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高中数学北师大版必修5 第一章3.2第二课时 等比数列的性质 作业 Word版含解析


[学业水平训练] 1 1.等比数列{an}的公比 q=- ,a1= 2,则数列{an}是( 4 A.递增数列 C.常数数列 B.递减数列 D.摆动数列 )

1 解析:选 D.因为等比数列{an}的公比为 q=- ,a1= 2,故 a2<0,a3>0,所以数列 4 {an}是摆动数列. 2.等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100 等于( b A. 8 a b10 C. 9 a
9

)

b B.( )9 a b D.( )10 a

a19+a20 (a9+a10)q10 10 b 解析:选 A. = =q = , a a9+a10 a9+a10 b b9 ∴a99+a100=(a9+a10)q90=a×( )9= 8. a a 3.(2014· 曲阜高二期中)等比数列{an}中,a2+a3=6,a2a3=8,则 q=( 1 A.2 B. 2 1 C.2 或 2 1 D.-2 或- 2 )

解析:选 C.由已知得 a2,a3 为 x2-6x+8=0 的两个根,解得两根为 2 或 4, 当 a2=2,a3=4 时,q=2, 1 当 a2=4,a3=2 时,q= . 2 ( 4.在 1 与 100 之间插入 n 个正数,使这 n+2 个数成等比数列,则插入的 n 个数的积为 ) A.10n B.n10 C.100n D.n100 解析:选 A.设这 n+2 个数为 a1,a2,…,an+2,则插入的 n 个数的积为 a2·a3…an+1
n n

=(a1an+2)2=(100)2=10n. a3+a4 1 5.已知等比数列{an}各项均为正数,且 a1, a3,a2 成等差数列,则 等于( 2 a4+a5 A. 5+1 2 B. D. 5-1 2 5+1 5-1 或 2 2 )

1- 5 C. 2 1± 5 ∴q2=1+q,解得 q= . 2

解析:选 B.由题意,得 a3=a1+a2,即 a1q2=a1+a1q,

1+ 5 又∵{an}各项均为正数,∴q>0,即 q= . 2

a3+a4 a1q2+a1q3 1 5-1 ∴ = = = . 2 a4+a5 a1q3+a1q4 q a2 9 6.已知{an}是等比数列,且 a3a5a7a9a11=243,则 的值为________. a11 解析:∵a3a5a7a9a11=a5 7=243,∴a7=3, ∴ a11·a7 a2 9 = =a7=3. a11 a11

答案:3 7. 设各项为正数的等比数列{an}中, 公比 q=2, 且 a1· a2· a3…a30=230, 则 a3· a6· a9… a30=________. 解析:∵a1·a2·a3…a30=230,
30 1 ∴a1 q
+2+3+…+29

=a30 1 q

29×30 2



29 27 ∴a1=2- ,∴a1q 2 =2, 2

3 ∴a3·a6·a9…a30=a10 3 (q )

9×10 2

27 =(2- ×22)10×(23)45=220. 2 答案:220 8. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB, 然后每 3 min 自身复制一次, 复制后所占内存是原来的 2 倍, 那么开机后________min, 该病毒占据 64 MB(1 MB=210 KB) 内存. 解析:由题意可得每 3 min 病毒占的内存容易构成一个等比数列,令病毒占据 64 MB 时自身复制了 n 次, 即 2×2n=64×210=216, 解得 n=15, 从而复制的时间为 15×3=45(min). 答案:45 9.实数等比数列{an}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求 q.
4 4 ? ① ?a7·q +a7+a7q =28, 解:法一:由条件得? -5 5 ?a7·q ·a7·a7·q =512, ② ?


由②得 a3 7=512,即 a7=8. 将其代入①得 2q8-5q4+2=0. 4 1 1 4 解之得 q4= 或 q4=2,即 q=± 或 q=± 2. 2 2
3 法二:∵a3a11=a2a12=a2 7,∴a7=512,

? ?a3+a11=20, 即 a7=8.于是有? ?a3a11=64, ?

即 a3 和 a11 是方程 x2-20x+64=0 的两根. 解此方程得 x=4 或 x=16.
?a3=4, ? ?a3=16, ? 因此? 或? ? ?a11=16 ? ?a11=4.

又∵a11=a3·q11 3=a3·q8,


1 a11 1 11 1 4 ∴q=± ( )8=± 48=± 2或 q=± ( )8=± . a3 4 4 2

10.(2014· 广州高二检测)已知{an}是等比数列,首项 a1=1,公比为 q(q≠0,q≠1)且 bn =an+1-an. (1)判断数列{bn}是否为等比数列.并说明理由; (2)求数列{bn}的通项公式. - - 解:(1)因为{an}是等比数列,首项 a1=1,公比为 q,所以 an=a1qn 1=qn 1, bn+1 qn 1-qn = =q,所以{bn}是以 q-1 为首项,q 为公比的等比数列. bn qn-qn-1


(2)由(1)知,bn=b1qn 1=(q-1)qn 1.
- -

[高考水平训练] 1.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a2 7+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7, 则 b6b8=( ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:选 D.∵{an}为等差数列,2a3-a2 7+2a11=0, 2 ∴4a7-a7=0,∴a7=4,a7=0(舍去)∴b7=a7=4. 2 ∵{bn}是等比数列,∴b6b8=b2 7=4 =16. 2.(2014· 湖北省武汉市高考适应训练)已知函数 f(x)=2x-1(x∈R).规定:给定一个实 数 x0, 赋值 x1=f(x0), 若 x1≤257, 则继续赋值 x2=f(x1); 若 x2≤257, 则继续赋值 x3=f(x2); … 以此类推. 若 xn-1≤257, 则 xn=f(xn-1), 否则停止赋值. 已知赋值 k(k∈N+)次后该过程停止, 则 x0 的取值范围是________. 解析:依题意得 xn=2xn-1-1,则 xn-1=2(xn-1-1), 于是 xn-1=2n(x0-1),即 xn=2n(x0-1)+1.
k 1 ? ? ?xk-1≤257 ?2 (x0-1)+1≤257 依题意有? ,即? k , ?xk>257 ?2 (x0-1)+1>257 ? ?


k 1 8 ? ?2 (x0-1)≤2 - 8-k ? 即 k +1<x0≤29 k+1, 8 ,由此解得 2 ?2 (x0-1)>2 ?


即 x0 的取值范围是(28 k+1,29 k+1]. - - 答案:(28 k+1,29 k+1] 3.数列{an}中,a2 n+1=4an,a1=1,an>0,求其通项公式. 解:∵an>0,对 a2 n+1=4an,两边取对数,得 2log2an+1=log2an+2. 令 bn=log2an,则 2bn+1=bn+2,即 2(bn+1-2)=bn-2.
- -

1 令 Cn=bn-2,则 Cn+1= Cn,且 a1=1,∴b1=0,C1=-2, 2 1 - 1 - ∴{Cn}为等比数列.∴Cn=-2( )n 1=-( )n 2. 2 2 1 - 1 - ∴bn=2-( )n 2,an=22-( )n 2. 2 2 4.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项,第 5 项,第 14 项分别是一

个等比数列的第 2 项,第 3 项,第 4 项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,S 为数列{bn}的前 n 项和,是否存在最大的整数 t,使得对任意 n(an+3) n t 的 n 均有 Sn> 成立?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由. 36 解:(1)由题意,(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,整理得 2a1d=d2,又 a1=1,d>0,∴d =2,an=2n-1. 1 1 1 (2)bn= = >0,所以数列{Sn}是递增数列,S1=b1= 为 Sn 的最小 4 n(an+3) 2n(n+1) 1 t 值, 故 > ,t<9,又 t 为整数,所以适合条件的 t 的最大值为 8. 4 36


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