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对数运算练习题


对数的运算

1.关系:
指数式

底数对底数
指数对以a为底N的对数

ab=N

b = log a N
幂值对真数

对数式

2.特殊对数:1)常用对数 — 以10为底的对数;lg N 2)自然对数— 以 e 为底的对数;ln N 3.对数指数恒等式:a l og
a

N

? N

4.重要结论:1)log a a = 1;2)log a 1 = 0

复习上节内容 1.对数 一般地,如果ax=N(a>0,a≠1),那么数x 叫做以a为底N的对数,记作logaN=x,其中a叫做对 数的底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式. 常用对数 N的常用对数log10N,记作lgN 自然对数 N的自然对数logeN简记作lnN.

2.对数的性质 (1)负数和零没有对数; (2)1的对数是零,即loga1=0; (3)底的对数等于1,即logaa=1
3.对数恒等式
a
loga N

? N?a ? 0且a ? 1 N ? 0? ,

新授内容: 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
log a (MN) ? log a M ? log a N M log a ? log a M ? log a N N n log a M ? nlog a M(n ? R) log a
n

(1 ) (2) (3) (4)

M ?

1 n

log a M

证明:①设log a M ∴MN= a ? a
p q

? p,

log

a

N ? q,
p

由对数的定义可以得:M ? a ,
?a
p?q

N ?a

q

? log a MN ? p ? q

即证得
log a (MN) ? log a M ? log a N (1 )

正因数的积的对数等于同一底数各个因数的 对数的和

证明:②设 log a M
p q

? p , log

a

N ? q,
p

M 由对数的定义可以得: ? a , N ? a

M N ?

q

a a

?a

p ?q

? log a

M N

?p?q

即证得
log a M N ? log a M ? log a N (2 )

两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除 数的对数

证明:③设

log a M ? p ,
p

由对数的定义可以得: ? a , M

? M
即证得

n

?a

np

? log a M

n

? np

log a M

n

? nlog a M(n ? R)

(3)

正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂 指数

log a

n

M ?

1 n

log a M

(4)

正数的正的方根的对数等于被开方数的对 数除以根指数.

分析运用转化的思想,先通过假设,将对数式化 成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形; 然后再根据对数定义将指数式化成对数式. ①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”… ②有时逆向运用公式 log 5 ? log 2 ? log 10 ? 1
10 10 10

③真数的取值范围必须是 ( 0 , ?? )
log 2 ( ? 3 )( ? 5 ) ? log 2 ( ? 3 ) ? log 2 ( ? 5 )
log ( ? 10 ) ? 2 log 10
2 10

( ? 10 )

④对公式容易错误记忆,要特别注意:
log a ( MN ) ? log a M ? log
a

N,
a

log a ( M ? N ) ? log

a

M ? log

N

探索:把左右两列中一定相等的用线连起来
log a ( MN )
log M
a

log
log

a

M ? log
M ? log
M N
a

a

N

N

a

a

N

log

a

M

n

log log

a a

log( M ? N )
log( M ? N )

n ? log

M

log

a

M ? log

a

N

(log

a

M)

n

讲解范例
例1 计算
(1 ) log 2 ( 2 ? 4 )
5 7

解 :

log 2 ( 2 ? 4 ) ? log 2 2 ? log 4 7 2
5 7 5

? log 2 2 ? log 2 14 2
5

=5+14=19
( 2 ) log 9 27

解 :log 9 27

? log
? 3 2

3

2

3

3

log 3 3

?

3 2

讲解范例
( 3 ) log 2 3 ? log 3 7 ? log 7 8

解 :

log 2 3 ? og 3 7 ? log 7 8
lg 3 lg 7 lg 8 ? ? ? lg 2 lg 3 lg 7

?

lg 2

3

lg 2

?

3 lg 2 lg 2

=3

讲解范例 例2 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式:
(1)log xy
a

;

( 2 ) log

x
a

2 3

y z

z

解(1) log

xy
a

z

? log a ( xy ) ? log

a

z
a

? log
log 解(2) a x
2 3

a

x ? log
2

a

y ? log
1

z
1 a

y z

? log a ( x y 2 ) ? log
1

z3
1 a

? log

a

x ? log
2
a

a

y 2 ? log
a

z3
a

? 2 log

x?

1 2

log

y?

1 3

log

z

讲解范例

例3计算: 解法一:
lg 14 ? 2 lg ? lg 14 ? lg(
? lg

( 1 ) lg 14 ? 2 lg

7 3

? lg 7 ? lg 18

解法二:
7 3 7 3 ? lg 7 ? lg 18 ) ? lg 7 ? lg 18
2

lg 14 ? 2 lg

7 3

? lg 7 ? lg 18
7 3

? lg( 2 ? 7 ) ? 2 lg
2

14 ? 7 7
2

? lg 7 ? lg( 2 ? 3 )
? lg 2 ? lg 7 ? 2 (lg 7 ? lg 3 ) ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3 )

( ) ? 18 3 ? lg 1 ? 0

?0

讲解范例 例3计算: 解:
(2) lg 243 lg 9
(3) lg 27 ? lg 8 ? 3 lg lg 1 . 2
5 2

10

(2)

lg 243 lg 9

?

lg 3 lg 3

?

5 lg 3 2 lg 3
10 ?

?
3

5 2
1 1 3

(3)

lg

27 ? lg 8 ? 3 lg lg 1 . 2

lg( 3 ) 2 ? lg 2 ? 3 lg( 10 ) 2 lg 3? 2 10
2

3 ? 2

(lg 3 ? 2 lg 2 ? 1 ) lg 3 ? 2 lg 2 ? 1

?

3 2

练习 1.求下列各式的值: (1) log 2 6 ? log 2 3 (2) lg 5 ? lg 2 (3) log 5 3 ? log 5
? log 6
2

? log

3

2

2 ?1

? lg( 5 ? 2 )
1 3

? lg 10
1

?1

(4) log 3 5 ? log 3 15

? log 5 ( 3 ? ) ? log 5 1 ? 0 3 5 ?1 ? log 3 ? log 3 3 ? ? 1 15

练习 2. 用lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg( xyz ) =lgx+lgy+lgz; (2) lg (3) lg

xy

2

=lgx+2lgy-lgz;
1 2

z 3 xy
z

=lgx+3lgy-
1 2

lgz;

(4) lg

x y z
2

?

lg x ? 2 lg y ? lg z

例 4 . 已知 lg( x ? y ) ? lg( 2 x ? 3 y ) ? lg 3 ? lg 4 ? lg x ? lg y
求 x y 的值 .

1、指数式与对数式:

底数对底数

指数对以a为底N的对数

指数式

ab=N

b = log a N
幂值对真数
loga N

对数式

2、对数指数恒等式:

a

? N

3、对数运算性质: a > 0 且 a ≠ 1,M > 0,N > 0 (1)log a ( MN ) = log a M + log a N (2)log a
M N

= log a M - log a N ( n ∈R )

(3)log a N n = nlog a N

1、计算: (1) log 5 35 -2log 5

7 3

+ log 5 7 -log 5 1. 8
9 5

解:原式 = log 5 ( 5×7 ) -2( log 5 7 -log 5 3 ) + log 5 7 -log 5 = 1 + log 5 7 -2log 5 7 + 2log 5 3 + log 5 7 -( log 5 3 2 -1 ) = 1 + 2log 5 3 -2 log 5 3 + 1 = 2 (2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2 解:原式 =
2 10 lg 2

+ lg 2 lg

10 2

+ lg 2

= ( 1 -lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 -lg 2 ) + lg 2 = 1 -2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 -lg 2 2 + lg 2 =1

2、已知 lg x + lg y = 2lg ( x -2y ),求 log

x
2

的值。

y

解:由题

x ? 0 x ? 0 ? ? ? ? y ? 0 y ? 0 ? ? ? ? ? x ? 2y ? 0 x ? 2y ? 0 ? ? ? lg( xy ) ? lg( x ? 2 y ) 2 ? xy ? x 2 ? 4 xy ? 4 y 2 ? ? x ? 0 ? ? y ? 0 ? ? ? x ? 2y ? 0 ? ? x ? y或 x ? 4 y ?

x ? 0 ? ? y ? 0 ? ? ? x ? 2y ? 0 ? ? x 2 ? 5 xy ? 4 y 2 ? 0 ?
x y

?

? 4

故 log

x
2

? log

1

y

4 ? 2 log

22

2

2

2

=4


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