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高中数学知识考点之(4)函数综合篇

要点重温之函数综合
1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致(在整个定义域内未必单调) ,推广:函数在 其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反,推广:函数在其 对称轴两侧的单调性相反;此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。解“抽象不等式(即 函数不等式) ”多用函数的单调性,但必须注意定义域。关注具体函数“抽象化” 。 [举例 1]设偶函数 f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上递增,则 f(a+1)与 f(b+2) 的大小关系是 A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)>f(b+2) C.f(a+1)<f(b+2) D.不确定 解析:函数 f(x)=loga|x-b|为偶函数,则 b=0,f(x)=loga|x|,令 g(x)=|x|,函数 g(x)(图象为“V” 字形) (-∞, 递减, 在 0) 而函数 f(x)=logag(x) 在 (-∞, 上递增,∴0<a<1, 0) ∴1<a+1<2=b+2, 又函数 f(x)为偶函数且在(-∞,0)上递增,∴f(x)在(0,+ ? )上递减,∴f(a+1)>f(b+2), 故选 B。 [举例 2] 设函数 f ( x) ? x 3 ? x ,若 0 ≤ ? ≤ 实数 m 的取值范围是 解析:此题不宜将 msin ? 及 1-m 代入函数 f ( x) ? x 3 ? x 的表达式,得到一个“庞大”的不 等式,因为运算量过大,恐怕很难进行到底。注意到:函数 f(x)为奇函数,原不等式等价于:

? 时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则 2

f (m sin ? ) ? f (m ? 1) ,又函数 f(x)递增,∴msin ? >m-1 对 0 ≤ ? ≤
量 m(这是求参变量取值范围的通法)得:m<

? 恒成立,分离参变 2

1 ,(0<1- sin ? ≤1,事实上当 sin ? =1 1 ? sin ? 1 时不等式恒成立,即对 m 没有限制,所以无需研究),记 g( ? )= ,则 m<g( ? )min, 1 ? sin ? 又∵0<1- sin ? ≤1,∴g( ? )min=1(当且仅当 ? =0 时等号成立) ,∴m<1。
[巩固]定义在[-1,a]上的函数 f(x)满足:f(2+x)=f(2-x),且在[2,5]上递增,方程 f(x)=0 的一根为 4,解不等式 f(3+x)>0 [提高]定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=

1 ,且 f(x)在[-3, -2]上是减函数, ? 、 又 f ( x)

? 是钝角三角形的两锐角,则下列结论中正确的是: A.f(sin ? )>f(cos ? ) B. f(sin ? )<f(cos ? ) C.f(sin ? )<f(sin ? ) D. f(cos ? )<f(cos ?
2.关注“分段函数” 。分段函数的反函数、值域一般分段求,分段函数的奇偶性、单调性一 般要借助于图象。 f(x)=max{g(x),h(x)} 、 f(x)=min{g(x),h(x)}也是一种分段函数,作出它 的图象是研究这类函数的有效途径。 [举例] 对于函数 f ( x) ? ? ①该函数的值域为[-1,1] ②当且仅当 x ? 2k? ?

?sin x 当sin x ? cos x时 给出下列四个命题: ?cos x 当sin x ? cos x时
(k ? Z ) 时,该函数取得最大值 1

?
2

③该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数
1

④当且仅当 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 上述命题中错误的命题个数为( .. A、1 B、2 C、3 解析:作出函数 y=f(x)在[ ?

3? (k ? Z ) 时, f ( x) ? 0 2
) D、4

?
2



3? ]上 2

的图象如右(先分别作函数 y=sinx,y=cosx 的图象,观察图象,保留两者中之较“高”者) 。 从图象上不难看出:该函数的值域为[-

? 2 ,1],当 x ? 2k? ? (k ? Z ) 或 x ? 2k? 时函数 2 2

取得最大值 1,该函数是以 2 ? 为最小正周期的周期函数,当且仅当

2k? ? ? ? x ? 2k? ?

3? (k ? Z ) 时, f ( x) ? 0 ,∴命题中错误的命题个数为 3 个,选 C。 .. 2

[巩固]已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是(- ? ,+ ? )上的减函数,那么 a 取值范围 ?log a x, x ? 1

是 。 3.研究方程根的个数、超越方程(不等式)的解(特别是含有参量的) 、二次方程根的分布、 二次函数的值域、三角函数的性质(包括值域) 、含有绝对值的函数性质、已知函数值域研 究定义域等一般用函数图象(作图要尽可能准确) 。 [举例 1]若在 [0, 是

?
2

] 内有两个不同的实数值满足等式 cos2x ? 3 sin 2x ? k ? 1, 则 k 的范围

? ? ? ),∵ x ∈ [0, ] ,将 2 x ? 视为一个角 ? ,? ∈ 6 2 6 ? 7? ? 7? [ , ],作函数 y ? 2 sin ? 在[ , ]上的图象 6 6 6 6 ? (注意: 无需作函数 y =2sin( 2 x ? )的图象) 容易 , 6 O 看出,当 y = k +1∈[1,2 ) 时,函数 y ? 2 sin ? 与函 数 y = k +1 的图象有两个交点,此时 k ∈[0,1 ) 。
解析: cos2x ? 3 sin 2x =2sin( 2 x ? [举例 2]不等式 x 2 ?1 ? ax 的解集为[1,2),则 a 的值为 解析:分别作函数 y ? 的图象如右, (函数 y ?

x 2 ? 1 和函数 y ? ax x2 ?1 即 x2 ? y2 ? 1 ,
1

y ? 0 ,双曲线在 x 轴上方的部分) 。
两图象交于 M 点,要使不等式解集为[1,2), 则 M(2, 3 ) ,即 a ?

3 。 2
2

[巩固]已知函数 f(x)= log2 x 的定义域为[a,b],值域为[0,2],则 a,b 满足: A.a= C.

1 ,b=1 或 a=1,b=4, 4

B.a=

1 ≤a≤1,b=4, 4

1 ,1≤b≤4, 4 1 1 D. a= ,1≤b≤4 或 ≤a≤1,b=4。 4 4

4. 求最值的常用方法:①单调性:研究函数在给定区间内的单调情况是求函数值域的最重 要也是最根本的方法。②基本不等式:满足条件“一正、二定、三相等”时方可使用,如果 “不相等” ,常用函数 y ? x ?

a , ( a ? 0) 的单调性解决。③逆求法:用 y 表示 x,使关于 x x

的方程有解的 y 的范围即为值域,常用于求分式函数的值域,判别式法就是其中的一种。 ④换元法:需要把一个式子看作一个整体即可实施换元, “三角换元”是针对“平方和 等于 1”实施的,目的多为“降元” ;求值域时的换元主要是为了“去根号” 。⑤数形结合。 [举例 1]已知函数 y ? A、 (1,2)

x 2 ? 2x ? 2 ( x ? ?1) ,则其图象的最低点的坐标是 x ?1
C、 (0,2) D、不存在





B、 (1,?2)

解析:求函数图象的最低点的坐标即求函数当 x 取何值时函数取得最小值,最小值是多少; 此题不宜“逆求” (判别式法) ,因为⊿≥0 不能保证 x>-1(这是使用“判别式法”时需特别

(t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? 2 t 2 ? 1 1 ? ? t ? ? 2 (当且 注意的) 。记 x+1=t,(t>0),此时 x=t-1,设 g(t)= t t t
仅当 t=1 即 x=0 时等号成立, (注意这里的“换元”实质是“整体化”的具体落实,将需要 “整体化”的部分换成一个变量,比“凑”更具一般性也更易实施) ,选 C。

1 的最小值为 ab 1 解析:本题关注 ab 的取值范围,对 ab ? 使用基本不等式,当且仅当 ab =±1 时等号成 ab a?b 2 1 ) ? ,∴等号不成立,即不能使用基本不等式。记 ab = t 立,事实上: 0 ? ab ? ( 2 4 1 1 1 1 1 17 (0< t ≤ ), ab ? = t + =g( t ),函数 g( t )在(0, ] 上递减,∴g( t )min=g( )= 。 4 ab 4 4 t 4
[举例 2]已知 a ? b ? 1, a, b ? R +,则 ab ? 5.求参变量的取值范围通常采用分离参数法, 转化为求某函数的值域或最值; 也可以整体研 究函数 y=f(a,x)的最值。 [举例] 关于 x 的方程 2 -m2 +4=0(x<0)有解,求实数 m 的取值范围。 x 2 解析:令 2 =t,(0<t<1),原方程变为:t -mt+4=0 在(0,1)上有解,这里显然不能简单地用 判别式处理,因为⊿≥0 不能保证方程在(0,1)上有解,还需附加更多的条件才成,繁! 事实上,求参变量范围的问题首先考虑的是“分离参变量” m ? t ? :
2x x

4 = g (t ) ,所谓方程有 t

解,即 m 在函数 g (t ) 的值域内(这也是解决方程有解问题的通法) ,∵t∈(0,1) ,∴不能 使用基本不等式(等号不成立) ,注意到函数 g (t ) 在(0,1)上递减,∴ g (t ) ∈(5, ? ? )
3

即 m ∈(5, ? ? ) 。 [迁移]若函数 f(x)=loga(x2-ax+3),(a>0 且 a ? 1)满足:对任意 x1,x2,当 x1<x2 ? 则实数 a 的取值范围是 A.(0,1)∪(1,3) B.(1,3) C. (0,1)∪(1, 2 3 ) D. (1, 2 3 )

a 时,f(x1)-f(x2)>0, 2

简答 1. [巩固] 函数 y=f(x)的图象关于 x=2 对称,得 a=5,图示可得 1<x≤2 或-4≤x<-3。

? ,移项得 sin ? <cos ? , 2 1 1 选 B;2、 [巩固]关注两段函数在 x=1 时的函数值的大小,得 [ , ) 3. [巩固]D; 7 3
[提高] 函数 y=f(x)的周期为 2,得 f(x)在[0,1]上递增,又 ? + ? <

4


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