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(浙江专用)2018版高中数学第一章空间几何体1.31.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课件新人教A版必修2_图文

1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 目标定位 1. 了解表面与展开图的关系 .2. 了解柱、锥、 台体的表面积和体积计算公式;能运用柱、锥、台的 表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 自 主 预 习 1.多面体的表面积 各个面 的面积的和,也就是展开图 多面体的表面积就是_______ ______的面积. 2.旋转体的表面积 名称 图形 公式 2πr2 底面积:S底=_____ 圆柱 S侧=2πrl 侧面积:________ 2πrl+2πr2 表面积:S=_________ πr2 底面积:S底=_____ 圆锥 πrl 侧面积:S侧=_____ 2 π rl + π r 表面积:S=________ πr′2 上底面面积:S上底=____ 圆台 πr 2 下底面面积:S下底=____ πl(r+r′) 侧面积:S侧=_________ π(r′2+r2+r′l+rl) 表面积:S=_______________ 3.体积公式 (1)柱体:柱体的底面面积为S,高为h,则V=___. Sh 1 (2)锥体:锥体的底面面积为S,高为h,则V=_____ 3Sh . (3)台体:台体的上、下底面面积分别为 S′、 S,高为 h , 1 (S′+ S′S+S)h 3 则V=__________________. 即 时 自 测 1.判断题 (1)直棱柱的侧面展开图是矩形,一边是棱柱的侧棱,另一边等 于棱柱的底面周长.(√ ) (2)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.(× ) (3) 柱体的底面积为 S ,高为 h ,其体积 V = Sh ,特别地,圆柱的 底面半径为r,高为h;其体积V=πr2h.( √ ) (4)已知圆锥SO的底面半径r=2,高为4,则其体积为16π.( × ) 提示 (2)圆锥的侧面展开图是一个扇形. 1 16 2 (4)V=3π×2 ×4= 3 π. 2.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于( A.15 答案 B B.15π C.24π D.30π ) 解析 S侧=πrl=π×3×5=15π. 3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所 得几何体的侧面积是( ) A.4π 解析 B.3π C.2π D.π 底 面 圆 半 径 为 1 , 高 为 1 , 侧 面 积 S = 2 π rh = 2π×1×1=2π.故选C. 答案 C 4.圆台OO′的上、下底面半径分别为1和2,高为6,则其体积等 于________. 1 解析 V=3π(12+1×2+22)×6=14π. 答案 14π 类型一 空间几何体的表面积 【例1】 如图所示,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC =90°,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.求以AB所在直 线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 解 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台, 其上底 半径是 4 cm, 下底半径是 16 cm, 母线 DC= 52+(16-4)2 =13(cm). ∴该几何体的表面积为 π (4 + 16)×13 + π × 42 + π × 162 = 532π (cm2). 规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴 截面上,因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积 的关键. 2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射 影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解. 【训练1】 如图,已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积. 解 先求△SBC 的面积,过点 S 作 SD⊥BC,交 BC 于点 D. 2 2 因为 BC=a,SD= SB -BD = a 2 ?a?2 -?2? = ? ? 3 2 a. 1 1 3 3 2 所以 S△SBC= BC·SD= a× a= a . 2 2 2 4 3 2 因此,四面体 S-ABC 的表面积 S=4× 4 a = 3a2. 类型二 空间几何体的体积(互动探究) 【例 2】 如图,三棱台 ABC - A1B1C1 中,AB ∶ A1B1 = 1∶2 , 求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体 积之比. [思路探究] 探究点一 题中三棱台与三棱锥有什么关系? 提示 题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的. 探究点二 求体积的常用方法有哪些? 提示 解 求几何体体积的常用方法有:公式法,等积变换法, 补体法,分割法. 设棱台的高为 h,S△ABC=S,则 S△A1B1C1=4S. 1 1 1 ∴VA1-ABC= S△ABC·h= Sh,VC-A1B1C1= S△A1B1C1·h 3 3 3 4 =3Sh. 1 7 又 V 台=3h(S+4S+2S)=3Sh, ∴VB-A1B1C=V 台-VA1-ABC-VC-A1B1C1 7 Sh 4Sh 2 =3Sh- 3 - 3 =3Sh,∴体积比为 1∶2∶4. 规律方法 求几何体体积的常用方法 【训练2】 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求A到平面A1BD的距离d. 解 在三棱锥 A1-ABD 中,AA1⊥平面 ABD,AB=AD=AA1 =a, A1B=BD=A1D= 2a, ∵VA1-ABD=VA-A1BD, 1 1 2 1 1 3 ∴ × a ·a= × × 2a× · 2a·d. 3 2 3 2 2 3 3 ∴d= 3 a.∴A 到平面 A1BD 的距离为 3 a. 类型三 与三视图有关的表面积、体积问题 【例3】 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正 视图如图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是( ) A.4 5,8 8 C.4( 5+1),3 8 B.4 5, 3 D.8,8 解析 由

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