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辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理)试题


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时间:100 分钟

总分:120 分

第Ⅰ卷

(60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.命题“ ?x ? R, | x | ? x ? 0 ”的否定是(
2


2

A. ?x ? R, | x | ? x ? 0
2

B. ?x ? R, | x | ? x ? 0 D. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 )
2

C. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 2.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则 ( A. ac ? bc B.

2

1 1 C. a 2 ? b 2 D. a 3 ? b3 ? a b n 3.若数列 {a n } 的通项公式是 an ? ( ?1) ? (3n ? 2) ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a10 ? ( )
A.15 B.12 C.-12 D.-15

4.已知椭圆过点 P ( , ?4) 和点 Q ( ?
2 2

3 5

4 , ?3) ,则此椭圆的标准方程是( 5
2

)

y 2 A. +x =1 25

x y 2 2 B. +y =1 或 x + =1 25 25

x 2 C. +y =1 25

2

D.以上均不正确

5.有下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题; ③若“A∪B=B,则 A?B”的逆否命题.其中的真命题有( A.0 6 . 若双 曲 线 ( ) A.5 B.1 C .2 D.3 )个。

x2 y2 ? ? 1 的焦 点 到 其 渐近 线 的 距离 等 于 实轴 长 ,则 该 双 曲线 的 离 心率 为 a2 b2
B. 5
2

C. 2

D.2

: ?x ? R, x ? x ? 0” : a ? c ? b ? d 是a ? b且c ? d 的充分不必要 7. 已知命题 p “ ,命题 q “
条件” ,则下列结论正确的是( )

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A.命题“ p ? q ”是真命题 C. 命题“ p ? (?q ) ”是真命题
8.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 ( A. 5+1 2 B. 3+1 )

B. 命题“ ( ?P ) ? q ”是真命题 D. 命题“ p ? q ”是假命题

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的交点, a2 b2

C. 2+1

D.

2 2+1 2

? y?x ? 9.已知 ? x ? y ? 2 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值是( ? x?a ?
A. 2 3



B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

10. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 a 2 b2 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( )
A. 6 B. 3 C. 5 D. 2 )

11. “ ? ? 1 ”是数列“ an ? n 2 ? 2? n(n ? N * ) 为递增数列”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12. 过椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B, a2 b2
1 1 ( ? k ? , 则椭圆离心率的取值范围是 3 2
C. ( , ) )

且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F, 若

A. ( , )

1 9 4 4

B. ( ,1)

2 3

1 2 2 3

D. (0, )

1 2

第Ⅱ卷

(60 分)

二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分.把答案填在答题纸中对应横线上.

x2 y 2 ? ?1 所截得的线段的中点,则直线 l 的方程 13 . 已 知 P (1,1) 是 直 线 l 被 椭 圆 4 3

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14.已知正项等比数列 {a n } 满足 a 7 ? a 6 ? 2a5 ,若存在两项 a m , a n 使得 am an ? 2a1 ,



1 4 ? 的最小值为 m n



三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 10 分) 已知 p : 函数 y ? x 2 ? 2ax ? 3a 的图像与 x 轴无交点; q : 方程 若 p ? q 为真命题,试求实数 a 的取值范围.

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆; 4 ? a a ?1

16. (本小题满分 10 分) 已知锐角 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,向量 m=( cos C ? sin C ,1),

n=( cos C ? sin C ,

1 ),且 m ? n. 2

(1) 求角 C 的大小;(2)若边 c=2,求 ?ABC 面积的最大值.

17. (本小题满分 10 分) 已知 {an } 为等比数列, a1 ? 1, a4 ? 64 ;数列 {bn } 的前 n 项和 S n 满足 S n ?

3n 2 ? n . 2

(1) 求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 设 Tn = a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ,求 Tn .

18. (本小题满分 10 分) 已知抛物线 C:y =4x,直线 l:y= x+b 与 C 交于 A、B 两点,O 为坐标原点.
(Ⅰ)当直线 l 过抛物线 C 的焦点 F 时,求|AB|;
2

1 2

(Ⅱ)是否存在直线 l 使得直线 OA、OB 倾斜角之和为 135°,若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 已知圆 C1 : ( x + 1) + y = 8 ,点 C2 (1 , 0) ,点 Q 在圆 C1 上运动, QC2 的垂直平分线交
2 2

QC1 于点 P .

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(1)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (2)设 M 、N 分别是曲线 W 上的两个不同点,且点 M 在第一象限,点 N 在第三象限,若

uuur uuu r uuur OM +2ON = 2OC1 , O 为坐标原点,求直线 MN 的斜率 kMN ;

(3)过点 S (0 , -

1 ) 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A,B 两点,在 y 轴上是否存在定点 3 D ,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 D 的坐标,若不存在,说明理由.

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k.Com]

一.选择题

二.填空题 13. 三.解答题

14.

18.(1) C ?

?
3

(2) S max ? 3

19.解: (1) 设 {an } 的公比为 q ,由 a4 ? a1q 3 ,得 q ? 4. 所以 an ? 4n ?1. bn ? 3n ? 1 ,

(2) Tn ? 1? 2 ? 4 ? 5 ? 4 ? 8

? 4n ?1 ? 3n ? 1? ① ? 4n ? 3n ? 1? ②

4Tn ?

4 ? 2 ? 42 ? 5 ?

1 20、解: (1)抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F(1,0),代入直线 y=2x+b 1 1 1 可得 b=-2, ∴l:y=2x-2,设 A(x1,y1),B(x2,y2), y2=4x ? ? 联立? 1 1 y= x- ? ? 2 2 ,消去 y 得 x2-18x+1=0,

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∴x1+x2=18,x1x2=1,

(方法一)|AB|= 1+k2· |x1-x2| = 5 2 4· x1+x2 -4x1x2=20.

(方法二)|AB|=x1+x2+p=18+2=20 1 (2)假设存在满足要求的直线 l:y=2x+b, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), y2=4x ? ? 联立? 1 y= x+b ? ? 2 ,消去 x 得 y2-8y+8b=0,

∴y1+y2=8,y1y2=8b, 设直线 OA 、OB 的倾斜角分别为 α、β ,斜率分别为 k1 、k2 ,则 α+ β = 135° ,

1 综上,存在直线 l:y=2x-2 使得直线 OA、OB 的倾斜角之和为 135°
21

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(3)直线 l 方程为 y ? kx ?

1 ,联立直线和椭圆的方程得: 3
2 2

1 ? y ? kx ? ? ? 3 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?2

得 9(1 ? 2k ) x ? 12kx ? 16 ? 0 …………8 分

由题意知:点 S (0,? ) 在椭圆内部,所以直线 l 与椭圆必交与两点, 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ). 则 x1 ? x2 ?

1 3

4k 16 , x1 x2 ? ? 2 3(1 ? 2k ) 9(1 ? 2k 2 )

假设在 y 轴上存在定点 D (0, m) ,满足题设,则 DA ? ( x1 , y1 ? m), DB ? ( x2 , y2 ? m) 因为以 AB 为直径的圆恒过点 D , 则 DA ? DB ? ( x1 , y1 ? m) ? ( x2 , y2 ? m) ? 0 ,即: x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? 0 (*)

16(k 2 ? 1) 1 4k 2 1 ?? ? k ( ? m) ? m2 ? m ? 2 2 9(2k ? 1) 3 3(2k ? 1) 3 9
? 18(m 2 ? 1)k 2 ? (9m 2 ? 6m ? 15) …………11 分 9(2k 2 ? 1)

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由假设得对于任意的 k ? R , DA ? DB ? 0 恒成立, 即?

?m 2 ? 1 ? 0 ? 解得 m ? 1 2 9 m ? 6 m ? 15 ? 0 ? ?

因此,在 y 轴上存在满足条件的定点 D ,点 D 的坐标为 (0,1) .………………12 分


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