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2013年高三数学专题复习教案:第24课时:第三章 数列-数列求和(全国通用)1


第 24 课时:第三章 一.课题:数列求和

数列——数列求和

二.教学目标: 1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行 求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 三.教学重点:特殊数列求和的方法. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列与等比数列的求和公式的应用; 2.倒序相加、错位相减 ,分组求和、拆项求和等求和方法; (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转 化思想的 运用; (三)例题分 析: 例 1.求下列数列的前 n 项和 S n :
[来源:Z#xx#k.Com][来源:学&科&网 Z&X&X&K]

5 1 1 1 1 , , ,? , ,? ; (1)5,55,555,5555,…, (10n ? 1) ,…; (2) 9 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n( n ? 2)
(3) an ?

1 n ? n ?1



(4) a, 2a 2 ,3a 3 ,? , na n ,? ;

(5) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,? , n( n ? 2),? ; (6) sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ?? ? sin 2 89? .

?n个 ? ? 5 ?n个 ? ? 解: (1) S n ? 5 ? 55 ? 555 ? ? ? 55? 5 ? (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99? 9) 9 5 ? [(10 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? ? (10n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n . 9 81 9
(2)∵

1 1 1 1 ? ( ? ), n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )] ? (1 ? ? ? ). ∴ S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 3 2 4 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2

(3)∵ an ? ∴ Sn ?

1 n ? n ?1

?

n ?1 ? n ? n ?1 ? n ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n )

1 1 1 ? ?? ? 2? 1 3? 2 n ?1 ? n

? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? n ? 1 ? 1 .

(4) S n ? a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? na n , 当 a ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ?

n(n ? 1) , 2

当 a ? 1 时, S n ? a ? 2a 2 ? 3a 3 ? … ? na n ,
aSn ? a 2 ? 2a 3 ? 3a 4 ? … ? na n ?1 ,

两式相减得 (1 ? a ) S n ? a ? a 2 ? a 3 ? … ? a n ? na n ?1 ? ∴ Sn ?

a (1 ? a n ) ? na n ?1 , 1? a

na n ? 2 ? (n ? 1)a n ?1 ? a . (1 ? a) 2

(5)∵ n(n ? 2) ? n 2 ? 2n , ∴ 原式 ? (12 ? 22 ? 32 ? … ? n 2 ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ? (6)设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ?? ? sin 2 89? ,

n(n ? 1)(2n ? 7) . 6

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

又∵ S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? sin 2 87? ? ?? ? sin 2 1? , ∴ 2 S ? 89 , S ?

89 . 2

?6n ? 5 (n为奇数) 例 2.已知数列 {an } 的通项 an ? ? n ,求其前 n 项和 S n . (n为偶数) ?2
解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公 比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有
[来源:学科网]

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3

当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有

n 项, 2

n n (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3

? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? ? ? 2 3 所以, S n ? ? n ? n(3n ? 2) ? 4(2 ? 1) ? 2 3 ?

(n为奇数)


(n为偶数)

例 3.《高考 A 计划 》智能训练 14 题 )数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2n ? p ( p ? R ) , ( 数列 {bn } 满足 bn ? log 2 an ,若 {an } 是等比数列, (1) 求 p 的值及通项 an ; (2)求和 Tn ? (b1 ) 2 ? (b2 ) 2 ? (b3 ) 2 … ?(?1) n ?1 (bn ) 2 (n ? N * ) . (解答见教师用书 1 27 页)
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

(四)巩固练习:设数列 1, (1 ? 2),? , (1 ? 2 ? ? ? 2n?1 ),? 的前 n 项和为 S n ,则 S n 等 于( )

( A) 2n

( B) 2n ? n

(C ) 2n ?1 ? n

( D) 2n ?1 ? n ? 2


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