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高中数学《几何概型》课件新人教A版


几何概型

复习
? 古典概型的两个基本特点: (1)每个基本事件出现的可能性相等; (2)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 .
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概 率应如果求呢?

问题1:下图是卧室和书房地板的示意图, 图中每一块方砖除颜色外完全相同,甲壳 虫 分别在卧室和书房中自由地飞来飞 去,并随意停留在某块方砖上,问 在哪个房间里,甲壳虫停留在黑砖上的概率 大?

卧室 卧室

书房

? 问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏, 规定当指针指向黄色区域时,甲获胜,否则乙 获胜.在下列那种情况下甲获胜的概率大?说 明理由.

(1)
图3.3-1

(2)

问题1中:假如甲壳虫在如图 所示的地砖上自由的飞来飞去, 并随意停留在某块方砖上(图 中每一块方砖除颜色外完全相 同)
(1)甲壳虫每次飞行,停留在任何一 块方砖上的概率是否相同?

(2)它最终停留在黑色方砖上 的概率是多少? (3)甲壳虫在如图所示的地板上最终停 留在白色方砖上的概率是多少?

问题2中:
(1)每次转动转盘,指针指在转盘上任 意位置的概率是否相同?

(2)每次试验的结果有多少个? (3)甲获胜的概率是变化还是不变的?并 说明理由. (4)指针最终停留在黄色区域上的概率 是多少?应怎样求?

想一想:
由前面的两个问题的探究,你有什么发现? 可以把你的发现和大家分享吗?

? 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例.则称这样的概率模型为几何 概率模型(geometric models of probability),简称 几何概型.

P(A)=

构成事件的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

例如:图3.3-1中(1)、(2)“甲获胜”的概率分别 为1/2,3/5

想一想:
几何概型的特点
a) 试验中所有可能出现的结果(基本事件)

有无限多个; b) 每个基本事件出现的可能性相等

古典概型与几何概型的区别
? 相同:两者基本事件发生的可能性都是相等的; ? 不同:古典概型要求基本事件有有限个,几何概 型要求基本事件有无限多个

例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收 音机,想听电台报时,求他等待的时间不多 于10分钟的概率。 解:设A={等待的时间不多于10分钟},事件A恰 好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内, 因此由几何概型的求概率公式得 P(A)=(60-50)/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为 1/6

做一做
你能不能用模拟的方法问 题2的概率的估计值?

练习1(口答)
一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时 间为5秒,绿灯的时间为40秒。当你到达路口时, 看见下列三种情况的 概率各是多少? (1)红灯;(2)黄灯;(3)不是红灯。

练习2
解. 以两班车出发间隔 ( 0,10 ) 区间作为样本空间 S, 乘客随机地到达,即在这个长度是 10 的区间里任何

假设车站每隔 10 分钟发一班车,随机到达车站, 问等车时间不超过 3 分钟的概率 ?

一个点都是等可能地发生,因此是几何概率问题。
要使得等车的时间不超过 3 分钟,即到达的时刻应该是 图中 A 包含的样本点,

0←

S

→10

3 A 的长度 p (A) = ————— = —— = 0.3 。 10 S 的长度

国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话, 发现长30min的磁带上,从开始30s处起,有10s长的一 段内容包含间谍犯罪的信息.后来发现,这段谈话的部 分被某工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意 中按错了键,使从此后起往后的所有内容都被擦掉了. 那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部 擦掉的概率有多大?

思考

解:记事件A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或 全部擦掉.则事件A发生就是在0~2/3min时间 段内按错键.故 P(A)=
2 3 1

30

= 45

例2(意大利馅饼问题)

山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板.边 长为18厘米,挂于前门附近的墙上,顾客花两角伍分的硬币便可 投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个,投镖靶中画有 三个同心圆,圆心在靶的中心,当投镖击中半径为1厘米的最内 层圆域时.可得到一个大馅饼;当击中半径为1厘米到2厘米之间 的环域时,可得到一个中馅饼;如果击中半径为2厘米到3厘米之 间的环域时,可得到一个小馅饼,如果击中靶上的其他部分,则 得不到馅饼,我们假设每一个顾客都能投镖中靶,并假设每个圆 的周边线没有宽度,即每个投镖不会击中线上,试求一顾客将嬴 得: (a)一张大馅饼, (b)一张中馅饼, (c)一张小馅饼, (d)没得到馅饼的 ? 概率

解:我们实验的样本长度由一个边长为18的正方形面积表示。记事件A、B、C和D,它们分别表示 得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。则

? S ?

? ? S? (
3 (b) P(B)= =2 1= S 324 ) 182 正
B

A ( S = = (a) P(A)= 1 324 正






2

-2



? ? S? (
C

1 8


(c) P(C)= =3 2= S 324 ) 182 正
2

(5


-2

SD

182=

(d)

P(D)= S正

?
182

(3)2



324-9
324

?

练习3
? 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶, 那么射中黄心的概率是多少?

图3.3-2

思考:甲乙二人相约定6:00-6:30在约定地点会面,
先到的人要等候另一人10分钟后,方可离开。求甲 乙二人能会面的概率(假定他们在6:00-6:30内的任 意时刻到达约定地点的机会是等可能的)。 解: 以x及 y轴分别表示甲乙二人到达约定地点的时间(分钟), y


0 ? x ? 30 , 0 ? y ? 30 如图示

且二人会面

? x ? y ? 10

30

在平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果 是边长为60的正方形,而事件A―两人能够 10 会面”的可能结果由图中的阴影部分表示, 则

x

P(A)=

302-202 302



5 9

10

30

练习1: 两人相约于 7 时到 8 时在公园见面,先 到者等候 20 分钟就可离去,求两人能够见面的 概率。
解. 以 7 点为坐标原点,
y
60

小时为单位。x,y 分别表示 两人到达的时间,( x,y ) 构成边长为 60的正方形S, 显然这是一个几何概率问题。
o
20 60

S A

20

x

他们能见面应满足 | x – y | ≤ 20 ,因此, 4 A 的面积
p = ————— = 1 – —— = 5/9 。 9 S 的面积

例3. 送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸 送到你家,你父亲离开家的时间在7:00-8:00之 间,问你父亲离开家前能得到报纸的概率是 多少?
y
8:00

7:00

x
6:30 7:30

例4 两艘船都要停靠同一泊位,它们可能在一 昼夜的任何时刻到达,甲乙两船停靠泊位的时间 分别为4小时和2小时,求有一艘船停靠泊位时间 必须等待一段时间的概率。

小结:
1、请谈谈你的收获与困惑……

2、作业:课本P137

A组第 2 题,B组题


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