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(管理)第七章 第1节 向量及其线性运算


第七章 空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算
一、空间直角坐标系

二、向量及其运算
三、向量的坐标

1

一、空间直角坐标系
1、空间点的直角坐标
平面直角坐标系
y
y

点P ? ( x, y )
图形? 方 程

P ( x, y )

x
o
x

可以用代数方法解决平 面几何问题 .

问 题: 空间几何问题能否用代 数方法解决 ?
2

几个基本概念
(1)、空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
即以右手握住 z 轴, 当右手的四个手指
z

竖轴

? 从正向 x 轴以 角 2 度转向正向 y 轴 横轴 x
时,大拇指的指向 就是 z 轴的正向.

定点 o

?

y 纵轴

空间直角坐标系
3

(2)、坐标面及卦限


z

zox 面


yoz面


xoy面
Ⅶ Ⅷ

o

y
Ⅵ Ⅴ



x

空间直角坐标系共有八个卦限
4

(3)、坐标
对于空间点 , 过P点作垂直于三个坐标 P

x 轴的平面与三坐标轴交于 , y, z点, ,
P ???( x, y, z )
称( x, y, z )为P点的坐标 ,
x为横坐标 y为纵坐标 z为竖坐标
显 然 O ( 0, 0, 0 )
1?1

z

zC
o

?P
yB y

A( x ,0,0) B(0, y,0) C (0,0, z )
5

x x

A

问 题: P(1,2,?1)在什么位置 ?

2、空间两点间的距离
(1)、点P( x, y, z)到原点的距离
? OP ? OQ ? QP
而 QP ? OC ? z 2
OQ ? OA ? AQ
2 2 2

2

2

2

z

2

2

C

? P ( x, y, z )
A

? x ? OB
2

2

o
Q

B

y

?x ?y
2
2

2

x

? OP ? x 2 ? y 2 ? z 2



OP ?

x2 ? y2 ? z2
6

(2)、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点

z

R
? M2
M1

d ? M1 M 2 ? ?
在直角 ? M 1 NM 2 Q 及 直 角 ?M PN 1 N 中,使用勾股定 y 理知
2
2

?

P

o

x

d ? M1 N ? NM 2
2

2

? M1 P ? PN ? NM 2 ,

2

2

7

? M1 P ? x2 ? x1 ,

z

R
? M2
M1

PN ? y2 ? y1 ,

?

Q

P
o

N

NM 2 ? z2 ? z1 ,
?d ?
2 2

y

x
2

M 1 P ? PN ? NM 2
2

M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ? .
2 2

空间两点间距离公式

特殊地:若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)

d ? OM ? x 2 ? y 2 ? z 2 .
8

二、向量及其运算
1、向量的概念
向量:既有大小又有方向的量.
M2 ?

? 向量表示:a 或 M1 M 2

?M

1

? 向量的模: 向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 | ? 零向量: 模长为0的向量. 0

以 M 1 为起点,M 2 为终点的有向线段.

单位向量:模长为1的向量. a 0 或 M M 0 1 2

10

自由向量:不考虑起点位置的向量. 相等向量:大小相等且方向相同的向量.

? a

? b

负向量:大小相等但方向相反的向量.? a

?

? ?a

? a

向径: 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
11

2、向量的加减法
? ? ? [1] 加法:a ? b ? c
平行四边形法则 三角形法则

? ? b c
? c

? a

? b

? ? 特殊地:若 a‖ b 分为同向和反向 ? ? ? ? ? | c |?| a | ? | b | c ? b ? a ? b c ? ? a ? ? | c |? | a | ? | b |
12

? a

向量的加法符合下列运算规律:

? ? ? ? (1)交换律: a ? b ? b ? a . ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)结合律: a ? b ? c ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ). ? ? ? (3) a ? ( ? a ) ? 0. ? ? ? c ? b a ? ? ? [2] 减法 a ? b ? a ? ( ? b )

? b

? ? a?b
? a

? ? a?b

? ? ? c ? a ? (?b ) ? ? ?a?b
13

3、向量与数的乘法
? ? ? a ? 设? 是一个数,向量 与 的乘积 a 规定为 ? ? ? ? (1) ? ? 0, ?a 与a 同向,| ?a |? ? | a | ? ? ( 2) ? ? 0, ?a ? 0 ? ? ? ? ( 3) ? ? 0, ?a 与a 反向,| ?a |?| ? | ? | a | ? a ? 1? 2a ? a 2
14

数与向量的乘积符合下列运算规律:

? ? ? (1)结合律:? ( ? a ) ? ? (? a ) ? (?? )a ? ? ? (2)分配律: (? ? ? )a ? ? a ? ? a ? ? ? ? ? (a ? b ) ? ? a ? ? b

? ? ? ? 定 理 设 向 量a ? 0, 那 末 向 量 平 行 于a 的 充 b ? ? 分 必 要 条 件 是 : 存 在 一 的 实 数?, 使 b ? ?a . 唯
15

两个向量的平行关系

?0 ? 设a 表示与非零向量a 同方向的单位向量,
按照向量与数的乘积的规定,

? ? ?0 a ?| a | a

? a ?0 ? ?a . |a|

上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.

16

三、向量的坐标
1、向量在轴上的投影与投影定理
设有一轴 u,AB 是轴 u 上的有向线段 .
A B

u
如果数 ? 满足 ? ? AB,且当 AB 与 u 轴同 向时 ? 是正的,当 AB 与 u 轴反向时 ? 是负的, 那末数 ? 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值,记作 AB,即 ? ? AB.
18

空间两向量的夹角的概念:

? ? ? ? a ? 0, b ? 0, ? ? 向量a 与向量b 的夹角 ? ? ? ? ? ? (a , b ) ? (b , a )

? b

?

? a

(0 ? ? ?? )

类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.

特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定 它们的夹角可在0与 ? 之间任意取值.

20

空间一点在轴上的投影

?

A
u

A?

过点A 作轴u 的垂直 平面,交点 A? 即为点 A 在轴u 上的投影.

21

空间一向量在轴上的投影
B A

A?

B?

u

已知向量的起点 A 和终点B 在 轴u 上的投影分别为 A?, B ? 那 么轴u 上的有向线段 A?B? 的 u 值,称为向量在轴 上的投影.
22

u 向量 AB 在轴 上的投影记为 Pr ju AB ? A?B?.
关于向量的投影定理(1)

u 向量 AB 在轴 上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦: Pr ju AB ?| AB | cos?


A
A?

?

B
B??

Pr ju AB ? Pr ju? AB

B?

u? u

?| AB | cos?

23

定理1的说明:
? (1) 0 ? ? ? , 投影为正; 2
( 2) ? ? ? ?, 投影为负; 2 ? ( 3) ? ? , 投影为零; 2

? c
? b

?

? a

u

(4) 相等向量在同一轴上投影相等;

24

关于向量的投影定理(2)
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. (可推广到有限多个)

? ? ? ? Pr ju (a1 ? a2 ) ? Pr jua1 ? Pr jua2 .
A
C

? a1

B

? a2
C?

A?

u

B?

25

2、向量的坐标表达式
(1)、起点在原点向量的坐 标表达式
z ? ? ? 基本单位向量 i j k C ? 设向量 为起点在原点 a ,

P ( x, y, z ) 终点为 ( x, y, z ) P ? ? ? y i o ? B OA ? x? i A j ? Q x j OB ? y? ? ? ? ? ? ? OC ? zk ? OQ ? OA ? OB ? xi ? yj ? ? ? ? ? ? ? ?a ? OP ? OQ ? OC ? xi ? yj ? zk
26

? k

? a

? ? ?起点在原点终点为 x, y, z )的向量a ? OP P(

? ? ? ? 坐标表达式 a ? xi ? yj ? zk ? 也 可 记 为 a ? { x, y, z }

? , 其 中 x, y, z为a在三坐标轴上的投影 ? 称 为a的 坐 标 ? ? ? ? xi , yj , zk 称为a在三轴上的分向量 .

? 显 然 O ? {0,0,0}
? i ? {1,0,0}

? j ? {0,1,0}

? k ? {0,0,1}
27

(2)、任一向量的坐标表达 式 ? ? 设a ? AB是以A( x1 , y1 , z1 )为起点 ,
以B( x2 , y2 , z2 )为终点的向量

? ? ? ? ? ?A a ?a ? AB ? OB ? OA ? ? ? ?B ? ( x2i ? y2 j ? z2k ) ? ? ? o ? ( x1i ? y1 j ? z1k ) x ? ? ? ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j ? ( z2 ? z1 )k

z

y



? a ? { x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 }
28

(3)、向量运算的坐标表达式

? ? a ? {a x , a y , a z }, b ? {bx , by , bz }, ? ? ? ? ? a ? b ? (a x ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k ;
? {ax ? bx , ay ? by , az ? bz }

? ? ? ? ? a ? b ? (a x ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k ;
? {ax ? bx , ay ? by , az ? bz } ? ? ? ? ? a ? ( ? a x )i ? ( ? a y ) j ? ( ? a z )k . ? {?ax , ?ay , ?az }

当 b , a ? 0 时,

b ∥a

b ?? a

bx b y b z ? ? a x a y 29 a z

? ? 例1 已知a ? {1,?2,3}, b ? {1,5,4} ? ? 求2a ? 3b? ? 解 : 2a ? 3b ? 2{1,?2,3} ? 3{1,5,4} ? {2,?4,6} ? {3,15,12}

? {?1,?19,?6}

30

3、向量的模与方向余弦的坐标表示式
? 非零向量 a 的方向角:? 、? 、 ?
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.

z
? M2 ? M1 ? ? ?

0 ? ? ? ?,

0 ? ? ? ?, 0 ? ? ? ?.

o
x

y
31

? 设 M1 M 2 ? a ? {a x , a y , az }
z
R
M1

?

由图分析可知
?
? M2
Q

P

? ??

o
x

? a x ?| a | cos? ? a y ?| a | cos ? ? y az ?| a | cos?
2 2

方向余弦通常用来表示向量的方向.

向 量 的 方 向 余 弦

M1 M 2 ?

M 1 P ? M 1Q ? M 1 R
2

? 2 2 2 | a |? a x ? a y ? a z 向量模长的坐标表示式
32

向量方向余弦的坐标表示式


a x ? a y ? a z ? 0 时,
2 2 2

ax ax cos? ? ? ? , 2 2 2 a a x ? a y ? az ay ay cos ? ? ? ? , 2 2 2 a a x ? a y ? az

az az cos? ? ? ? . 2 2 2 a a x ? a y ? az

33

方向余弦的特征

cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
2 2 2

特殊地:单位向量的方向余弦为

? a 0 a ? ? |a |

? {cos ? , cos ? , cos ? }.

34

例2. 已知两点 M 1 ( 2 , 2 , 2 ) 和 M 2 (1, 3 , 0 ) , 计算 向量 M1M 2 的模 , 方向余弦和方向角 . 解: M1M 2 ? ?1? 2 , 3 ? 2 , 0 ? 2 ? ? ?? 1, 1, ? 2 ?

M1M 2 ? (?1) 2 ? 12 ? (? 2 ) 2 ? 2
1 cos? ? ? , 2 1 cos ? ? , 2
2 cos ? ? ? 2

?

2? ? , 3

??

?
3

,

?

3? ? 4
35

? ? ? ? 例 4 求平行于向量a ? 6i ? 7 j ? 6k 的单位向
量的分解式.

? 解 所求向量有两个,一个与 a 同向,一个反向 ? ?| a |? 62 ? 7 2 ? ( ?6)2 ? 11, ? a 6? 7 ? 6 ? 0 ? a ? ? ? i ? j ? k, | a | 11 11 11 ? a 6? 7 ? 6 ? 0 或 a ?? ? ?? i ? j ? k. |a | 11 11 11
36

? ? ? ? ? ? ? ? 例 5 设 m?? 3i?? 5 j ? 8k , n ? 2i ? 4 j ? 7 k , ? ? ? ? ? ? p ? 5i ? j ? 4k ,求向量a ? 4m ? 3n ? p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量. ? ? ? ? 解 ? a ? 4m ? 3n ? p ? ? ? ? ? ? ? 4( 3i ? 5 j ? 8k ) ? 3( 2i ? 4 j ? 7k ) ? ? ? ? ? ? ? (5i ? j ? 4k ) ? 13i ? 7 j ? 15k ,
?在 x 轴上的投影为a x ? 13 ,

? 在 y 轴上的分向量为7 j .

37

习题7 ? 1 P214

3,6 ,7

38


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