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平面向量与三角函数的综合习题

三角函数与平面向量综合题
题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→ p =(2-2sinA,cosA+sinA)与向量→ q= (cosA-sinA,1+sinA)是共线向量. C-3B (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)求函数 y=2sin2B+cos 的最大值. 2 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 3? 已知向量→ a =(3sinα,cosα),→ b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈( ,2π),且→ a ⊥→ b. 2 α ? (Ⅰ)求 tanα 的值; (Ⅱ)求 cos( + )的值. 2 3 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 2 ? → 已知向量→ a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ), |→ a -→ b |= 5.(Ⅰ)求 cos(α-β)的值; (Ⅱ)若- < 5 2 5 ? β<0<α< ,且 sinβ=- ,求 sinα 的值. 2 13 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 ? → 设函数 f(x)=→ a· b .其中向量→ a =(m,cosx),→ b =(1+sinx,1),x∈R,且 f( )=2.(Ⅰ)求 2 实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值. 题型五:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 (山东卷)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ;(2)若 CB ? CA ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

题型六:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 (2007 年高考陕西卷)f ( x) ? a ? b , 其中向量 a ? (m,cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2x,1) ,x ? R , 且函数 y ? f ( x) 的图象经过点 ( (Ⅰ)求实数 m 的值;

?
4

, 2) .

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。

题型七:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题 设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ? 题型八:三角函数平移与向量平移的综合 ? 把函数 y=sin2x 的图象按向量→ a =(- ,-3)平移后,得到函数 y=Asin(ωx+?)(A>0,ω 6 ? >0,|?|= )的图象,则 ? 和 B 的值依次为 2 ( )

3 成立的 x 的取值集. 2

? A. ,-3 12 已知 0 ? ? ?

? B. ,3 3

? C. ,-3 3

? D.- ,3 12

:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值

?
4

, ? 为 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
8

) 的最小正周期,

a ? (tan(? ?

?
4

), ?1), b ? (cos ? , 2), a ? b ? m ,求

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 的值. cos ? ? sin ?

题型十:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 如图,函数 y ? 2sin(? x ? ? ), x ? R (其中 0 ? ? ? (Ⅰ)求 ? 的值;

?
2

)的图像与 y 轴交于点(0,1) 。

(Ⅱ)设 P 是图像上的最高点,M、N 是图像与 x 轴的交点, 求 PM 与 PN 的夹角。

题型十一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 (2007 年高考安徽卷)已知 0 ? ? ?

?
4

, ? 为 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
8

) 的最小正周期,

a ? (tan(? ?

?
4

), ?1), b ? (cos ? , 2), a ? b ? m ,求

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 的值. cos ? ? sin ?

题型十二:结合向量平移问题,考查三角函数解析式的求法 ?x π? ? ? ? (2007 年高考湖北卷)将 y ? 2cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ?2 ? 平移,则平移后所得 ?3 6? ? 4 ? 图象的解析式为( ) 2006 年 高 考 湖 北 卷 ) 设 向 量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R , 函 数

f ( x) 的最大值与最小正周期; (Ⅰ)求函数 f ( x)? a ? ( a? . b ) 3 (Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集. 2


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