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高三数学单元练习题三角函数(Ⅲ)

高三数学单元练习题:三角函数(Ⅲ)
一、填空题:本大题共 14 小题,共 70 分,不需要写出解答过程。 1、已知直线 l1 : (a ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 0 与 l2 : (a ?1) x ? y ? 8 ? 0 平行,则 a 的值是 2、下列四个命题,其中真命题的序号是 。 2 2 ① ?n ? R,n ≥n ; ② ?n ? R,n ? n ; 2 ③ ?n ? R,?m ? R,m ? n ;④ ?n ? R,?m ? R,m ? n ? m . 3、设 f(x)= ax 5 ? bsin x+x 2 ,且 f(-2)=3,则 f(2)= 。 。 。

??? ? ??? ? 4、在△ABC 中,已知 AB=4,AC=3,P 是边 BC 的垂直平分线上的一点,则 BC ? AP =

5、不等式

x?5 ≥ 2 的解集是 ( x ? 1) 2



6、函数 y ? x ? 2sin x 在(0, 2? )内的单调增区间为 7、若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算,即 a ? b ? 且对于任意 3 个实数 a,b,c 都能成立的一个等式可以是 8、若函数 y ? ( )



a?b ,则两边均含有运算符号“*”和“+” , 2
。 。 。

1 2

1? x

? m 存在两个零点,则 m 的取值范围是

2 9、在等差数列 {an } 中, a n ≠0,当 n≥2 时, an ?1 - an + an ?1 =0,若 S2k ?1 =46,则 k 的值为

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10、 已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 且 x2 ? y 2 的最大值等于 a,最小值等于 b,则 a+b= ? y ? 3 ? 0. ?



11、已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角,向量 a ? (sin = 。

A? B C 1 ,sin A) , b ? (cos ,sin B) , a ? b ? ,则 tan A ? tan B 2 2 2

12、已知函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ?

?
3

) ? 1 ,给定条件 p :

?
4

?x?

?
2

,条件 q :? 2 ? f ( x) ? m ? 2 ,若 p 是 q 的

充分条件,则实数 m 的取值范围为 。 13、若等比数列的各项均为正数,前 n 项之和为 S ,前 n 项之积为 P ,前 n 项倒数之和为 M ,下列关系成立的 是 。(填序号) ①P=

S M

②P>

S M

? S ? ③ P2 ? ? ? ?M ?

n

? S ? ④ P2 > ? ? ?M ?

n

14、 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x 2 , 若对任意的 x ? ?t,t ? 2? , 不等式 f ( x ? t ) ≥ 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是 。 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 (本题满分 14 分) 已知不等式 x 2 ? 5 x ? 6 ≤0 的解集是 A,函数 f ( x) ? log2 (a ? x) 的定义域为集合 B。 (1)求集合 A; (2)若 A ? B 求 a 的取值范围。

16、 (本题满分 14 分) 在直角坐标系 xoy 中,若角 ? 的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射线 l:y= 2 2 x (x≥0)。 (1)求 sin(? ?

?
6

) 的值;

(2)若点 P,Q 分别是角 ? 始边、终边上的动点,且 PQ=4,求△POQ 面积最大时,点 P,Q 的坐标。

17、 (本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? (Ⅰ)求角 A;

2 C (Ⅱ)若向量 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos ,试求|m ? n|的最小值。 2

?

tan A 2c ? 。 tan B b

?

18、 (本题满分 15 分) 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元( 3 ? a ? 5 )的管理费, 预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ? x ? 11 )时,一年的销售量为 (12 ? x) 2 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q ( a ) . 19、 (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)=sinx+cosx 和 g(x)=2sinxcosx. (1)若 a 为实数,试求函数 F(x)=f(x)+ ag(x) ,x∈[0,

π ]的最小值 h(a) ; 2

(2)若存在 x0∈[0,

1 π ],使 | a f(x)-g(x)-3|≥2 成立,求实数 a 的取值范围. 2

20、 (本题满分 16 分) 已 知 在 等 差 数 列 {an } 中 , a3 ? 4, 前 7 项 和 等 于 35 , 数 列 ?bn ? 中 , 点 (bn ,Sn ) 在 直 线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上 ,

其中Sn是数列{ bn } 的前n 项和( n ? N ? ).
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:数列 {bn } 是等比数列;

(3)设 cn ? an ? bn , Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项的和,求 Tn 并证明:

4 5 ? Tn ? . 3 2

参考答案 1、已知直线 l1 : (a ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 0 与 l2 : (a ?1) x ? y ? 8 ? 0 平行,则 a 的值是 2、下列四个命题,其中真命题的序号是 ▲ .④ ① ?n ? R,n2≥n ; ② ?n ? R,n 2 ? n ; ③ ?n ? R,?m ? R,m2 ? n ;④ ?n ? R,?m ? R,m ? n ? m . 3、设 f(x)= ax 5 ? bsin x+x 2 ,且 f(-2)=3,则 f(2)= 5
??? ? ??? ? 4、在△ABC 中,已知 AB=4,AC=3,P 是边 BC 的垂直平分线上的一点,则 BC ? AP =



.5



.-

7 2

5、不等式

x?5 ≥ 2 的解集是 ( x ? 1) 2

? 1 ? ? , 1? ? ?1, 3? ? ? 2 ?


6、函数 y ? x ? 2sin x 在(0, 2? )内的单调增区间为 【答案: (

? 5?
3 , 3

)】 a?b ,则两边均含有运算符号“*”和“+” , 2
。 。 【答案: ? 1 ? m ? 0 】 ▲ .12

7、若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算,即 a ? b ? 且对于任意 3 个实数 a,b,c 都能成立的一个等式可以是 答案: (a*b)+c=(a*c)+(b*c) 8、若函数 y ? ( )

1 2

1? x

? m 存在两个零点,则 m 的取值范围是

2 9、在等差数列 {an } 中, a n ≠0,当 n≥2 时, an ?1 - an + an ?1 =0,若 S2k ?1 =46,则 k 的值为

? x ? y ? 2 ? 0, ? x , y 10、已知实数 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 且 x2 ? y 2 的最大值等于 a,最小值等于 b,则 a+b= ? y ? 3 ? 0. ?



.39

11、已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角,向量 a ? (sin ▲ .

A? B C 1 ,sin A) , b ? (cos ,sin B) , a ? b ? ,则 tan A ? tan B = 2 2 2

1 3

12、已知函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ?

?
3

) ? 1 ,给定条件 p :


?
4

?x?

?
2

,条件 q :? 2 ? f ( x) ? m ? 2 ,若 p 是 q 的

充分条件,则实数 m 的取值范围为 【答案: (3,5) 】

13、 若等比数列的各项均为正数,前 n 项之和为 S ,前 n 项之积为 P ,前 n 项倒数之和为 M ,下列关系成立的





.(填序号) ③

S ①P= M

S ②P> M

? S ? ③ P2 ? ? ? ?M ?

n

? S ? ④ P >? ? ?M ?
2

n

14、 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x 2 , 若对任意的 x ? ?t,t ? 2? , 不等式 f ( x ? t ) ≥ 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是 ▲ . [ 2, ? ∞)

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 (本题满分 14 分) 已知不等式 x 2 ? 5 x ? 6 ≤0 的解集是 A,函数 f ( x) ? log2 (a ? x) 的定义域为集合 B. (1)求集合 A; (2)若 A ? B 求 a 的取值范围. 解: (1)∵ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ,∴ ( x ? 6)( x ? 1) ? 0 ,∴ ?1 ? x ? 6 ∴ A ? {x | ?1 ? x ? 6} . ????????(7 分)

(2)由题意可知: a ? x ? 0 ,∴ x ? a ,∴ B ? {x | x ? a} ,?????(10 分) ∵A ? B,∴ a ? 6 . ???????(14 分) 16、 (本题满分 14 分) 在直角坐标系 xoy 中,若角 ? 的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射线 l:y= 2 2 x (x≥0).(1)求 sin(? ? 值;(2)若点 P,Q 分别是角 ? 始边、终边上的动点,且 PQ=4,求△POQ 面积最大时,点 P,Q 的坐标. .(1)由射线 l 的方程为 y ? 2 2x ,可得 sin ? ? 故 sin(? ?

?
6

)的

2 2 1 , cos? ? , 3 3

?????2 分

?
6

)=

2 2 3 1 1 1? 2 6 ? ? ? ? . 3 2 3 2 6

???????????4 分

(2)设 P?a,0?, Q b,2 2b ?a ? 0, b ? 0? . 在 ?POQ 中因为 PQ2 ? ?a ? b? ? 8b 2 ? 16 , ??????????????6 分
2

?

?

即 16 ? a 2 ? 9b 2 ? 2ab ? 6ab ? 2ab ? 4ab ,所以 ab ≤4

?????8 分

?S?POQ ? 2ab ? 4 2 .当且仅当 a ? 3b ,即 a ? 2 3, b ?

2 3 取得等号. 3

10 分

所以 ?POQ 面积最大时,点 P, Q 的坐标分别为 P 2 3 ,0 , Q? ?

?

?

?2 3 4 6? ? .14 分 , ? 3 3 ? ?

17、 (本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? (Ⅰ)求角 A;

tan A 2c ? . tan B b

2 C (Ⅱ)若向量 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos ,试求|m ? n|的最小值. 2

?

?

解: (Ⅰ) 1 ?

tan A 2c sin A cos B 2sin C ? ?1? ? , ???????3 分 tan B b sin B cos A sin B

即 ∴

sin B cos A ? sin A cos B 2sin C ? , sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C 1 ? ,∴ cos A ? . ??????5 分 sin B cos A sin B 2 π .??????????????7 分 3 C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2 2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) .????10 分 3 2 6

∵ 0 ? A ? π ,∴ A ?

2 (Ⅱ)m ? n ? (cos B,2cos

? |m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 (
∵A?

π 2π 2π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) . 3 3 3

π π 7π 从而 ? ? 2B ? ? . ??????????????12 分 6 6 6 π π 1 ∴当 sin(2B ? ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 2 取得最小值 .????13 分 6 3 2
所以,|m ? n| min ?
2 .?????????14 分 2

18、 (本题满分 15 分) 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元( 3 ? a ? 5 )的管理费, 预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ? x ? 11 )时,一年的销售量为 (12 ? x) 2 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q ( a ) . 解: (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:

L ? ( x ? 3 ? a)(12 ? x) 2 , x ? [9, 11] . ???4 分
(2) L?( x) ? (12 ? x) 2 ? 2( x ? 3 ? a)(12 ? x) .

? (12 ? x)(18 ? 2a ? 3x)
令 L? ? 0 得 x ? 6 ?

????6 分

2 a 或 x ? 12 (不合题意,舍去). 3 2 28 ∵ 3 ? a ? 5 ,∴ 8 ? 6 ? a ? . ?????7 分 3 3 2 在 x ? 6 ? a 两侧 L ?( x ) 的值由正变负. 3 9 2 所以(1)当 8 ? 6 ? a ? 9 ,即 3 ? a ? 时, 3 2

Lmax ? L(9) ? (9 ? 3 ? a)(12 ? 9) 2 ? 9(6 ? a) .
(2)当 9 ? 6 ?

?????9 分

Lmax

2 28 9 a? 即 ? a ? 5 时, 3 3 2 2 2 2 1 ? L(6 ? a) ? (6 ? a ? 3 ? a)[12 ? (6 ? a)] 2 ? 4(3 ? a) 3 ,?11 分 3 3 3 3

9 ? 9(6 ? a), 3? a ? ? ? 2 所以 Q (a ) ? ? . 9 ?4(3 ? 1 a) 3 , ?a?5 ? 3 2 ?

?????12 分

答:若 3 ? a ?

9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a) ? 9(6 ? a) (万元);若 2 1 9 2 ? a ? 5 ,则当每件售价为 (6 ? a ) 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a) ? 4(3 ? a) 3 ( 万元 ). 3 2 3
????????15 分

19、 (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)=sinx+cosx 和 g(x)=2sinxcosx. (1)若 a 为实数,试求函数 F(x)=f(x)+ ag(x) ,x∈[0,

π ]的最小值 h(a) ; 2

(2)若存在 x0∈[0,

1 π ],使 | a f(x)-g(x)-3|≥2 成立,求实数 a 的取值范围. 2

解: (1)F(x)=sinx+cosx+2asinxcosx, 令 sinx+cosx=t,t∈[1, 2],则 2sinxcosx= t2-1, F(x)=m(t)=at2+t-a,t∈[1, 2].?????????2 分 1 1 1 ①当 a<0 时,m(t)=at2+t-a=a(t+ )2+ -a 是开口向下,对称轴 t=- 的抛物线. 2a 4a 2a 若 t=- 若 t=-

1 1? 2 ≥ ,即 1- 2≤a<0, 则 h(a)= m(1)=1. 2a 2 1 1? 2 < ,即 a< 1- 2,则 h(a)= m( 2 )= a+ 2 .?4 分 2a 2

②当 a=0 时,m(t)=at2+t-a 是[1, 2]上的增函数,h(a)= m(1)=1. 1 1 1 ③当 a>0 时,m(t)=at2+t-a=a(t+ )2+ -a 是开口向上,对称轴 t=- <0 的抛物线,故在 2a 4a 2a 区间[1, 2 ]上是增函数,所以 h(a)= m(1)=1.?7 分

? ?a+ 2,a ? 1 ? 2, 综上所述, h(a) ? ? ??????????8 分 ? ?1,a ≥1- 2.
(2)令 sinx+cosx=t,t∈[1, 2], | a f(x)-g(x)-3|=| a(sinx+cosx)-2sinxcosx-3| 1 =| t2-at+2|≥2,t∈[1, 2], ?????????10 分 1 1 3 5 ∴ t2-at+2≥2,或 t2-at+2≤-2.∴ a≤t+2t,或 a≥t+2t. ??12 分 3 5 9 7 5 当 t∈[1, 2]时,t+2t∈[ 6, ],t+2t∈[4 2,2]. ???????14 分 2 9 5 ,或 a≥4 2.????????????16 分 2

∴ a≤

20、 (本题满分 16 分) 已 知 在 等 差 数 列 {an } 中 , a3 ? 4, 前 7 项 和 等 于 35 , 数 列 ?bn ? 中 , 点 (bn ,Sn ) 在 直 线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上 ,

其中Sn是数列{ bn } 的前n 项和( n ? N ? ).
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:数列 {bn } 是等比数列;

(3)设 cn ? an ? bn , Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项的和,求 Tn 并证明:

4 5 ? Tn ? . 3 2

?a1 ? 2d ? 4 ? a1 ? 2 ? 解(1)设数列 {an } 的公差为 d,则由题意知: ? 得? 7?6 7a1 ? d ? 35 ? d ? 1 ? ? 2
∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? n ?1 ? n ? 1. ????????(3 分) (2)∵点 (bn , Sn ) 在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上 ∴ bn ? 2Sn ? 2 ? 0 ----① , bn?1 ? 2Sn?1 ? 2 ? 0 (n ? 2) ①-②得 bn ? bn?1 ? 2bn ? 0 ,∴ bn ? 又当 n ? 1 时, b1 ? ? -----②

1 b1 ? 1 2 2 1 ∴数列 {bn } 是以 为首项, 为公比的等比数列。????????(9 分) 3 3 2 1 n ?1 2 (3)由(2)知, bn ? ? (? ) ? n , 3 3 3 2 ∴ c n ? a n ? bn ? (n ? 1) ? n 3 2? 2 2?3 2? 4 2( n ? 1) Tn ? ? 2 ? 3 ?? ? -----------③ 3 3 3 3n 1 2? 2 2?3 2? 4 2n 2( n ? 1) Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ------④ 3 3 3 3 3 3 2 2? 2 2 2 2 2(n ? 1) ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ③—④得, Tn ? 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ?1 ) n ?1 1 1 1 1 (n ? 1) 3 3 ? n ∴ Tn ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? =2? n 1 3 3 3 3 3 3 1? 3 1 1 n ? 1 5 2n ? 5 = 2 ? (1 ? n ?1 ) ? n = ? ???????? (14 分) 2 3 3 2 2 ? 3n 5 2n ? 5 5 Tn ? ? ? 2 2 ? 3n 2 4 由③知 Tn 的最小值是 T1 ? 3 4 5 ∴ ? Tn ? ????????(16 分) 3 2

1 bn ?1 (n ? 2) ,????????(6 分) 3 2 ∴ b1 ? ? 0 3


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