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2015届高中数学《两条直线的垂直与平行》导学案 北师大版必修2


第 4 课时

两条直线的平行与垂直

1.掌握直线与直线的位置关系. 2.能根据直线的方程判定两条直线平行或垂直,能利用两条直线平行或垂直的关系求直 线的方程. 3.会求关于已知直线对称的直线方程.

如图,直线 m 的方程为 2x-y+2=0,直线 n 绕着点 P(1,-1)旋转,当直线 n 旋转到与直线 m 平行的时候,直线 n 的斜率是多少?当直线 n 旋转到与直线 m 垂直的时候,直线 n 的斜率是多 少?

问题 1:在上述情境中,当 m∥n 时,直线 n 的方程为 2x-y-3=0 ; 当 m⊥n 时,直线 n 的方程为 x+2y+1=0 . 问题 2:两直线平行的判定 (1)斜截式:直线 m 的方程为 y=k1x+b1,直线 n 的方程为 y=k2x+b2, 则 m∥n?k1=k2 且 b1≠b2;直线 m,n 重合?k1=k2 且 b1=b2. (2)一般式:直线 m 的方程为 A1x+B1y+C1=0,直线 n 的方程为 A2x+B2y+C2=0, 则 m∥n?A1B2=A2B1 且 A1C2≠A2C1、B1C2≠B2C1,两个 不等式至少有一个成立 ; 直线 m,n 重合? A1B2=A2B1 且 A1C2=A2C1、B1C2=B2C1 . 问题 3:两直线垂直的判定 (1)斜截式:已知直线 m 的方程为 y=k1x+b1,直线 n 的方程为 y=k2x+b2, m⊥n?k1?k2=-1. (2)一般式:直线 m 的方程为 A1x+B1y+C1=0,直线 n 的方程为 A2x+B2y+C2=0, m⊥n?A1A2+B1B2=0. 问题 4:中心对称问题 (1) 点关于点的对称 : 若点 M(x1,y1) 及 N(x,y) 关于 P(a,b) 对称 , 则由中点坐标公式 得 ; (2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它 们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程. 问题 5:轴对称问题 (1) 点 (x1,y1) 关 于 直 线 l:Ax+By+C=0 对 称 的 对 称 点 (x2,y2) 可 由
1

得出对称点坐标. (2)直线关于直线对称 求直线 l1:A1x+B1y+C1=0 关于 l:Ax+By+C=0 对称的直线 l2 的方程的方法:转化为点关于直 线对称.在 l1 上任取两点 P1 和 P2,求出 P1,P2 关于 l 的对称点,再用两点式求出 l2 的方程.

1.已知两条不重合的直线 l1、l2,有下列说法: ①若直线 l1 与 l2 的斜率相等,则 l1∥l2; ②若直线 l1∥l2,则两直线的斜率相等; ③若直线 l1、l2 的斜率均不存在,则 l1∥l2; ④若两直线的斜率不相等,则两直线不平行; ⑤如果直线 l1、l2 平行,且 l1 的斜率不存在,那么 l2 的斜率也不存在. 其中正确的个数是( ). A.1 B. 2 C.3 D.4 2.已知点 M(2,2)和 N(5,-2),点 P 在 x 轴上,且∠MPN 为直角,则点 P 的坐标是( ). A.(1,0)或(6,0) B.(1,0) C.(-6,0) D.(1,0)或(-6,0) 3.下列命题正确的有 . (1)任何一条直线都有倾斜角,也有斜率;(2)平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0°或 180°;(3) 直线的斜率范围是(-∞,+∞);(4)过原点的直线,斜率越大越靠近 x 轴;(5)两条直线的斜率 相等,则它们的倾斜角相等;(6)两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率相等. 4.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: (1)过点 B(-3,0),且垂直于 x 轴; (2)在 y 轴上的截距为 3,且平行于 x 轴.

直线方程的应用 (1)求经过点(1,1),且与直线 y=2x+7 平行的直线方程; (2)求经过点(-1,1),且与直线 y=-2 垂直的直线方程.

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平面几何中的平行与垂直问题 已知 A(1,1),B(5,4),C(2,3). (1)求一点 D,使四边形 ABDC 为平行四边形. (2)求△ABC 中 AB 边上的高所在的直线方程.

对称问题 光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在直线的方程.

(1)求与直线 y=-2x+10 平行,且在 x 轴、y 轴上的截距之和为 12 的直线的方程. (2)求过点 A(1,-4)且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线的方程.

已知 A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0),求点 D 的坐标,使四边形 ABDC 为直角梯形.

已知直线 l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线 l2 与 l1 关于 l 对称,则 l2 的方程是( A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0

).

3

1. 若直线 l 经过点 (a-2,-1) 和点 (-a-2,1), 且与斜率为 - 的直线垂直 , 则实数 a 的值是 ( ). A.B.C. D. ).

2.若过点 A(2,-2),B(5,0)的直线与过点 P(2m,1),Q(-1,-m)的直线平行,则 m 的值为( A.-1 B.1 C.2 D.

3.直线(2-m)x+my+3=0 与直线 x-my-3=0 垂直,则 m 为 . 4.已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点 D 的坐 标.

已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0. (1)l'与 l 平行,且 l'过点(-1,3),求直线 l'的方程; (2)l'与 l 垂直,且 l'与两坐标轴围成的三角形面积为 4,求直线 l'的方程.

考题变式(我来改编):

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第 4 课时 两条直线的平行与垂直 知识体系梳理 问题 1:2x-y-3=0 x+2y+1=0 问题 2:(2)不等式至少有一个成立 问题 4:(1)

A1B2=A2B1 且 A1C2=A2C1、B1C2=B2C1

问题 5:(1)A?

+B?

+C=0

基础学习交流 1.D ②中斜率可能不存在,①③④⑤正确. 2.A 设 P(x,0),则 ?

=-1,∴x=1 或 x=6.∴点 P 的坐标是(1,0)或(6,0).

3.(3)(5) (1) 倾 斜 角 为 90° 的 直 线 没 有 斜 率 ;(2) 直 线 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 [0°,180°);(4)斜率的绝对值越大,其对应的直线越靠近 y 轴;(6)倾斜角为 90°的直线没 有斜率. 4.解:(1)x=-3,即 x+3=0. (2)y=3,即 y-3=0. 重点难点探究 探究一:【解析】(1)由 y=2x+7 得 k1=2,因为所求直线与直线 y=2x+7 平行,所以 k=k1=2, 所以所求直线方程为 y-1=2(x-1). (2) 因为所求直线垂直于直线 y=-2, 所以所求直线的斜率不存在 . 又因为直线经过点 (-1,1),所以所求直线方程为 x=-1. 【小结】直线的平行与垂直的位置关系是解析几何的重要位置关系,解决问题的关键就 是抓住平行或垂直时斜率的关系.同时,一定要注意直线的斜率是否存在,若不能确定直线的 斜率是否存在,则要进行分类讨论. 探究二:

5

【解析】设 D(m,n),由已知得 kAB= ,kAC=2,kBD= 因为四边形 ABDC 是平行四边形,如图, 所以由 AB∥CD? = ,①

,kCD=

.

由 AC∥BD? 2=

,②

由①②解得 m=6,n=6,即 D(6,6). (2)设 AB 边上的高所在的直线斜率为 k,则 k?kAB=-1, 因为 kAB= = ,所以 k=- ,且经过点 C,

故 AB 边上的高所在的直线方程为 y-3=- (x-2), 整理得 4x+3y-17=0. 【小结】 解平面几何中的平行或垂直问题,要注意平面图形的几何性质并加以利用,比如 三角形中的中线、角平分线、高,特殊四边形的性质,等等,都要转化为坐标运算. 探究三:

【解析】作出草图,如图所示. 设 A 点关于直线 y=x 的对称点为 A' 点 ,D 点关于 y 轴的对称点为 D' 点 , 则易得 A'(-2,-4),D'(1,6).由入射角等于反射角可得 A'D'所在直线经过点 B 与 C,故 BC 所在的直线 方程为

=

,即 10x-3y+8=0.

【小结】 解决这类对称问题要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是 以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上. 思维拓展应用 应用一:(1)设所求直线的方程为 y=-2x+λ ,则它在 y 轴上的截距为 λ ,在 x 轴上的截距 为 λ ,∴λ + λ =12,
6

∴λ =8.
故所求直线的方程为 y=-2x+8,即 2x+y-8=0. (2)(法一)∵已知直线的斜率是- ,所求直线与已知直线平行,

∴所求直线的斜率也是- .

根据点斜式,得所求直线的方程是 y+4=- (x-1), 即 2x+3y+10=0. (法二)设所求直线的方程为 2x+3y+b=0, ∵直线过点 A(1,-4), ∴2?1+3?(-4)+b=0,解得 b=10. 故所求直线的方程是 2x+3y+10=0. 应用二:设 D(x,y),(1)当 B、D 为直角顶点时,AB∥CD(如图 1),

∴kCD=kAB,∴ =3,即 y=3x-9.①
又 BD⊥CD,∴kBD?kCD=-1,∴ 即 x +y -2x-3=0.② 解①②联立的方程组,得 x= ,y=- ,或 x=3,y=0(舍去). (2)当 C、D 为直角顶点时,AC∥BD(如图 2),
2 2

? =-1,

∴kBD=kAC,∴

=-1,即 y=-x-1.③
? =-1,

又 BD⊥CD,∴kBD?kCD=-1,∴
2 2

即 x +y -2x-3=0.④ 解③④联立的方程组,得 x=1,y=-2,或 x=-1,y=0(舍去). 综上所述,点 D 的坐标为( ,- )或(1,-2). 应用三:B l1 与 l2 关于 l 对称,则 l1 上任一点关于 l 的对称点都在 l2 上,故 l 与 l1 的交 点(1,0)在 l2 上. 又易知(0,-2)为 l1 上的一点,设其关于 l 的对称点为(x,y),

7

则 基础智能检测 1.A ∵kl=



即(1,0),(-1,-1)为 l2 上的两点,可得 l2 的方程为 x-2y-1=0.

=- ,且- ?(- )=-1,

∴a=- .

2.B 由 3.-2 或 1

=

,得 m=1.

当斜率不存在时 ,m=0, 则两直线平行,不合题意 ,所以两直线的斜率都存在 .由 )? =-1,解得 m=-2 或 m=1.(此题也可直接用 2-m+m(-m)=0 求解)

k1?k2=-1 可得(-

4.解:设第四个顶点 D 的坐标为(x,y),由题意可知, AD⊥CD,AD∥BC, ∴kAD?kCD=-1,且 kAD=kBC,


解得 x=2,y=3,∴第四个顶点的坐标为(2,3). 全新视角拓展 (1) 因为直线 l 的斜率 k=- , 且 l'∥l, 所以直线 l' 的斜率 k'=- , 所以由点斜式得

y-3=- (x+1),即 3x+4y-9=0.

(2)由直线 l 的斜率 k=- ,且 l'⊥l,可得直线 l'的斜率 k'= .设直线 l'的方程为 y= x+b,

由 y=0 得 x=- b,由 x=0 得 y=b.由 S△= ?|- b|?|b|=4,得 b = ,即 b=±

2

,所以直线 l'的

方程为 y= x±

,即 4x-3y±4

=0.

思维导图构建 b1≠b2 k1?k2=-1

A1C2=A2C1 且 B1C2=B2C1 A1C2≠A2C1 或 B1C2≠B2C1 A1A2+B1B2=0

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