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高考数学复习之立体几何必考知识点汇总


高考数学复习之立体几何 平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在这个平面内. 公理 2 公共直线. 公理 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的 根据上面的公理,可得以下推论. 推论 1 推论 2 推论 3 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面 (1)直线与直线 平行—没有公共点 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 (直线在平面外) (3)平面与平面 平行—没有公共点 相交—有且只有一公共点 相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的 直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行,即若 a∥α ,a ?β ,α ∩β =b,则 a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若 a∥b,b∥c,则 a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α ∥β ,α ∩γ , β ∩γ =b,则 a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行, 那么这条直线与这两个平面的交线 平行,即若α ∩β =b,a∥α ,a∥β ,则 a∥b. (2)两直线垂直的判定 1.定义:若两直线成 90°角,则这两直线互相垂直. 2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若 b∥c,a ⊥b,则 a⊥c 3.一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若 a ⊥α ,b ? α ,a⊥b.? 4.如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即 若 a∥α ,b⊥α ,则 a⊥b. 5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即若α ⊥β ,β ⊥γ ,γ ⊥α ,且α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c,则 a⊥b,b⊥c,c⊥a. (3)直线与平面平行的判定 ①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 则这条直线与这个平 面平行.即若 a ? α ,b ? α ,a∥b,则 a∥α . ③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若 α ∥ β ,l ? α ,则 l∥β . ④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面, 那么这条直线和这 个平面平行.即若α ⊥β ,l⊥β ,l ? α ,则 l∥α . ⑤在一个平面同侧的两个点,如果它们与这个平面的距离相等,那么过这两 个点的直线与这个平面平行,即若 A ? α ,B? α ,A、B 在α 同侧,且 A、B 到α 等距,则 AB∥α . ⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行, 即若α ∥β ,a ? α ,a ? β ,a∥α ,则α ∥β . ⑦如果一条直线与一个平面垂直, 则平面外与这条直线垂直的直线与该平面 平行,即若 a⊥α ,b α ,b⊥a,则

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