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黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018届高三二模考试数学(文)试题

2018 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷(文史类)
第I卷
(选择题, 共 60 分)

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.)

1. i 为虚数单位,复数 z ? A.第二象限 2.已知集合 A ? { y | A. ? ? 3, 3 ?

2i 在复平面内对应的点所在象限为 i ?1
B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限

x2 y 2 ? ? 1} ,集合 B ? {x | y 2 ? 4 x} ,则 A ? B ? 2 3
B. ? 0, 3 ?

?

?

?

?

C. ? ? 3, ??

?

?

D. ? 3, ??

?

?

2 3.命题 p :“ ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 2x0 ”的否定 ? p 为 2 A. ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 2x0 2 B. ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 2x0

C. ?x ? R , x ? 1 ? 2 x
2

D. ?x ? R , x ? 1 ? 2 x
2

4.某棱锥的 三视图如图所示,则该棱锥的体积为

1 1 侧视图

1 A. 6 1 C. 4

1 B. 3 1 D. 12

1

正视图 1

5.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,执行如图所示的 程序框图,则输出的 M 一定满足 A. S n ?

俯视图

开始 输入 n, a1,a2, … , an k =2, M = a1 x = ak x≤M ? 是 M =x 否

nM 2

B. Sn ? nM

k = k +1 否

C. Sn ? nM

D. Sn ? nM

6.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 的最小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则 A. f ( x ) 在 ?

?
2

)

?? ? , ? ? 单调递减 ?2 ?

B. f ( x ) 在 ? 0,

? ?

??

? 单调递增 2? ? ? 单调递增 ?

C. f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4 ? ?

D. f ( x ) 在 ? 0,

??

? 单调递减 3?

? x ? y ? 4 ? 0, x ? y ? 12 ? 7.如果实数 x, y 满足关系 ? x ? y ? 0, 则 的取值范围是 x?5 ?4 x ? y ? 4 ? 0 ?
A. [

12 8 , ] 5 3

B. [ , ]

3 5 5 3

C. [ , ]

8 8 5 3

D. [ ,

8 12 ] 5 5

8. A, B 是圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上两个动点, AB ? 1 , OC ? 3OA ? 2OB , M 为线段 AB 的中点, 则 OC ? OM 的值为 A.

3 2

B.

3 4

C.

1 2

D.

1 4

9.已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 B ? 2 A , cos A cos B cos C ? 0 , 则

a sin A 的取值范围是 b

A. ?

? 3 3? ? 6 , 2 ? ? ? ?

B. ?

? 3 3? ? ? 4 , 2 ? ? ?

C. ? ,

?1 3? ?2 2 ? ? ? ?

D. ?

? 3 1? ? 6 ,2? ? ? ?

10.已知三棱锥 S ? ABC 的四个顶点均在某个球面上, SC 为该球的直径, ?ABC 是边长

为 4 的等边三角形,三棱锥 S ? ABC 的体积为 ,则此三棱锥的外接球的表面积为

8 3

A.

68? 3

B.

16? 3

C.

64? 3

D.

80? 3

11.函数 y ? 等于 A. ? 4

1 的图像与函数 y ? 3 sin ?x(?4 ? x ? 2) 的图像所有交点的横坐标之和 x ?1
B. ? 2 C. ? 8 D. ? 6

x2 y2 12.已知 S 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的任意一点,过 S 分别引其渐近线的 a b
? ? 平行线,分别交 x 轴于点 M , N ,交 y 轴于点 P, Q ,若 ? 1 ? 1 ? ? ? OP ? OQ ? ? 4 ? OM ON ? ? ?

恒成立,则双曲线离心率 e 的取值范围为 A. ?1,2? B. ?2,??? C. ( 1, 2 ] (非选择题, 共 90 分) D. [ 2 ,??)

第Ⅱ卷

二、填空题( 共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上.) 13.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 18 , a5 ? 162 ,公比 q ? .

2 14.利用随机模拟方法计算 y ? 1 和 y ? x 所围成图形的面积.首先利用计算机产生两

组 0 ~ 1 区间的均匀随机数, a1 ? RAND , b ? RAND ,然后进行平移和伸缩变换,

a ? 2?a1 ? 0.5? ,若共产生了 N 个样本点 ( a, b) ,其中落在所围成图形内的样本点
数为 N1 ,则所围成图形的面积可估计为 . (结果用 N , N1 表示)

2 15.设 O 为抛物线: y ? 2 px( p ? 0) 的顶点, F 为焦点,且 AB 为过焦点 F 的弦,若 AB ? 4 p ,

则 ?AOB 的面积为



16 . f ( x) 是定义在 R 上的函数 , 其导函数为 f ?( x) .若 f ?( x) ? f ( x) ? 1, f (1) ? 2018,则不等式

f ( x) ? 2017e x?1 ? 1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为



三、解答题(本大题共 6 小题 ,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 为正项数列, a1 ? 3 ,且 (1)求数列 ?an ? 通项公式; (2)若 bn ? 2an ? (?1) n ? an ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

an?1 an 1 1 ? ? 2( ? ) , (n ? N * ) . an an?1 an an?1

18. (本小 题满分 12 分) 交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为 T ,早高峰时段

3 ? T ? 9 ,T ? ?3,5? 基本 畅通;T ? ?5,6? 轻度拥堵;T ? ?6,7 ? 中度拥堵;T ? ?7,9? 严重拥堵,
从某市交通指挥中 心随机选取了二环以内 40 个交通路段, 依据交通指数数据绘制直方图如图所 示. (1)据此直方图估 算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数; (2)现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治,求选中 路段中恰有一个路段的交通指数 T ? ?8,9? 的概率.
频率 组距 0.30

0.20 0.15 0.10 0.05 0 3 4 5 6 7 8 9 交通指数

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD , E , F 分别为 PC, PA 的 中点,底面 ABCD 是直角梯形, AB / / CD , ?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 . (1)求证:平面 PBC ? 平面 PBD ; (2)求三棱锥 P ? EFB 的体积. E F D C P

A

B

20. (本小题满分 12 分) 已知 F 为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点, OF ? 3 , P, Q 分别为椭圆 C 的上下 a2 b2

顶点,且 ?PQF 为等边三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P 的两条互相垂直的直线 l1 , l 2 与椭圆 C 分别交于异于点 P 的点 A, B , 求证:直线 AB 过定点,并求出该定点坐标.

21. (本小题满分 12 分)
x 已知函数 h( x) ? a e , 直线 l : y ? x ? 1 , 其中 e 为自然对数的底.

(1)当 a ? 1 , x ? 0 时, 求证:曲线 f ( x) ? h( x) ?

1 2 x 在直线 l 的上方; 2

(2)若函数 h( x) 的图象与直线 l 有两个不同的交点, 求实数 a 的取值范围;

(3)对于第(2)问中的两个交点的横坐标 x1 , x 2 及对应的 a , 当 x1 ? x 2 时, 求证: a ?

1 . e ? e x2
x1

请考生在 22、23 二题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xoy 中,直线 l : ?

? x ? 3t , ( t 为参数) ,以原点 O 为极点, x 轴为正半轴为极 ? y ? 1 ? 4t

轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 cos 2? ? ?4 . (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)点 P(0,1) ,直线 l 与曲线 C 交于 M , N ,求

1 1 ? 的值. PM PN


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