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2013年全国初中数学竞赛试题(含答案)


2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题 1.设非零实数 a , b , c 满足 ?

?a ? 2b ? 3c ? 0, ab ? bc ? ca 则 2 的值为( 2 2 ?2a ? 3b ? 4c ? 0, a ? b ? c
(C)

).

(A) ?

1 2

(B) 0

1 2

(D) 1

【答案】A 【解答】由已知得 a ? b ? c ? (2a ? 3b ? 4c) ? (a ? 2b ? 3c) ? 0 ,故

1 ab ? bc ? ca 1 (a ? b ? c)2 ? 0 .于是 ab ? bc ? ca ? ? (a 2 ? b2 ? c 2 ) ,所以 2 ?? . 2 2 2 a ?b ?c 2
2.已知 a , b , c 是实常数,关于 x 的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个非零实根
2

x1 , x2 ,则下列关于 x 的一元二次方程中,以
(A) c x ? (b ? 2ac) x ? a ? 0
2 2 2 2

1 1 , 2 为两个实根的是( 2 x1 x2
2 2 2 2

).

(B) c x ? (b ? 2ac) x ? a ? 0 (D) c x ? (b ? 2ac) x ? a ? 0
2 2 2 2

(C) c x ? (b ? 2ac) x ? a ? 0
2 2 2 2

【答案】B 【解答】 由于 ax ? bx ? c ? 0 是关于 x 的一元二次方程, 则a ? 0. 因为 x1 ? x2 ? ?
2

b , a

x1 x2 ?

c , 且 x1 x2 ? 0 , 所 以 c ? 0 , 且 a

2 ? 2 x1 x2 b 2 ? 2 1 1 ( x1 ? x2 ) ac ? ? ? , 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 c2

1 1 a2 ? 2 ? 2 , x12 x2 c
于是根据方程根与系数的关系,以

1 1 , 2 为两个实根的一元 2 x1 x2

二次方程是 x ?
2

b2 ? 2ac a2 x ? ? 0 ,即 c2 c

c 2 x 2 ? (b2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0 .
3.如图,在 Rt△ABC 中,已知 O 是斜边 AB 的中点,CD⊥AB, (第 3 题)

- 1 -

垂足为 D,DE⊥OC,垂足为 E.若 AD,DB,CD 的长度都是有理数,则线段 OD,OE, DE,AC 的长度中,不一定 是有理数的为( ... (A)OD (C)DE 【答案】D 【解答】因 AD,DB,CD 的长度都是有理数,所以,OA=OB= OC= (B)OE (D)AC ).

AD ? BD 是有理数.于是,OD=OA-AD 是有理数. 2
OD 2 DC· DO , DE ? 都是有 OC OC
(第 3 题答题)

由 Rt△DOE∽Rt△COD,知 OE ?

理数,而 AC=

AD· AB 不一定是有理数.

4.如图,已知△ABC 的面积为 24,点 D 在线段 AC 上,点 F 在线段 BC 的延长线上,且 BC ? 4CF ,DCFE 是平行四边形,则图中阴影部分的 面积为( (A)3 (C)6 【答案】C 【解答】因为 DCFE 是平行四边形,所以 DE//CF,且 EF//DC. 连接 CE,因为 DE//CF,即 DE//BF,所以 S△DEB = S△DEC, 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积. 连接 AF,因为 EF//CD,即 EF//AC,所以 S△ ACE = S△ ACF. 因为 BC ? 4CF ,所以 S△ ABC = 4S△ ACF.故阴影部分的面积为 6. 5.对于任意实数 x,y,z,定义运算“*”为:
(第 4 题答题)

) . (B)4 (D)8 (第 4 题)

x? y ?

3x 3 y ? 3x 2 y 2 ? xy 3 ? 45

? x ? 1? ? ? y ? 1?
3

3

? 60



且 x ? y ? z ? ? x ? y ? ? z ,则 2013 ? 2012 ??? 3 ? 2 的值为( (A)

). (D)

607 967

(B)

1821 967

(C)

5463 967

16389 967

【答案】C 【解答】设 2013 ? 2012 ??? 4 ? m ,则

- 2 -

? 2013 ? 2012 ?? ? 4 ? ? 3 ? m ? 3 ?

3m3 ? 3 ? 3m 2 ? 9 ? m ? 27 ? 45 ?9, m3 ? 3m 2 ? 3m ? 1 ? 64 ? 60 3 ? 93 ? 2 ? 3 ? 92 ? 22 ? 9 ? 23 ? 45 5463 . ? 103 ? 33 ? 60 967

于是 ? 2013 ? 2012 ?? ? 3? ? 2 ? 9 ? 2 ?

二、填空题
3 6.设 a ? 3 ,b 是 a 2 的小数部分,则 (b ? 2) 的值为
3



【答案】 9
3 3 2 【解答】由于 1 ? a ? 2 ? a ? 3 ,故 b ? a ? 2 ? 9 ?2 ,因此 (b ? 2) ? ( 3 9) ? 9 .

2

3

7.如图,点 D,E 分别是△ ABC 的边 AC,AB 上的点,直线 BD 与 CE 交于点 F,已知△ CDF,△ BFE,△ BCF 的面积分别是 3,4,5,则四边形 AEFD 的面积是 【答案】 .

204 13
S?AEF ? 4 S?AEF ? S?BFE BF S?BCF 5 = ? ? ? , S?AFD S?AFD FD S?CDF 3 S?AFD ? 3 S?AFD ? S?CDF CF S?BCF 5 ? ? ? ? , S?AEF S?AEF FE S?BEF 4

【解答】如图,连接 AF,则有: (第 7 题)

108 96 , S ?AFD ? . 13 13 204 所以,四边形 AEFD 的面积是 . 13
解得 S?AEF ? 8. 已知正整数 a, b, c 满足 a ? b ? 2c ? 2 ? 0 ,3a ? 8b ? c ? 0 , 则 abc
2 2

(第 7 题答题)

的最大值为 【答案】 2013



【解答】由已知 a ? b ? 2c ? 2 ? 0 , 3a ? 8b ? c ? 0 消去 c,并整理得
2 2

? b ? 8?

2

? 6a 2 ? a ? 66 .由 a 为正整数及 6a 2 ? a ≤66,可得 1≤a≤3.
2

若 a ? 1 ,则 ? b ? 8 ? ? 59 ,无正整数解;
- 3 -

若 a ? 2 ,则 ? b ? 8 ? ? 40 ,无正整数解;
2

若 a ? 3 ,则 ? b ? 8 ? ? 9 ,于是可解得 b ? 11 , b ? 5 .
2

(i)若 b ? 11 ,则 c ? 61 ,从而可得 abc ? 3 ?11 ? 61 ? 2013 ; (ii)若 b ? 5 ,则 c ? 13 ,从而可得 abc ? 3 ? 5 ?13 ? 195 . 综上知 abc 的最大值为 2013 . 9.实数 a,b,c,d 满足:一元二次方程 x ? cx ? d ? 0 的两根为 a,b,一元二次方
2

程 x ? ax ? b ? 0 的两根为 c,d,则所有满足条件的数组 (a,,, b c d)
2



. 【答案】 (1 , ? 2,, 1 ? 2) , (t,, 0 ? t, 0) ( t 为任意实数)

?a ? b ? ?c, ? ?ab ? d, 【解答】由韦达定理得 ? ?c ? d ? ? a, ?cd ? b. ?
由上式,可知 b ? ?a ? c ? d . 若 b ? d ? 0 ,则 a ?

d b ? 1 , c ? ? 1 ,进而 b ? d ? ?a ? c ? ?2 . b d

若 b ? d ? 0 ,则 c ? ?a ,有 (a,,, b c d ) ? (t,, 0 ? t, 0) ( t 为任意实数). 经检验,数组 (1 , ? 2,, 1 ? 2) 与 (t,, 0 ? t, 0) ( t 为任意实数)满足条件. 10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售 4 元,圆珠笔每支售 7 元.开始时他 有铅笔和圆珠笔共 350 支, 当天虽然笔没有全部卖完, 但是他的销售收入恰好是 2013 元. 则 他至少卖出了 【答案】207 【解答】设 x,y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,则 ? 支圆珠笔.

?4 x ? 7 y ? 2013, ? x ? y ? 350,

2013 ? 7 y y ?1 , ? (503 ? 2 y ) ? 4 4 y ?1 于是 是整数.又 2013 ? 4( x ? y ) ? 3 y ? 4 ? 350 ? 3 y , 4
所以 x ? 所以 y ? 204 ,故 y 的最小值为 207,此时 x ? 141 .

- 4 -

三、解答题 11.如图,抛物线 y ? ax ? bx ? 3 ,顶点为 E,该抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,与 y
2

轴交于点 C,且 OB=OC=3OA.直线 y ? ? 求∠DBC?∠CBE. 【解答】将 x ? 0 分别代入 y ? ? 1),C(0, ?3 ), 所以 B(3,0),A( ?1 ,0).直线 y ? ?

1 x ? 1 与 y 轴交于点 D. 3

1 x ? 1 , y ? ax 2 ? bx ? 3 知,D(0, 3

1 x ? 1 过点 B. 3

(第 11 题)

将点 C(0, ?3 )的坐标代入 y ? a( x ? 1)( x ? 3) ,得 a ? 1 . …………5 分 抛物线 y ? x ? 2 x ? 3 的顶点为 E (1, ?4 ).于是由勾股定理得
2

BC= 3 2 ,CE= 2 ,BE= 2 5 . 因为 BC2+CE2=BE2,所以,△ BCE 为直角三角形, ?BCE ? 90? .
(第 11 题答题)

…………10 分 因此 tan ?CBE =

CE 1 OD 1 = .又 tan∠DBO= ? ,则∠DBO= ?CBE . OB 3 CB 3
…………15 分

所以, ?DBC ? ?CBE ? ?DBC ? ?DBO ? ?OBC ? 45? . …………20 分

- 5 -

12 .设 △ ABC 的外心,垂心分别为 O,H ,若 B,C, H, O共圆,对于所有的 △ ABC ,求 ?BAC 所有可能的度数. 【解答】分三种情况讨论. (i)若△ ABC 为锐角三角形. 因为 ?BHC ? 180? ? ?A ,?BOC ? 2?A , 所以由 ?BHC ? ?BOC ,可得 180? ? ?A ? 2?A ,于是 ?A ? 60? . …………5 分

(第 12 题答题(i))

(第 12 题答题(ii))

(ii)若△ ABC 为钝角三角形. 当 ?A ? 90? 时,因为 ?BHC ? 180? ? ?A,?BOC ? 2 ?180? ? ?A ? , 所以由 ?BHC ? ?BOC ? 180? ,可得 3 ?180? ? ?A? ? 180? ,于是 ?A ? 120? 。 …………10 分 当 ?A ? 90? 时,不妨假设 ?B ? 90? ,因为 ?BHC ? ?A ,?BOC ? 2?A , 所以由 ?BHC ? ?BOC ? 180? ,可得 3?A ? 180? ,于是 ?A ? 60? . …………15 分 (iii)若△ ABC 为直角三角形. 当 ?A ? 90? 时,因为 O 为边 BC 的中点, B,C,H,O 不可能共圆, 所以 ?A 不可能等于 90? ; 当 ?A ? 90? 时, 不妨假设 ?B ? 90? , 此时点 B 与 H 重合, 于是总有 B,C,H,O 共 圆,因此 ?A 可以是满足 0? ? ?A ? 90? 的所有角. 综上可得, ?A 所有可能取到的度数为所有锐角及 120? . …………20 分

- 6 -

13 . 设 a , b , c 是 素 数 , 记 x ? b ? c ? a,y ? c ? a ? b,z ? a ? b ? c , 当

z 2 ? y,

x ? y ? 2 时, a , b , c 能否构成三角形的三边长?证明你的结论.

【解答】不能.

1 1 1 ( y ? z ),b ? ( x ? z ),c ? ( x ? y ) . 2 2 2 1 1 z( z ? 1) 2 因为 y ? z ,所以 a ? ( y ? z ) ? ( z 2 ? z ) ? . 2 2 2
依题意,得 a ? 又由于 z 为整数, a 为素数,所以 z ? 2 或 ?3 , a ? 3 .…………10 分 当 z ? 2 时, y ? z ? 4,x ? ( y ? 2) ? 16 .进而, b ? 9 , c ? 10 ,与 b , c 是素
2 2

数矛盾;…………15 分 当 z ? ?3 时, a ? b ? c ? 0 ,所以 a , b , c 不能构成三角形的三边长.………20 分

14.如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被 7 整除,那么称 M 为 m 的“魔术数”(例如,把 86 放在 415 的左侧,得到的数 86415 能被 7 整除,所以称 86 为 415 的魔术数).求正整数 n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 a1,a2,…,an ,满足对 任意一个正整数 m,在 a1,a2,…,an 中都至少有一个为 m 的魔术数. 【解答】若 n≤6,取 m ? 1,2,…,7,根据抽屉原理知,必有 a1,a2,…,an 中 的一个正整数 M 是 i,j (1 ≤ i < j ≤7 ) 的公共的魔术数, 即 7|( 10M ? i ), 7|( 10M ? j ). 则 有 7|( j ? i ),但 0< j ? i ≤6,矛盾. 故 n≥7.…………10 分 又当 a1,a2,…,an 为 1,2,…,7 时,对任意一个正整数 m,设其为 k 位数( k 为

, 2, 正整数).则 10 i ? m ( i ? 1 …,7)被 7 除的余数两两不同.若不然,存在正整数 i ,
k
k k 0 (k j ? )i , 满足 7|[( 10 j ? m) ? (10 i ? m)] , 即 7|1 从而 7| ( j ? i ) , 矛盾. j (1 ≤ i < j ≤7 ) ,

故必存在一个正整数 i (1 ≤ i ≤7 ) ,使得 7|( 10 i ? m) ,即 i 为 m 的魔术数.
k

所以,n 的最小值为 7.…………20 分

- 7 -


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