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高中数学知识考点之(5)等差、等比数列

要点重温之等差、等比数列
1.公差不为 0 的等差数列的通项是关于 n 的一次函数,一次项系数是公差;前 n 项和是关 于 n 的二次函数, 二次项系数是公差之半且常数项为 0; 即等差数列{ an }中, n = d n + b d ( a

为公差, n ∈ N ? ) S n ? ,

d 2 n ? cn ( n ∈ N ? ) 证明某数列是等差(比)数列,通常 。 2

利用等差(比)数列的定义加以证明,即证:an-an-1=常数( 以证明连续三项成等差(比)数列。

an =常数) ( n ? 2) ,也可 a n ?1

2 [举例] { a n }、{ b n }都是各项为正的数列,对任意的 n ? N ? ,都有 a n 、bn 、 a n ?1 成等差数列, 2 2 bn 、 a n ?1 、 bn ?1 成等比数列.试问{ b n }是否为等差数列,为什么? 2 2 2 2 解析:由 a n?1 = bn bn ?1 得 a n ?1 = bn bn ?1 ,于是 an = bn ?1 bn ( n ? 2) ,又 2 bn = an + a n ?1 ,

2 ∴2 bn = bn bn ?1 + bn ?1 bn ( n ? 2) ,即 2 bn = bn ?1 + bn ?1 ( n ? 2) ,∴数列{ b n }是等差数列。

注意:当用定义证明等差(比)数列受阻时,别忘了这“一招” !上述思路的关键是由 “ a n ?1 = bn bn ?1 ”到“ an = bn ?1 bn ( n ? 2) ”的过渡,即所谓“升降标” ,这也是处理数列 问题的一个通法。 [巩固]已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 2 ? 10, S 5 ? 55,则过两点

P ( n,

Sn S ) 、 Q(n ? 2, n ? 2 ) 的直线的斜率为: n n?2
(B)3 (C) 2 (D)1

(A)4

[迁移]公差非零的等差数列 ?an ?中,前 n 项之和为 Sn ,则数列 S1 , S 2 , ? Sn ?中 A.不存在等于零的项 C.最多有 2 项等于零 B.最多有一项等于零 D.可有 2 项以上等于零

2. 等差数列{an}中,m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,等比数列{an}中,m+n=p+q,则 aman=ap〃aq(m、 n、p、q n ∈ N ? ) ;等差(等比)数列中简化运算的技巧多源于这条性质。 [举例 1]在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a7 ? a9 为常数,则其前( (A)6 (B)7 (C)11 (D)12 )项和也为常数

解析:等差数列 ?an ? 的前 k 项和为常数即 a1 ? a k 为常数,而 a2 ? a7 ? a9 =3 a6 为常数, ∴2 a6 = a1 ? a11 为常数,即前 11 项和为常数,选 C。注意:千万不要以为 a2 ? a7 ? a9 = ,是指两项和等于 a18 = a1 ? a17 ,那就大错特错了!所谓“下标和相等则对应项的和相等” 两项和,三项和等于三项和??。等差数列中“n 项和”与“两项和(转化为 a1+an)”有关, 某一项或某几项和均需转化为“两项和”才能与“n 项和”联系起来。
1

[举例 2]等比数列{ a n }中,a4+a6=3,则 a5(a3+2a5+a7)= 解析:a5(a3+2a5+a7)=a5a3+2a52+a5a7=a42+2a4a6+a62=(a4+a6)2=9 [巩固] 在正项的等差数列{ a n }和正项的等比数列{ b n }中,有 a1 ? b1 , a2k ?1 ? b2k ?1 ,试比 较 ak 与 bk 的大小。 [迁移] 等比数列{ a n }中, a2 、 a98 是方程 x ? m x ? 3 ? 0 ( m ? 0 )的两根,则 a50 =
2

若把条件中的“ m ? 0 ”换成“ m ? 0 ”呢?若把条件中的“ a2 、 a98 ”换成“ a1 、 a99 ” 呢? [提高] 在等差数列 ?an ? 中,前 n 项之和为 Sn ,已知 S5=25,Sn=64,Sn-5=9,则 n=_____ 3.等差数列前 n 项和、次 n 项和、再后 n 项和(即连续相等项的和)仍成等差数列;等比 数列前 n 项和(和不为 0) 、次 n 项和、再后 n 项和仍成等比数列。 [举例 1]在等比数列 ?an ? 中,S2 =40,S4 =60,则 S6 等于 A 10 B 70 C 80 ( D 90 )

解析:在等比数列 ?an ? 中,第一个两项和为 40,第二个两项和为 20(注意:S4 是前 4 项和, 不是两项和) ,则第三个两项和为 10,S6 为三个两项和相加,选 B。 [举例 2] 在等差数列 ?an ? 中,前 n 项之和为 Sn ,已知 S3=4,S18-S15=12,则 S18= 解析:在等差数列 ?an ? 中,第一个三项和为 4,第六个三项和为 12,S18 即首项为 4,末项 为 12 的等差数列的 6 项和,为 48。 [巩固]在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,已知 S5=2-b,S10=4-b,则 S15=_________ 4. 等差数列当首项 a1>0 且公差 d<0,前 n 项和存在最大值。利用不等式组: ?

?an ? 0 ?an?1 ? 0

确定 n 值,即可求得 Sn 的最大值。等差数列当首项 a1<0 且公差 d>0 时,前 n 项和存在最小 值。 类似地确定 n 值,即可求得 sn 的最小值;也可视 sn 为关于 n 的二次函数,通过配方求 最值;还可以利用二次函数的图象来求。 [举例] 设等差数列 ?an ? 满足 3 a8=5a13,且 a1>0,则 ?an ? 的前__________项和最大

2 ? ?a1 ? 39 (n ? 1)a1 ? 0 2 ? 解析:思路一:由 3 a8=5a13 得:d= ? a1,若前 n 项和最大,则 ? , 39 ?a ? 2 na ? 0 ? 1 39 1 ?
又 a1>0 得:

39 41 ?n? ,∴n=20,即 ?an ? 的前 20 项和最大。这一做法最通行。 2 2
2

思路二:Sn=na1+

1 1 1 2 n(n-1)d=na1n(n-1)a1=a1(n -40n),当且仅当 n=20 时 Sn 最大。 2 39 39

这一做法突显了数列的函数特征。思路三:由 3 a8=5a13 得 15a8=25a13,即 S15=S25,又∵a1>0, ∴Sn 的图象是开口向下的抛物线上的点列,对称轴恰为 n=20,故 n=20 时 Sn 最大。这一做法 中几乎没有运算,但设计太过“精妙” ,非对等差数列的性质融会贯通而不能为,仅供欣赏。 [巩固] 数列 ?an ? 是等差数列,S n 是其前 n 项和,且 S5<S6, 6=S7>S8, S 则下列结论错误的是: A.d <0 B.a7=0 C.S9>S5 D. S6 ,S7 均为 S n 的最大值 ( )

[迁移] 在等差数列 {an } , a9 ? 0, a10 ? 0, 且a10 ?| a9 |, 则在前 n 项和 Sn 中最大的负数为 中 A.S16 B.S17 C.S18 D.S19 ( na1
n

) (q=1)

5.注意:等比数列求和公式是一个分段函数 Sn=

a1 (1 ? q ) (q ? 1) 1? q
3

则涉及到等比数列求和时若公比不是具体数值须分类讨论解题。 [举例]已知等比数列 ?an ? 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,且 S3 ,S9 ,S6 成等差数列,求 q 的值。 解析:不可直接用等比数列的求和公式,需讨论:若 q=1,S3=3a1 ,S9=9a1,S6=6a1,则有: 18a1=3a1+6a1, 则 a1=0, 与 ?an ? 是等比数列矛盾,∴q≠1,于是有:

2a1 (1 ? q 9 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) 1 3 ,化简得: q 3 (2q 3 ? 1)(q 3 ? 1) ? 0 ,∴ q ? ? 。 ? ? 2 1? q 1? q 1? q
本题还可以用:第一个三项和、第二个三项和、第三个三项和成等比数列解决,留读者自己 完成。 [巩固]已知 an=1+r+r +r +?r ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n =______________ 6.解等差(比)数列有关通项、求和问题时别忘了“基本元” ,即把问题转化为首项 a1,公 差 d(或公比 q)的方程(组)或不等式(组)去处理。已知等差或等比数列中的任两项也
2 3 n-1

可用 am-an=(m-n)d,或

a m m-n =q 。 an

[举例 1] 等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn,若 S3=9,S13=26 求 S23 的值。 解析:用求和公式解方程组,求出 a1,d,再代入求和公式中求 S23,这是通法。也可简化为: S3=3a2=9 ? a2=3,S13=13a7=26 ? a7=2, ∴a12= 1(a2、a7、a12 成等差数列),S23=23a12=23。 [举例 2]已知等差数列{an}中,a3 与 a5 的等差中项等于 2,又 a4 与 a6 的等比中项等于 6,则 a10 等于 (A) 54 (B) 50 (C) 26 (D) 16 解析: 3 与 a5 的等差中项等于 2,即 a4=2;a4 与 a6 的等比中项等于 6,即 a6=18;于是 2d=16, a a10= a6+4d=50,选 B。 [巩固]]已知等差数列{an}的首项 a1=120,公差 d=-4,若 Sn≤an(n>1),则 n 的最小值为 (A)61 (B)62 (C)63
3

(D)70

[迁移]等差数列{an}中若 am=n,an=m 且 m≠n 求证:am+n=0;

简答 1. [巩固]C,[迁移]视 Sn 为关于 n 的二次函数,其图象是经过原点的抛物线上的点,故选 B, 2. [巩固] ak =

a1 ? a 2 k ?1 b1 ? b2 k ?1 = ≥ b1b2 k ?1 = bk , 2 2

[迁移]等比数列中奇数项的符号相同,偶数项的符号也相同;- 3 , 3 ,± 3 , [提高] Sn-Sn-5=an+an-1+an-2+an-3+an-4=55,与 a1+a2+a3+a4+a5=25 两式相加得 5(a1+an)=80,得 n=8, 3.[巩固]6;

? n(n ? 1) ? 2 , (r ? 1) 1 ? 4. [巩固] C, [迁移]B,5. [举例]- ,[巩固] S n ? ? n 2 ? n ? 1 ? r , (r ? 1) ?1 ? r (1 ? r ) 2 ?
6. [巩固]B,

4


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