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高考数学平面向量知识点及相关题型

平面向量
1、向量:既有大小,又有方向的量。向量不能比较大小,只可以判断是否相等, 向量的模可以比较大小。 数量:只有大小,没有方向的量。数量可以比较大小,也可以判断是否相等。 2、有向线段的三要素:起点、方向、长度.起点的选择是任意的,对于模相等 且方向相同的两个向量,无论他们的起点在哪里,都认为这两个向量相等。 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 3、向量既有代数特征又有几何特征,可以起到数形结合的作用。 4、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶ 三 角 形 不 等 式 : ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b . ⑷运算性质: ? ? ? ? ①交换律: a ? b ? b ? a ;

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a .

?

?

?

?

? ? ⑸坐标运算(坐标加减) :设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? ? 则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
5、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ? ? ? ? ⑵坐标运算: 设 a ? ? x1 , y1 ? , 则a? b ? ? x2 , y2 ? , b ? x ?? x ? , 2 ?. 1 y2 y 1 设 ? 、 ? 两 点 的 坐 标 分 别 为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , 则
? a
?

C

? b

?

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

? ? ?? ?? ? ?x1

x ?, y1 ? ?y. 2 2

6、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ? ? ① ?a ? ? a ; ? ? ? ? ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相 ? ? 反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b .

?

?

? ? ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
【向量相等,坐标相同;向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的 具体位置无关,只与其相对位置有关】 ? ? ? ? 7 、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使

?

?

? ? ? ? b ? ?a . (a / /b)

? ? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、
? ? ? b b ? 0 共线.

?

?

??? ? ??? ? ??? ? [ 练习 ] 设 a,b 是两个不共线的向量, AB ? 2 a ? pb, BC ? a? b , CD? a? 2 b,若

A,B,D 三点共线,则实数 p 的值是 ??? ? ??? ? ??? ? 对于 OA ? ?OB ? ?OC ( ? , ? 均为实数),若 A,B,C 三点共线,则 ? +? =1 ,反之仍 然成立。 [练习]如图所示, 在 ?ABC 中, 点 O 是 BC 的中点, 过点 O 的直线分别交直线 AB, ??? ? ???? ? ??? ? ???? AC 于不同的两点 M,N,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m+n 的值为

?? ?? ? 8、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于

? ? ? ? ? ? ? 这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共
?? ?? ? 线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底)
[练习]在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是 A,e1=(0,0) ,e2=(1,2)B, e1=(-1,2) ,e2=(5,-2)C,e1=(3,5) ,e2=(6,10) D,e1=(2,-3) ,e2=(-2,3) 【解题】 用已知向量表示另外一些向量,除了利用向量加减法和数乘运算外,还充分 利用平面几何的一些定理。 在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中。 常要用到相似三角形对应边成比例,三角形中位线等平面几何的性质。 [练习] ???? ? ???? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ? 1、在 ?ABC 中,点 M,N 满足 AM ? 2MC, BN ? NC, 若MN ? xAB ? yAC ,则 x= ,

y=

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2、如图,已知平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中 OA, OB 的夹角为 120 度,
??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? OC ? 2 3, 若OC ? ? OA ? ? OB(? , ? ? R) , 且 OA = OB ? 1, OA, OC 的夹角为 30 度,

则 ? ? ? 的值为

9、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ?

??? ? ???? ? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , 当 ?1? ? ???2 时 , 点 ? 的 坐 标 是 ? 1 , ? .( 当 1? ? ? ? 1? ?

? ? 1时,就为中点公式。)
10、平面向量的数量积: ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b 的几何意义: a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos ? 的乘积
??? ? ??? ? [练习]已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 AB在CD 方向上的投
影为
? ? ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量

? ? ? ? ① a ? b ? a ?b ? 0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a

? ? ? 或 a ? a ?a
? ? ? ? ③ a ?b ? a b .

两向量夹角的范围为 ?0,? ? ,求夹角时一定要注意两向量夹角的范围
2 2 b , 且(a ? b) ? (3a ? 2b) ,则 a 与 b 的夹角为 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律: ① a ?b ? b ? a ; ② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ; ③ a ? b ?c ? a ?c ? b ?c .

[练习]若非零向量 a,b 满足 a ?

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . ? ? ? ? ?2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则

? ? a ?b ? x1 x 2 ? y 1y 2 ? 0 .
? ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b c o s? ? ? ? ? . 2 2 2 a b x1 ? y 12 x 2 ?y 2
[练习] 1、平面向量 a ? (1, 2), b ? (4, 2),c ? ma ? b(m ? R) ,且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的 夹角,则 m= A,-2 B,-1 C,1 D,2

??? ? ??? ? 2、在平行四边形 ABCD 中, AD=1, 角 BAD=60 度,E 为 CD 的重点, 若 AC?BE ? 1 ,
则 AB 的长为

解三角形
1、 (1)正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, ,则有
a b c ? ? ? 2R sin ? sin ? sin C

( R 为 ??? C 的外接圆的半径) (2)正弦定理的变形公式: ① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ?
a b , sin ? ? , sin C ? c ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R

(3)正弦定理的应用: ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边 [练习] 在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c 等于( A.5 2B.10 2 C. 10 6 D.5 6 3 ).

②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角 【注意】 在 ?ABC 中,已知 a,b 和 A,利用正弦定理解三角形时,会出现解不确定的情 况,一般可根据三角形中“大边对大角,三角形内角和定理”来取舍,具体情况 如下

A 为锐角

A 为钝
角或直角

图形 关 系 式 解的 个数

a<bsinA

a=bsinA

bsinA<a<b

a≥b

a>b

a≤b

无解

一解

两解

一解

一解

无解

3、三角形面积公式: S???C

?

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2

4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ?
2 2 2 推论: cos ? ? b ? c ? a

2bc

应用:已知三边,求各角

已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角 [练习]在△ABC 中,a=3,b=1,c=2,则 A 等于( ). A.30° B.45° C.60° D.75° 5、三角形中常用结论 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,常见的结论有 (1) A+B+C=π (2) 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较 大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. (3) 常 用 三 角 恒 等 式 : sin ( A+B ) =sin ( C ) ; cos ( A+B ) =-cos ( C ) ; tan(A+B)=-tan(C) A? B C A? B C sin ( ) ? cos( );cos ( ) ? sin( ) C 2 C 2 [练习] 1、 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c (1) 若 a,b,c 成等差数列,证明 sinA+sinC=2sin(A+C) (2) 若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值 6、三角形形状的判定,利用正余弦定理把已知条件转化为三角形的三角函数关 系或者边边关系再进行下一步求解 [练习] 1、在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若直线 bx+ycosA+cosB=0 与 ax+ycosB+cosA=0 平行,则 ?ABC 一定是() A,锐角三角形 B,等腰三角形 C,直角三角形 D,等腰或者直角三角形 2、在△ABC 中,若 A.直角三角形 C.钝角三角形

a
cos A



b
cos B



c
cos C

;则△ABC 是(

).

B.等边三角形 D.等腰直角三角形

7、三角形的面积公式的选择 (1)已知三角形一边及该边上的高,利用 S ? (2)已知三角形的两边及其夹角,利用 S ? (3)已知三角形的三边,利用 S ? [练习] 1 1、在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cosC= ,则△ABC 的面积为( 3 A.3 3 B.2 3 C.4 3 A,B,C D. 3 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c , 已 知 ).
1 ah 2

1 ab sin(C ) 2 a?b?c 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c), 其中p=

2 、 在 ?ABC 中 , 角

a ? b, c ? 3,cos2 A ? cos2 B ? 3sinAcosA? 3sin B cos B

(1) 求角 C 的大小 4 (2) 若 sin A ? ,求 ?ABC 的面积 5 3、设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=btanA,且 B 为钝角 ? (1) 证明 A ? B ? 2 (2) 求 sinA+sinC 的取值范围 4、已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a,b,c,且 2cos2 + 2 cosA=0. (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

A


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