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2011年合肥一中自主招生《科学素养》测试试题(含答案)


编者:王沐书

2011 年合肥一中自主招生《科学素养》测试试题 数 学

(满分:150 分)
一、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 8 分,共 32 分.在每小题给出的四个选 项中,有且只有一项是正确的. )
1.如图一张圆桌旁有四个座位,A,B,C,D 四人随机坐在四个座位上,A 则 D 与相邻的概率是 ( )

A.

2 3

B.

1 2

C.

1 4

D.

2 9

2. 小明将一张正方形包装纸,剪成图 1 所示形状,用它包在一个棱长为 10 的正方体的表面 (不考虑接缝) ,如图 2 所示.小明所用正方形包装纸的边长至少为( ) A.40 B.30+2 2 C.20 2 D.10+10 2

3.在平面直角坐标系中,第一个正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A 的坐标为(1,0), 点 D 的坐标为(1,0),延长 CB 交 x 轴与 A1,作作第二个正方形 A1B1C1C;延长 C1B1 交 x 轴 于点 A2,作第二个正方形 A2B2C2C1 ? ? ? ,按这样的规律进行下去,第 2010 个正方形的面 积为( ) A. 5( )

3 2

2009

B. 5( )

9 4

2008

C. 5( )

3 2

4018

D. 5( )

9 4

2010

4.如图,在△ABC 中,AB=10,BC=6,经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA,CB 分别相 交于点 P,Q,则线段 PQ 长度为( )

1

编者:王沐书

A.4.75

B.4.8

C.5

D.4 2

二、填空题(本大题共有 5 小题,每题 10 分,共 50 分)
5.某县为了了解“五·一”期间该县常住居民的出游情况,有关部门随机调查了 1600 名居 民,并根据调查结果绘制了如下统计图:

若该县常住居民共 24 万人,则估计该县常住居民中,利用“五·一”期间出游采集发展信 息的人数约为 万人。 6.已知点 P(x,y)位于第二象限,并且 y≤x+4,x,y 为整数,符合上述条件的点 P 共 有 个。 7. 如图,已知菱形 OABC,点 C 在直线 y=x 经过点 A,菱形 OABC 的面积是 2 ,若反比例函 数的图象经过点 B,则此反比例函数表达式为 。

8.如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,,AD=2,将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至 DE,连结 AE,若△ADE 的面积是 3,则 BC 的长为_________.
E A D

B

C 2

编者:王沐书

9.如图, 矩形 ABCD 中, 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置, 由 则矩形 ABCD 的周长为 。

三、解答题(本大题共有 2 小题,共 68 分) 解答题
10.(30 分)甲车从 A 地驶往 C 地,在 C 停留一段时间后,返回 A 地,乙车从 B 地经 C 地 A 驶往,两车同时出发,相向而行,同时到达 C 地,设乙车行驶的时间为 x(h) ,两车之间的 距离为 y(km),图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系。 (1)A、B 两地之间的距离为 (km) ; km/h; 乙车的速度 km/h; 甲车的速度 (2)点 D 的坐标为 ;请解释图中点 D 的实际意义:

(3)在图中补全函数图象; (4)求出所补的函数图象的关系式。

11.(38 分)如图,射线 AM 平行于射线 BN,AB⊥BN 且 AB=3,C 是射线 BN 上的一个动点,连 接 AC,作 CD⊥AC 且 CD=

1 AC,过 C 作 CE⊥BN 于点 E, 2

设 BC 长为 t。 (1)AC 长为 ,△ACD 的面积是 (用含有 t 的代数式表示); (2)求点 D 到射线 BN 的距离(用含有 t 的代数式表示);

3

编者:王沐书

(3)是否存在点 C ,使△ACE 等腰三角形?若存在,请求出此时 BC 的长度;若不存在,请说 明理由。

4

编者:王沐书

参考答案 1.A 2.C 3.C 4.B 5.1.8 6.6 个点(点 P 为(-1,1)(-1,2) , , 7. y =
1+ 2 x
8.5 9. 8 5

(-1,3)(-3,1)(-2,1)(-2,2).) , , ,

10.(1)A、B 两地之间的距离为 960km;甲车的速度 100;乙车的速度 60;
(2)(11,0) ;图中点 D 的实际意义是乙行驶 11 小时后被甲追上;

(3) (4)y=40x-440(11≤x≤14) ; y=-6x+960(14≤x≤16)

t2 + 9 t2 + 9 11.(1)AC 长为 CD = ; ,△ACD 的面积是 . 2 4
(2)

t 2

(3)存在

【解】①如图(1) ,当 EC=AE 时,E 为 AD 中点,EC=1/2AD 此时 FC=BC, ∴t= , ②如图(2) ,当 AE=AC 时,AM⊥DF, 易得△AEG∽△ADH ∴EG/DH=AG/AH, ∴t/(t+ )=3/(t/4) ,即 t= 6 + 3 5 , ③当 0≤t<12 时,∠AEC 为钝角,故 AC≠CE.
3 2 3 2

5

编者:王沐书

当 t≥12 时,CE≤DF<DC<AC. 综上所述,当 BC 等于 和 6 + 3 5 时,△ACE 为等腰三角形.
3 2

6


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