, b??, a b ? P, a // ? , b // ? ? ? // ? . 平面与平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 注:平面与平面的定义及性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行. (三)直线与平面垂直 1.直线与平面垂直 直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 ? 互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 判 一条直线与一个平面 定 内的两条相交直线都垂直, 定 则该直线与此平面垂直. 理 图形语言
l

如果在两条平行直线中,有 推 一条垂直于平面,那么另一 论 条直线也垂直这个平面.

a // b ? ?? b ?? a ???

3.三垂线定理 在平面内的一条直线,如果与这斜线的射影垂直,那么它也与这斜线垂直. 逆定理:在平面内的一条直线,如果与这斜线垂直,那么它也与这斜线的射影垂直. 4.直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.如图① ,
0 ? ? ? 90 .当直线与平面平行或在平面内时,规定直线与平面成角为 0 如图② .当直线与平面垂 直时,规定直线与平面所成角为 90 如图③ .

P l

l

l

?

A
图①

O

?
图②

l?

?

A
图③

(四)平面与平面垂直 1.二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半 平面叫做二面角的面. 2.二面角的平面角 在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O , 以点 O 为垂足, 在半平面 B β 则射线 OA 和 OB 构成的 ? 和 ? 内分别作垂直与棱 l 的射线 OA 和 OB , O A
?AOB 叫做二面角的平面角.
l α

3.平面与平面垂直定义:如果两个相交平面所成的二面角是 90 ,就 说这两个平面互相垂直. 4.平面与平面垂直判定定理: 内容 判 定 定 理 一个平面过另一个平面的 一条垂线,则这两个平面垂直 图示 符号
l ?? ? ?? ? ?? l ? ??

?
l

符号语言
a ?? , b ??? ? a b?P ??l ?? l ? a, l ?b ? ?

?

?

a
O

b

a

b
(第 1 页 共 6 页)

?

性 质 定 理

两平面垂直,则一个平面 内的垂直于交线的直线与另一 个平面垂直

?
a
l

?

? ?? ? ? ? ? l? ? ?? a ?? a?? ?
a?l ? ?

四.考点分析 考点一:证明直线与平面平行的常用方法 1.利用定义,证明直线 a 与平面 ? 没有公共点,一般结合反证法来证明,这时“平行”的否定应 是“在平面内”或“相交”两种,只能排除这两种位置关系后才能得出“直线 a 与平面平行”这一 结论. 2.利用直线与平面平行的判定定理,使用该定理时,应注意定理成立时所满足的条件. 3.利用面面平行的性质定理,把面面平行转化为线面平行. (1)已知直线在一平面内,由两平面平行,则一平面内的直线与另一平面无公共点,推得线面平 行. (2)一直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一平面平行. 例 1 如图,正方体中,侧面对角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、 F ,且 B1E ? C1F .求证: EF ∥ 平面 ABCD .
D1 A1 E D A B C B1 F C1

考点三:证明线线垂直、线面垂直 证明线线垂直的方法 1.计算两直线所成的角为 90 ? (包含异面直线所成的角) 2.由线面垂直的性质(若 a ? ? , b ? ? ,则 a ? b ) 证明线面垂直的方法 1.线面垂直的定义. 2.线面垂直的判定定理 3.平行线垂直平面的传递性( a ∥b , b ? ? ? a ? ? ) 4.面面平行的性质( a ? ? , ? ∥ ? ? a ? ? ) 5.面面垂直的性质( ? ? ? , ? ? ? l , a ? ? , a ? l ? a ? ? ) 6.面面垂直的性质( ? ? ? l , ? ? ? , ? ? ? ? l ? ? ) 例 3 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ∥ CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面 ABCD , PA ? AD , E 和 F 是 CD 和 PC 的中点,求证: P (Ⅰ) PA ? 底面 ABCD ; (Ⅱ)平面 BEF ? 平面 PCD .
A B C F E D

例 4 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,平面 SAD ? 平面ABCD .四边形 ABCD 为正方形,且 P 为 AD 的中点, Q 为 SB 的中点. 考点二:证明面面平行的常用方法 1.利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合. 2.利用面面平行的判定定理. 3.利用两个平面垂直于同一直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面. 例 2 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 为底面 ABCD 的中心, P 是 DD1 的中点,设 Q 是
CC1 上的点,问:当点 Q 是 CC1 上的点,问当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ // 平面PAO .
D1 A1 P D A O C1 B1 (第 2 页Q 共 6 页) C

(Ⅰ)求证: CD ? 平面SAD ; (Ⅱ)求证: PQ // 平面SCD ; (Ⅲ)若 SA ? SD , M 为 BC 的中点,在棱 SC 上是否存在点 N , 使得平面 DMN ? 平面ABCD ,并证明你的结论.
A

S

D P

Q

C B

考点四:线面角和二面角 1.求直线与平面所成的角,一般分为两大步骤: ①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影; ②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解. 2.求二面角是作出二面角的平面角,常用的方法为定义法和垂面法. 例 5 如图, 已知 DC ? 平面 ABC ,EB ∥ DC ,AC ? BC ? EB ? 2 DC ? 2 ,?ACB ? 120? ,P , Q 分别为 AE , AB 的中点. (Ⅰ)证明: PQ ∥平面 ACD ; (Ⅱ)求 AD 平面与 ABE 所成角的正弦值.
A E D P C Q B

考点五:求距离问题 G 分别是棱 AP ,AC , 例 7 如图,在四面体 PABC 中, PC ? AB , PA ? BC ,点 D , E ,F , BC ,PB 中点. P (Ⅰ)求证: DE // 平面BCP ; (Ⅱ)求证:四边形 DEFG 为矩形; (Ⅲ)是否存在点 Q ,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明 理由.
D G B E C F

A

例 6 如图,在锥体 P ? ABCD 中, ABCD 是边长为 1 的菱形,且 ?DAB ? 60? , PA ? PD ? 2 ,

例 8 如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是矩形,PA ? 平面 ABCD ,E ,F 分别是 AB ,PD 的 中点,又是二面角 P ? CD ? B 为 45 ? . (Ⅰ)求证: AF ∥平面 PEC ; (Ⅱ)求证:平面 PEC ? 平面 PCD . (Ⅲ)设 AD ? 2 , CD ? 2 2 ,求点 A 到平面 PEC 的距离.
B E C P F A D

PB ? 2 , E , F 分别是 BC , PC 的中点. (Ⅰ)证明: AD ? 平面 DEF ; (Ⅱ)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值.

P F D A B E C

五.巩固练习 (一)选择题: (1)若直线 m 、 n 和平面 ? 、? ,下列四个命题中,正确的是(
(第 3 页 共 6 页)



n // ? ,则 m // n (A)若 m // ? , (B)若 m ?? , n ?? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? m ? ? ,则 m ? ? (C)若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m // ? (D)若 ? ? ? ,

AD1 ,BC 上移动,且始终保持 MN // 平面DCC1D1 ,设 BN ? x , MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的

图象大致是(
y


y y y

(2)对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m ,使 m 与 l ( ) (A)平行 (B)相交 (C)垂直 (D)互为异面直线 (3)给出下列四个命题,其中正确的个数是( ) ①平行于同一平面的两个平面平行; ②夹在两个平行平面间的线段相等; ③与一对异面直线都平行的两个平面平行; ④两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面; ⑤一个平面与两个平行平面相交,交线平行. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4)在空间中,有如下命题: ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ④若两个平面相互垂直,则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直 线. 其中正确命题的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (5)如图,在三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,点 E 、F 、H 、K 分别为 AC ? 、CB ? 、 A?B 、B?C? 的中点,G 为 △ ABC 的重心.从 K 、H 、G 、B? 中取一点作为 P ,使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平 行,则 P 为( (A) K (B) H (C) G (D) B?
A' C' E B'

O

x

O

x

O

x

O

x

(A) (B) (C) (D) PB ? ? , C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点, (8) 定点 A 和 B 都在平面 ? 内, 定点 P ? ? , 且 PC ? AC . 那 C 么动点 在平面 ? 内的轨迹是( ) (A)一条线段,但要去掉两个点 (B)一个圆,但要去掉两个点 (C)一个椭圆,但要去掉两个点 (D)半圆,但要去掉两个点 (9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( ) (A)只有 1 个 (B)恰有 3 个 (C)恰有 4 个 (D)有无穷多个 (10)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90 , ?ACC1 ? 60 , ?BCC1 ? 45 ,侧棱 CC1 的长 为 1,则该三棱柱的高等于( (A) (C) )
2 2
A1 C1 B1

1 2
3 2

(B) (D)



A G H C F

B

3 A B 3 C (11)如图,在棱长均为 1 的三棱锥 S ? ABC 中, E 为棱 SA 的中点, F 为 △ ABC 的中心,则直线 S ) EF 与平面 ABC 所成角的正切值是(

(A) 2 2 (C) 2

(B) 1
2 (D) 2
A

E

C F B

(12) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 各棱长相等, 侧棱垂直于底面, 点 D 是侧面 BB1C1C 的中心, 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( (A) 30
C1 B1

(6)已知平面 ? 、? 满足 ? // ? , AB 和 CD 是夹在 ? 与 ? 之间的线段, AB ? CD ,且 AB ? 2 ,如 果直线 AB 与 ? 所成的角为 30 ,那么线段 CD 的长的取值范围是( (A) (
2 3 4 3 , ] 3 3

) (C) 60 (D) 90

) (D) [
2 3 ,? ? ) 3
D1 A1

? ?) (B) [1,

2 3 ] (C) [1, 3

(B) 45

(13)已知二面角 ? ? l ? ? 为 60 ,动点 P 、 Q 分别在面 ? 、? 内, P 到 ? 的距离为 3 , Q 到 ? 的 距离为 2 3 ,则 P 、Q 两点之间距离的最小值为( )

( 7 )如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 2 ,AB ? 1 , M 、N 分别 在

M

(第 4 页 共 6 页)
D A B N C

(A) 2

(B) 2

(C) 2 3

(D) 4

(19)如图,正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 a ,侧棱长为 2 a ,点 P 、Q 分别在 BD 和 SC 上,并
PD ? 1: 2 , PQ // 平面SAD ,求线段 PQ 的长. 且 BP :
S

(二)填空题: (14)下列四个正方体图形中, A 、B 为正方体的两个顶点, M 、N 、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB // 平面MNP 的图形的序号是
N M A

(写出所有符号要求的图形序号) .
A
A M P N

Q D C P B

N P
R A

A N
P B

B M P







B

B

M



(15)对于四面体 ABCD ,下列命题正确的是 ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面;

(写出所有正确命题的序号) .

②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是 △BCD 三条高线的交点; ③若分别作 △ ABC 和 △ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在的直线异面; ④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点; ⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱. (16) P 为 △ ABC 所在平面外一点,且 PA 、PB 、PC 两两互相垂直,则下列命题: ① PA ? BC ;② PB ? AC ;③ PC ? AB ;④ AB ? BC . 其中正确的个数是 .
E

( 20 )如图,四边形 ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE , AE ? EB ? BC ? 2 , F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面ACE . D C (Ⅰ)求证: AE ? BE ; (Ⅱ)求三棱锥 D ? AEC 的体积; (Ⅲ)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM ? 2MB ,试在线段 CE 上确定 F 一点 N ,使得 MN // 平面DAE . B A

(17)设 ? 、? 、? 为彼此不重合的三个平面, l 为直线,则给出下列命题: ①若 ? // ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? ,且 ? ? ? l ,则 l ? ? ; ③若直线 l 与平面 ? 内的无数条直线垂直,则直线 l 与平面 ? 垂直; ④若 ? 内存在不共线的三点到 ? 的距离相等,则平面 ? 平行于平面 ? . 上面命题中,真命题的序号为 (写出所有真命题的序号) .①② (三)解答题: ( 18 )如图,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直, ?ADE ? 90 , AF // DE , DE ? DA ? 2AF ? 2 . E (Ⅰ)求证: AC // 平面BEF ; (Ⅱ)求四面体 BDEF 的体积.

(21)如图, PO ? 平面ABCD ,点 O 在 AB 上, EA // PO ,四边形 ABCD 为直角梯形, BC ? AB ,

1 BC ? CD ? BO ? PO , EA ? AO ? CD . 2
(Ⅰ)求证: BC ? 平面ABPE ; (Ⅱ)直线 PE 上是否存在点 M , 使 DM // 平面PBC ,若存在,求出
E

P

F

D

C

点 M ;若不存在,说明理由.

A D

O

B C

A

B

(第 5 页 共 6 页)

(22)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PA ? PC , E 为 PB 的中点. P (Ⅰ)求证: PD // 平面AEC ; (Ⅱ)求证: 平面AEC ? 平面PDB .
E D A C B

(23)如图,在 △ ABC 中, ?B ?

?
2

P 为 AB 边上一动点, PD // BC 交 AC 于点 D , , AB ? BC ? 2 ,
A' B

现将 △PDA 沿 PD 翻折至 △PDA? ,使平面 PDA? ? 平面PBCD . (Ⅰ)当棱锥 A? ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (Ⅱ)若点 P 为 AB 的中点, E 为 A?C 的中点,求证: A?B ? DE .

E C

P

D

A

(24)如图,已知直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? BC ,

D

AB ?1 , BC ? 2 , CD ? 1 ? 3 ,过 A 作 AE ? CD ,垂足
G 、F 分别为 AD 、CE 的中点, 为 E, 现将 △ADE 沿 AE

D G A

E F

C
G E F

折叠,使得 DE ? EC . (Ⅰ)求证: BC ? 面 CDE ; (Ⅱ)求证: FG // 平面BCD ;

C

B
A B

(Ⅲ)在线段 AE 上找一点 R ,使得平面 BDR ? 平面BCD ,并说明理由.

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